第02讲 实数章节期中期末复习（12类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第02讲 实数章节期中期末复习(12类热点题型讲练) 目录 【考点一 无理数的判别】 1 【考点二 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 2 【考点三 利用算术平方根的非负性解题】 4 【考点四 利用开平方、开立方解方程】 5 【考点五 平方根与立方根的综合问题】 8 【考点六 二次根式有意义的条件】 10 【考点七 同类二次根式】 11 【考点八 比较二次根式的大小】 13 【考点九 二次根式的混合运算之选择题】 14 【考点十 二次根式的混合运算之解答题】 16 【考点十一 二次根式的混合运算中的新定义型问题】 19 【考点十二 二次根式的混合运算中的规律探究问题】 21 【考点一 无理数的判别】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）下列各数中：，，，，，无理数有（  ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数概念，熟记常见无理数形式，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：，，，，中无理数有，，，共3个， 故选：B ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下列各数0，π，，，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，即可判定选项． 【详解】解：根据题意可知无理数有π，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0），共2个． 故选：A． 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）在实数，，，3.14，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含的数；③有规律但无限不循环的小数．根据无理数概念逐个判断，即可解题． 【详解】解：题中的无理数有，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），共个， 故选：D． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）下列各数、、、、、（相邻两个之间的个数逐次增加），无理数的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数的判断．熟记相关定义是解题的关键； 无理数，也称为无限不循环小数，常见的无理数有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数（如：，相连两个3之间的0个数逐渐增加一个），由此即可求解． 【详解】解：， 故在实数、±、、、、（相邻两个之间的个数逐次增加）中， 无理数有3π、、0.303000300003…（相邻两个之间的个数逐次增加），共个． 故选：C． 【考点二 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 例题：（23-24七年级上·浙江宁波·期中）的相反数是 ，的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根、相反数的定义 【分析】本题考查的是实数的相反数的含义，算术平方根与平方根的含义，先求解是解本题的关键.根据相反数的含义求解的相反数，先化简，再求解平方根即可. 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴的平方根是， 故答案为：；． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 2 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是2， ∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是， 故答案为：2；． 2．（24-25八年级上·全国·期中）的相反数是 ，的倒数是 ，3的平方根是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、倒数、求一个数的平方根 【分析】本题考查了相反数、倒数、平方根的定义．分别根据相反数、倒数、平方根的定义解题即可． 【详解】解：的相反数是； 的倒数是； 3的平方根是． 故答案为：，，． 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）已知的算术平方根是，是的立方根，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，熟记概念并求出、值是解题的关键．根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】解：的算术平方根是，是的立方根， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【考点三 利用算术平方根的非负性解题】 例题：（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知a，b，c满足，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根的非负性，平方根的定义，根据非负性可以得到，带入求出的结果，从而得出结果． 【详解】解：，，，， ， ， ， 的平方根是． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查非负性，代数式求值，根据非负性，求出的值，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】求代数式的平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y是直角三角形的两边长，且满足，则此直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理．首先利用非负数的性质求得，然后对分类讨论：分是直角边和是斜边两种情况，进行计算即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形的两边，且满足， ， ， 当是直角边时，第三边为：， 当是斜边时，第三边为：， 综上所述，此直角三角形的第三边长为：或， 故答案为：或． 【考点四 利用开平方、开立方解方程】 例题：（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根、立方根的实际应用 【分析】此题考查了利用平方根的意义和立方根的意义解方程． （1）方程整理后根据平方根的意义得到，即可得到答案； （2）方程整理后根据立方根的意义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴ ∴， 解得或； （2） ， 解得 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】（）移项，利用平方根的定义解答即可求解； （）移项，利用立方根的定义解答即可求解； 本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程的知识， （1）原方程变型为，再利用平方根求解方程的根即可； （2）原方程变型为，再利用立方根求解方程的根即可． 【详解】（1） ； （2）， ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）直接开平方，得出，然后再解一元一次方程即可； （2）先将方程两边同除以8，然后再移项合并同类项，最后再开立方即可． 【详解】（1）解：， 开平方得：， 解得：，． （2）解：， 方程两边同除以8得：， 移项，合并同类项得：， 开立方得：． 【考点五 平方根与立方根的综合问题】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了根据立方根和算术平方根求原数，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此列式求出a、b的值即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵的算术平方根是3， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据算术平方根及立方根的定义即可求得答案； （2）将a，b的值代入中计算后利用平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的立方根是， ， ； （2）解：∵， ， 则的平方根是． 