专题05尺规作图三种常考题型-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

专题05尺规作图三种常考题型 题型01作角的平分线 【典例分析】 【例1-1】求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）    【例1-2】．已知：如图，是的角平分线． (1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：． 【例1-3】．如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 【变式演练】 【变式1-1】如图，已知三角形，，，在上求作一点D，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式1-2】已知，请在边上确定一点，使得点到的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）    【变式1-3】．如图，中，，． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，直接写出的面积为： ． 题型02作线段的垂直平分线 【典例分析】 【例2-1】如图，已知点A、点B以及直线l． (1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）； (2)在（1）中所作的图中，若，，求证：． 【例2-2】（2023秋•桂林期末）综合与实践 （1）【实践操作】： 已知：线段，如图1， 作图：用尺规作图，作线段的垂直平分线，与交于点．（只保留作图痕迹，不要求写出作法） 发现：在直线上任取一点（点除外），连接、后发现是 　　三角形． （2）【类比探究】： 已知：如图2，在中，， 作图：在线段上求作点，连接，使得和都是等腰三角形．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） （3）【推理证明】：在（2）所作的图2中，求证：和都是等腰三角形． 【例2-3】（2023秋•镇平县期末）如图，已知点、以及直线，于点，于点． （1）在直线上求作一点，使（用无刻度的直尺和圆规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在所作的图中，连接、，若，求证：． 【变式演练】 【变式2-1】（2024春•碑林区校级期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2-2】（2022秋•遂平县期末）如图，已知点、以及直线，，垂足为点． （1）过点作，垂足为点； （2）在直线上求作一点，使； （要求：第（1）、（2）小题用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法． （3）在所作的图中，连接、，若，求证：． 【变式2-3】（2022秋•洛江区期末）在下面的中，请你按要求用尺规作出下列图形（保留作图痕迹）并填空． （1）作出的平分线交边于点； （2）作出边上的垂直平分线交于点； （3）连接，若，，则的度数为 　 　． 题型03作一个角等于已知角 【典例分析】 【例3-1】（2023秋•西华县月考）已知：． （1）求作：，使； （2）说明作一个角等于已知角的方法依据． 【例3-2】（2022春•碑林区校级期末）如图，已知与交于点，且点为的中点，连接，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【例3-3】如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹．不写作法） (1)请按题中要求先作图，并说出你的作图依据是：___________． (2)请直接写出与的数量关系：___________． 【变式演练】 【变式3-1】（2022秋•房山区期末）下面是贝贝同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图， ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ③连接，； 所以就是所求作的角． 根据贝贝设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明． 证明：连接． 在和中，， 　　（填推理理由）． 　　（填推理理由）． 【变式3-2】（2024春•南山区期中）（1）利用直尺和圆规作一个角等于已知角的作法如下： ①以点 　 　为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、； ②作射线，以点为圆心，以 　　长为半径画弧，交于点； ③以 　　为圆心，以 　　长为半径画弧，两弧交于点； ④过点作射线，为所求． （2）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我国两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域，如图，在处测得在东北方向上，在处测得在北偏西的方向上． ①从处看、两处的视角　　度； ②从处看、两处的视角　　度． 【变式3-3】（2023秋•秦安县期末）如图是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程： 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图： ①在的两边上分别任取一点、； ②以点为圆心，为半径画弧；以点为圆心，为半径画弧；两弧交于点； ③连结、． 所以即为所求作的角． 请根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下列证明． 证明：连结， ，　　，　　， 　　（填推理依据）． ． 【变式3-4】（2022秋•丰台区期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：，使，且点在射线上． 作法： ①如图2，在射线上任取一点； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③连接． 则即为所求作的角． 根据上述作图过程，回答问题： （1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：是线段的垂直平分线， 　　　　（填推理的依据）． 　　（填推理的依据）． ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05尺规作图三种常考题型 题型01作角的平分线 【典例分析】 【例1-1】求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力，注意命题的证明的格式和步骤是正确解题的前提． 作出图形，结合图形写出已知、求证，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，得， ，，由、分别是和的平分线，可得，根据角边角可以判定，即可得出结论． 【详解】已知：如图所示，，、分别是和的平分线．    求证： 证明：∵， ∴， ，， ∵、分别是和的平分线．， ∴， 在和中， ∴()， ∴ 【例1-2】．已知：如图，是的角平分线． (1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，平行线的尺规作图： （1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据题意作图，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求； （2）解：如图所示，点F即为所求， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴， ∴， ∴． 【例1-3】．如图，已知点、、在一条直线上，． (1)利用直尺和圆规作的平分线； (2)如果，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作角平分线、角平分线的定义、解一元一次方程，正确作出角平分线是解答的关键． （1）根据尺规作角平分线的作图方法即可； （2）设，则，，根据角平分线的定义得到，根据已知条件结合角的运算得到关于x的方程，然后求解x值即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求作； （2）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， ∵， ∴，解得， 即 【变式演练】 【变式1-1】如图，已知三角形，，，在上求作一点D，使得．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】根据，，得到是等腰直角三角形，作的平分线，交于点D，根据等腰三角形三线合一性质，可得，解得即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图，灵活应用等腰三角形的三线合一性质是解题的关键． 