第2章 轴对称图形重难点复习（9大题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第2章 轴对称图形重难点复习 思维导图 题型一 轴对称变换 1．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1． （1）按要求作图： ①关于轴对称的图形△； ②将△向右平移6个单位得到△． （2）回答下列问题： ①△中顶点坐标为　　； ②若为边上一点，则按照（1）中①、②作图，点对应的点的坐标为　 　． 2．如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于轴对称的△的各顶点坐标； （2）请画出关于轴对称的△； （3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标　　． 3．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）写出，的坐标； （3）求的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）画出关于轴的轴对称图形△； （2）若以线段为一边作格点（顶点在正方形网格交点上的三角形叫格点三角形），使所作的与全等但所在位置不同，请写出满足条件点坐标　　； （3）直线轴，与线段，分别交于点，（点不与点，，重合），若将沿直线翻折，点的对称点为点，当点落在的内部时，点的横坐标的取值范围是　　． 题型二 翻折变换 1．如图，在锐角纸片中，，，，为上一动点，将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为　　 A．5 B． C． D． 2．如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为，，线段交线段于点，若，则的度数是　　． 3．如图，已知线段与直线的夹角，点是直线的一个动点，平移线段，使点移到点的位置，得到线段，连接，再将沿折叠，点落在点处，若平分，则　　度． 题型三 角平分线的判定与性质 1．如图，△的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将△分为三个三角形，则等于　　 A． B． C． D． 2．如图，在△中，，，为中点，为△的角平分线，△的面积记为，△的面积记为，则为　　 A．13 B． C． D． 3．如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接．作△的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为　　 A． B． C． D． 4．如图，△中，点在边上，，的平分线交于点，过作，垂足为，且，连结，则下列结论：①平分；②；③；④若，，，则．其中正确结论的数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　　 A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 题型四 垂直平分线的判定与性质 1．如图，在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点．的周长为．分别连接、、，若的周长为，则　　． 2．在△中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，，，，则　　． 题型五 等腰三角形的判定与性质——等边对等角，等角对等边 1．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是　　 A． B． C．或 D．不能确定 2．已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为　　 A． B． C．或 D． 3．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 4．如图，，，则等于　　 A． B． C． D． 5．如图，在等腰△中，，点是线段上一点，过点作交于点，且，，则　　 A． B． C． D． 6．如图，，、分别平分△的内角，外角，连接．以下结论：①；②；③；④△和△都是等腰三角形．其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则　　． 8．如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为　　． 9．如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是　　； （2）问题解决：如图2，求证； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 题型六 等腰三角形的判定与性质——三线合一 1．如图，△中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若△周长为16，，则为　　 A．5 B．8 C．9 D．10 2．如图，在中，，，平分，交的延长线于，垂足为．则结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值　　 A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 4．如图，是的角平分线，，垂足为，，，则　　． 题型七 等边三角形的判定与性质 1．下列说法中，正确的个数是　　 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，是等边三角形的中线，点在上，，则等于　　 A． B． C． D． 3．如图，点在的平分线上，，于，点在上，且，若是上的动点，则的最小值是　　 A．8 B．10 C．12 D．6 4．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是　　 A． B． C． D． 5．如图，等边△中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为　　． 6．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　（填“”、“ ”或“” ）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，　　（填“”、“ ”或“” ）；理由如下：过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若△的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 题型八 直角三角形的性质 1．如图，在等边三角形中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为　　 A．1 B． C． D． 2．如图，△中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为　　． 3．如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为　　． 题型九 将军饮马问题 1．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任一点则周长的最小值是　　 A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 2．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是　　 A．3 B．5 C． D． 3．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，，，点为上一定点，点为上一动点，，为上两动点，当最小时，　　 A． B． C． D． 5．如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是　　 A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 轴对称图形重难点复习 思维导图 题型一 轴对称变换 1．