2．（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由算术平方根的定义得出，即可得出的值，由立方根的概念得出，即可得出的值； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 解得， 的立方根为4， ， ， 解得， ，． （2）解：，， ， 的平方根是． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平方根和立方根和相反数，代数式求值，掌握相关概念和运算法则是解题关键 （1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求解即可； （2）先将a、b、c的值代入代数式，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数， ，，， ，； （2）解：由（1）可知，，，； ， 的平方根是． 【考点六 二次根式有意义的条件】 例题：（23-24八年级下·全国·期末）要使二次根式有意义，则下列各数中x可以取（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的代数式叫做二次根式，其中．根据二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、是二次根式，故A选项符合题意．     B、是三次根式，故B选项不符合题意．     C、，不是二次根式，故C选项不符合题意．     D、，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级下·全国·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）要使二次根式有意义，则x的取值可以是（   ） A．5 B．3 C．0 D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的取值可以是5． 故选A． 【考点七 同类二次根式】 例题：（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，把四个选项中的二次根式化为最简二次根式，若被开方数是3，则与是同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列二次根式，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算、同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的，即可解答． 【详解】解：A、，不能与合并，不符合题意； B、，能与合并，符合题意； C、，不能与合并，不符合题意； D、，不能与合并，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·期中）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可． 【详解】解：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与被开方数不同，故不是同类二次根式； C、与被开方数相同，故是同类二次根式； D、与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式、求一个数的平方根 【分析】本题考查了同类二次根式、平方根，根据同类二次根式的定义得出、的值，从而得出的值，再求平方根即可得出答案． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故选：B． 【考点八 比较二次根式的大小】 例题：（23-24八年级下·广东湛江·期中）比较大小： 7． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较．根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】＜ 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）比较大小： （填“，或”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【考点九 二次根式的混合运算之选择题】 例题：（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【详解】解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的加法和除法运算、二次根式的性质，掌握运算法则及性质是关键． 利用二次根式的性质及二次根式的运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； B．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原式计算正确，故该选项符合题意； D．，原式计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，注意计算的准确性即可． 【详解】解：A：，符合题意； B：，不符合题意； C：∵，， ∴， ∴，不符合题意； D：∵，， ∴， ∴，不符合题意； 故选：A 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项正确，符合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 故选：． 【考点十 二次根式的混合运算之解答题】 例题：（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)9 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （2）先进行完全平方和平方差公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，对于（1），先化简二次根式，同时去括号，再合并同类二次根式； 对于（2），根据乘法公式计算，再根据二次根式的加减法计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算． （1）原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，化为最简二次根式，合并即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、实数的混合运算等知识． （1）利用二次根式的性质化简后进行加减法即可； （2）利用二次根式的性质、零指数幂、绝对值、负整数指数幂进行计算即可； （3）利用乘方、算术平方根、立方根进行计算即可； （4）利用绝对值、负整数指数幂、平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【考点十一 二次根式的混合运算中的新定义型问题】 例题：（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算 【分析】此题主要考查了新定义下的实数的运算，根据，求的算术平方根，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东广州·期中）对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算和实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据新定义把数值代入得，再化简计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 【考点十二 二次根式的混合运算中的规律探究问题】 例题：（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察下列运算： ①由，得； ②由，得； ③由，得． (1)通过观察，将你发现的规律用含有的式子表示出来，并注明的取值； (2)利用你发现的计算 ． 