3.3幂函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 东阿县实验高中 讲课人：王彬 一、情境导入 同学们，我们说要想学好数学，就要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”在中国其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积．《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂．”后来又推广引申为多次乘方的结果．到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂．清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念． 1.结合具体实例了解幂函数的概念． 2.根据幂函数的解析式和图象分析幂函数的性质． 3.结合图像分析幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 学习目标 3 观察：我们知道函数可以来刻画现实世界中的实际问题，先看几个实例． 二、新知探究 (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c= ，这里c是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v= km/s，即v=t -1，这里v是t的函数. 可以表示为 把p=w、S=a2、V=b3、c=、 v=t -1自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数解析式是: y=x 共同特点：（1）解析式都具有幂的形式； （2）幂的底数为自变量，幂的指数为常数； （3） x前的系数为1； （4）都是形如y=xα的函数. y=x2 y=x3 y=x-1 y= 问题1：观察以上五个函数解析式的结构特征，他们有什么共同特点呢？ 学以致用 例1 在函数①; ② y = 3x3；③ y = 2x+1; ④; ⑤ y = x3；⑥ 中，是幂函数的是_________. ①⑤⑥ 定义理解：（1）幂函数的系数为1； （2）幂函数的底数为自变量，指数为常数； （3）只有一项. 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，常数. 对于幂函数，我们只研究α=1,2,3， ，-1时图象的性质. 问题1：有了幂函数的定义，接着应该研究幂函数的什么呢？如何研究幂函数的性质呢？ 通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题。 问题2：对于这五个幂函数，的图像是我们熟悉的，你能画出他们的图像吗？ 这三个函数是我们熟悉的函数，其图象只需要找关键点来作图。 y x O 又如何画出和的图像呢？观察和这两个函数解析式，它们的性质有哪些？ （步骤：列表、描点、连线） 问题：观察这五个函数图象，它们有哪些共同的性质，有哪些不同的性质？ Ｒ Ｒ [0,+∞) Ｒ {x|x≠0} R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 [0,+∞)增 (-∞,0]减 增 增 (0,+∞)减 (-∞,0)减 y x O 观察这五个函数图象，结合表格它们有哪些性质？               x y O (1)函数y=x, y=x2, y=x3, y=和y=x-1的图象都通过点(1,1); (2)函数y=x, y=x3, y=x-1是奇函数,函数y=x2是偶函数。 观察这五个函数图象，结合表格它们有哪些性质？               x y O (3)在区间(0,+∞)上,函数y=x, y=x2, y=x3, y=单调递增,函数y=x-1单调递减 (4)在第一象限内,函数y=x-1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近. 例2 证明幂函数 f(x)= 是增函数. 证明：函数的定义域是[0,+∞）. 且 有 因为 则 所以 三、例题解析 练一练 1.已知幂函数的图像过点，求这个函数解析式。 解：设 的图象过点 , . 这个函数解析式为 分析：采用待定系数法，根据幂函数的概念设，将点的坐标代入即可求得值，从而求得函数解析式. 1.知识总结：(1)幂函数的定义． (2)5个常见幂函数的图象及其性质； 2．方法归纳：数形结合法、特殊到一般、待定系数法． 四、课堂总结 1.课本P91的练习1、2、3题 2.习题3.3的第1题. 五、作业设计 $$