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1． （1）按要求作图： ①关于轴对称的图形△； ②将△向右平移6个单位得到△． （2）回答下列问题： ①△中顶点坐标为　　； ②若为边上一点，则按照（1）中①、②作图，点对应的点的坐标为　 　． 【详解】解：（1）如图，△即为所求，△即为所求； （2）①坐标为， 故本题答案为：； ②的坐标为， 故本题答案为：． 2．如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于轴对称的△的各顶点坐标； （2）请画出关于轴对称的△； （3）在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标　　． 【详解】解：（1）与△关于轴对称， 点，，； （2）如图，△即为所求； （3）如图，点即为所求，点的坐标为， 故本题答案为：． 3．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△； （2）写出，的坐标； （3）求的面积． 【详解】解：（1）如图，△即为所求； （2）由图可知：，； （3）的面积为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）画出关于轴的轴对称图形△； （2）若以线段为一边作格点（顶点在正方形网格交点上的三角形叫格点三角形），使所作的与全等但所在位置不同，请写出满足条件点坐标　　； （3）直线轴，与线段，分别交于点，（点不与点，，重合），若将沿直线翻折，点的对称点为点，当点落在的内部时，点的横坐标的取值范围是　　． 【详解】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，符合要求的点的坐标分别为，，； （3）， ， 点落在的内部， ，解得：， 故本题答案为：． 题型二 翻折变换 1．如图，在锐角纸片中，，，，为上一动点，将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为　　 A．5 B． C． D． 【详解】解：如图，作于点， ，且， ， ， ， ， 的最小值为， 由翻折可得：，，， ，， ， ， 当取最小值时，． 故本题选：． 2．如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为，，线段交线段于点，若，则的度数是　　． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ， ， ， ， ． 故本题答案为：． 3．如图，已知线段与直线的夹角，点是直线的一个动点，平移线段，使点移到点的位置，得到线段，连接，再将沿折叠，点落在点处，若平分，则　　度． 【详解】解：如图1，点在点的右侧， 平分， ， 将沿折叠，点落在点处， ， ， ， 平移线段，得到线段， ， ； 如图2，点在点的左侧， 平分， ， 将沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ． 故本题答案为：50或70． 题型三 角平分线的判定与性质 1．如图，△的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将△分为三个三角形，则等于　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，过点作于，于，于， 三条角平分线将△分为三个三角形， ， ． 故本题选：． 2．如图，在△中，，，为中点，为△的角平分线，△的面积记为，△的面积记为，则为　　 A．13 B． C． D． 【详解】解：如图，过作于，于， 为△的角平分线， ， ，， ， ， 是中点， ， ， ． 故本题选：． 3．如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接．作△的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接，过作于点，作于点，作于点， 平分，平分， ，， ， 平分， ， ， ， 当时，最小，． ． 故本题选：． 4．如图，△中，点在边上，，的平分线交于点，过作，垂足为，且，连结，则下列结论：①平分；②；③；④若，，，则．其中正确结论的数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：作于，作于， ， ， ， ， ，即平分， ，， ， ， 平分，故①正确； 在△和△中， ， △△， ， 同理：△△， ， ， ， ，故②正确； ， 设， 则，， ，故③正确； ，， ， ， ， ， ， ∴， ∴，故④错误． 故本题选：． 5．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　　 A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【详解】解：和的平分线相交于点， ，， ，①正确； ， ， ，分别是与的平分线， ， ， ， ， 如图，在上取一点，使， 是的角平分线， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； 如图，作于，于， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上， ， ， ，③正确． 故本题选：． 题型四 垂直平分线的判定与性质 1．如图，在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点．的周长为．分别连接、、，若的周长为，则　　． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的垂直平分线， ，， ， 的周长为，即， ， 边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于， ， 的周长为，即， ， ， ． 故本题答案为：5． 2．在△中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，，，，则　　． 【详解】解：①如图， 垂直平分，垂直平分， ，， ，，， ， ； ②如图， 同理可得：； 综上，或9． 故本题答案为：13或9． 题型五 等腰三角形的判定与性质——等边对等角，等角对等边 1．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【详解】解：①若是顶角的外角，则顶角； ②若是底角的外角，则底角，那么顶角． 故本题选：． 2．已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为　　 A． B． C．或 D． 【详解】解：设两内角的度数为、， ①当等腰三角形的顶角为时，，； ②当等腰三角形的顶角为时，，，； 综上，等腰三角形的顶角度数为或． 故本题选：． 3．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【详解】解：， ， 、分别是线段、的垂直平分线， ，， ，， ， ， ． 故本题选：． 4．如图，，，则等于　　 A． B． C． D． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 故本题选：． 5．如图，在等腰△中，，点是线段上一点，过点作交于点，且，，则　　 A． B． C． D． 【详解】解：在等腰△中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故本题选：． 6．如图，，、分别平分△的内角，外角，连接．以下结论：①；②；③；④△和△都是等腰三角形．其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①平分， ， ，， ， ， ，故①正确； ②， ， 平分，， ， 即，故②正确； ③平分， ， 又，， ， ，故③正确； ④平分，， ， △是等腰三角形， 平分，， ， △是等腰三角形，故④正确． 故本题选：． 7．如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则　　． 【详解】解：如图，连接，并延长到， 线段、的垂直平分线、相交于点， ，， ， ， ， ， ，， ，， ． 故本题答案为：84． 8．如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为　　． 【详解】解：如图，连接， 线段，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故本题答案为：． 