【答案】(1)（为正整数） (2) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化、二次根据规律探索，熟练掌握运算法则，得出规律，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据题目中所给式子即可得出答案； （2）由题意得出，进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵①由，得； ②由，得； ③由，得， ∴（为正整数）； （2）解：∵由得， 由得， 由得， ∴， ∴ ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键． （1）根据所给算式的规律可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得 （或或） （2）解：根据题干所给算式的规律，可得 （3）解： 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… (1)请直接写出第4个等式： （不用化简）； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式给予证明； (3)利用（2）的结论计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)1 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查饿了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； （2）利用前面规律写出第个等式，然后根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 第4个等式：； （2）解：第个等式为：（为正整数）； 证明：， 为正整数， ， ∴猜想成立； （3）解： ． 3．（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）【规律探究题】观察下列运算： ①由，得； ②由，得； …… 问题： (1)______；______； (2)利用（1）中发现的规律计算： ． 【答案】(1)；（n为正整数） (2)2024 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律即可； （2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可． 【详解】（1）， （n为正整数） （2）原式 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 实数章节期中期末复习(12类热点题型讲练) 目录 【考点一 无理数的判别】 1 【考点二 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 2 【考点三 利用算术平方根的非负性解题】 4 【考点四 利用开平方、开立方解方程】 5 【考点五 平方根与立方根的综合问题】 8 【考点六 二次根式有意义的条件】 10 【考点七 同类二次根式】 11 【考点八 比较二次根式的大小】 13 【考点九 二次根式的混合运算之选择题】 14 【考点十 二次根式的混合运算之解答题】 16 【考点十一 二次根式的混合运算中的新定义型问题】 19 【考点十二 二次根式的混合运算中的规律探究问题】 21 【考点一 无理数的判别】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）下列各数中：，，，，，无理数有（  ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下列各数0，π，，，0.010010001…（两个1之间，依次增加1个0）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）在实数，，，3.14，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）下列各数、、、、、（相邻两个之间的个数逐次增加），无理数的个数是（　　） A． B． C． D． 【考点二 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 例题：（23-24七年级上·浙江宁波·期中）的相反数是 ，的平方根是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 2．（24-25八年级上·全国·期中）的相反数是 ，的倒数是 ，3的平方根是 ． 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）已知的算术平方根是，是的立方根，则 ． 【考点三 利用算术平方根的非负性解题】 例题：（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知a，b，c满足，则的平方根是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知，那么的值为 ． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 3．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y是直角三角形的两边长，且满足，则此直角三角形的第三边长为 ． 【考点四 利用开平方、开立方解方程】 例题：（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解方程 (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 2．（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【考点五 平方根与立方根的综合问题】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 2．（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【考点六 二次根式有意义的条件】 例题：（23-24八年级下·全国·期末）要使二次根式有意义，则下列各数中x可以取（    ） A． B． C． D．3 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）要使二次根式有意义，则x的取值可以是（   ） A．5 B．3 C．0 D． 【考点七 同类二次根式】 例题：（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）下列二次根式，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【考点八 比较二次根式的大小】 例题：（23-24八年级下·广东湛江·期中）比较大小： 7． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 2．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）比较大小： （填“，或”）． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【考点九 二次根式的混合运算之选择题】 例题：（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点十 二次根式的混合运算之解答题】 例题：（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）计算 (1) (2) 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2)． 2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点十一 二次根式的混合运算中的新定义型问题】 例题：（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东广州·期中）对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为 ． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 3．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【考点十二 二次根式的混合运算中的规律探究问题】 例题：（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察下列运算： ①由，得； ②由，得； ③由，得． (1)通过观察，将你发现的规律用含有的式子表示出来，并注明的取值； (2)利用你发现的计算 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… (1)请直接写出第4个等式： （不用化简）； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式给予证明； (3)利用（2）的结论计算：． 3．（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）【规律探究题】观察下列运算： ①由，得； ②由，得； …… 问题： (1)______；______； (2)利用（1）中发现的规律计算： ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$