9．如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是　　； （2）问题解决：如图2，求证； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【详解】解：（1）平分，，， （角平分线上的点到角的两边距离相等）， 故本题答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）如图2，作交延长线于，于， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）如图，在时截取，连接， ，， ， 平分， ， ， ，即， 由（2）可得：， ， ， ， ， ． 题型六 等腰三角形的判定与性质——三线合一 1．如图，△中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若△周长为16，，则为　　 A．5 B．8 C．9 D．10 【详解】解：△周长为16， ， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ． 故本题选：． 2．如图，在中，，，平分，交的延长线于，垂足为．则结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：①，， ， 平分， ， 在与中，，， ， ，，， (ASA)， ，故①正确； ②①中， ，故②正确； ③①中， ，， ， 在中，， ， ， ，即，故③正确； ④由③可知：是等腰三角形， ， ， 在中，若，则，与②中相矛盾， ∴，故④错误； ⑤由③可知：是等腰三角形， ， ，故⑤正确； 综上，①②③⑤四项正确． 故本题选：． 3．如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值　　 A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 【详解】解：如图，延长交于点．设交于点， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故本题选：． 4．如图，是的角平分线，，垂足为，，，则　　． 【详解】解：如图，延长交于， ，， ， ， ， 是的角平分线， ， ． 故本题答案为：． 题型七 等边三角形的判定与性质 1．下列说法中，正确的个数是　　 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形，正确； ②有一个角为的等腰三角形是等边三角形，正确； ③有两个角为的三角形是等边三角形，正确； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形，正确． 故本题选：． 2．如图，是等边三角形的中线，点在上，，则等于　　 A． B． C． D． 【详解】解：△是等边三角形， ，， 是等边三角形的中线， ， ， ， ． 故本题选：． 3．如图，点在的平分线上，，于，点在上，且，若是上的动点，则的最小值是　　 A．8 B．10 C．12 D．6 【详解】解：是角平分线上的一点，， ， ， ， ， ， △为等边三角形， ， 点是上一个动点， 的最小值为到距离， 点在的平分线上， 的最小值． 故本题选：． 4．如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接，过点作于，于， 则， 由折叠可知：，， ， 是等边三角形， ，， 平分，， ， 又，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 即， ，， ， ． 故本题选：． 5．如图，等边△中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为　　． 【详解】解：如图，过作于点， ，， ， 设，则， ， ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ，即，解得：， ， ． 故本题答案为：． 6．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　（填“”、“ ”或“” ）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，　　（填“”、“ ”或“” ）；理由如下：过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若△的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【详解】解：（1）当为的中点时，， 故本题答案为：； （2）， 理由如下：过点作，交于点， △为等边三角形， △为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ∴， 故本题答案为：； （3）如图，点在延长线上时，作， 则△为等边三角形， 同理可得：△△， ，， ， ， ∴． 题型八 直角三角形的性质 1．如图，在等边三角形中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为　　 A．1 B． C． D． 【详解】解：为等边三角形， ，， ，， ， ， ，， 点是的中点， ， ，，， ． 故本题选：． 2．如图，△中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为　　． 【详解】解：如图，连接、， ∵△中，，，， ，点、分别是、的中点， ，， 当、、在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 故本题答案为：3． 3．如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为　　． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于， 是等边三角形，点是的中点， ， 点在射线上运动， 当点与点重合时，最小， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 的周长为：18． 故本题答案为：18． 题型九 将军饮马问题 1．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任一点则周长的最小值是　　 A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 【详解】解：如图，设交于点，连接，， 垂直平分， ，， 的周长为， 当点与点重合时，的周长最小，最小值为． 故本题选：． 2．如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是　　 A．3 B．5 C． D． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，交于点， 是等腰三角形，，是边上的高， 所在直线是等腰的对称轴，点，点关于直线对称， ， ， 的最小值为的长，此时点位于点处，点位于点处， 是边上的高，， ， ， ，是边上的高，， ， 又，， ． 故本题选：． 3．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【详解】解：如图，作点关于的对称点，过作交于点，交于点，连接， ， ， 此时的值最小， 是正三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故本题选：． 4．如图，，，点为上一定点，点为上一动点，，为上两动点，当最小时，　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，过点作射线，则，连接，，则，， 作点关于的对称点，过点作射线，则，连接，则， ， 要使最小，需点，，，在一条直线上，且， ， ， 可以过点作， ， ， 当最小时，． 故本题选：． 5．如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是　　 A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值． 故本题选：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$