【详解】根据，，得到是等腰直角三角形， 故的平分线，交于点D，根据等腰三角形三线合一性质，可得，作图如下： 则点D即为所求． 【变式1-2】已知，请在边上确定一点，使得点到的距离相等．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】题目主要考查角平分线的作法及性质，根据题意点到的距离相等得出作角平分线，然后作图即可，熟练掌握作图方法是解题关键． 【详解】解：如图所示：点P即为所求．    【变式1-3】．如图，中，，． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，直接写出的面积为： ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法即可完成作图； （2）作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，角平分线即为所作， ； （2）解：如图，作于， ， ∵平分，， ∴， ∴ 题型02作线段的垂直平分线 【典例分析】 【例2-1】如图，已知点A、点B以及直线l． (1)用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）； (2)在（1）中所作的图中，若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图法，作出的垂直平分线得出即可； （2）利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可． 此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：在和中 ， 【例2-2】（2023秋•桂林期末）综合与实践 （1）【实践操作】： 已知：线段，如图1， 作图：用尺规作图，作线段的垂直平分线，与交于点．（只保留作图痕迹，不要求写出作法） 发现：在直线上任取一点（点除外），连接、后发现是 　等腰　三角形． （2）【类比探究】： 已知：如图2，在中，， 作图：在线段上求作点，连接，使得和都是等腰三角形．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） （3）【推理证明】：在（2）所作的图2中，求证：和都是等腰三角形． 【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线得到直线，然后根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定方法进行判断； （2）作的垂直平分线得到点； （3）先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据斜边上的中线性质得到，从而可判断和都是等腰三角形． 【解答】（1）解：如图1，直线为所作， 直线垂直平分， ， 为等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）解：如图，点为所作； （3）证明：点为的垂直平分线与的交点， ， ， 为斜边边的中线， ， 和都是等腰三角形． 【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定． 【例2-3】（2023秋•镇平县期末）如图，已知点、以及直线，于点，于点． （1）在直线上求作一点，使（用无刻度的直尺和圆规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在所作的图中，连接、，若，求证：． 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，点即为所求作； （2）首先推导出，，结合证得． 【解答】（1）解：如图所示： （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 在和， ， ． 【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式演练】 【变式2-1】（2024春•碑林区校级期末）如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作线段的垂直平分线，交于点，连接，则，进而可得的周长为，则点即为所求． 【解答】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接， 则， 的周长为， 则点即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【变式2-2】（2022秋•遂平县期末）如图，已知点、以及直线，，垂足为点． （1）过点作，垂足为点； （2）在直线上求作一点，使； （要求：第（1）、（2）小题用尺规作图，并在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法． （3）在所作的图中，连接、，若，求证：． 【分析】（1）利用过直线外一点作直线的垂线画； （2）作的垂直平分线交于； （3）先利用同角的余角相等得到，然后根据“”判断． 【解答】（1）解：如图2，直线就是要求作的垂线； （2）解：如图2，点就是所要求作的点； （3）证明， ，． ， ． ， 在和中 ． 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形全等的判定． 【变式2-3】（2022秋•洛江区期末）在下面的中，请你按要求用尺规作出下列图形（保留作图痕迹）并填空． （1）作出的平分线交边于点； （2）作出边上的垂直平分线交于点； （3）连接，若，，则的度数为 　 　． 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （3）由三角形内角和定理可结合角平分线的定义可得，进而由线段垂直平分线的性质得出，最后再次由三角形内角和定理即可求出答案． 【解答】解：（1）的平分线如图所示； （2）线段的垂直平分线如图所示； （3），， ． 为的平分线， ． 直线为线段的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查作图—角平分线，作图—线段垂直平分线，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键． 题型03作一个角等于已知角 【典例分析】 【例3-1】（2023秋•西华县月考）已知：． （1）求作：，使； （2）说明作一个角等于已知角的方法依据． 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧交、于点、，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，与以点为圆心，长为半径画弧交于点，过点、作射线，则即为所求； （2）根据证明△，得出即可． 【解答】解：（1）如图所示，即为所求； （2）由作图可知，，，， △， ． 【点评】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【例3-2】（2022春•碑林区校级期末）如图，已知与交于点，且点为的中点，连接，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作即可． 【解答】解：如图，点即为所求． 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【例3-3】如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹．不写作法） (1)请按题中要求先作图，并说出你的作图依据是：___________． (2)请直接写出与的数量关系：___________． 【答案】(1)图见详解， (2) 【分析】本题主要考查三角形外角的性质及角的尺规作图，熟练掌握画一个角与已知角相等的尺规作图是解题的关键； （1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于M、N，然后以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，进而根据点E为圆心，长为半径画弧，最后问题可求解； （2）根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： 作图依据为； 故答案为； （2）解：由（1）可知：， ∴； 故答案为 【变式演练】 【变式3-1】（2022秋•房山区期末）下面是贝贝同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图， ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ③连接，； 所以就是所求作的角． 根据贝贝设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明． 证明：连接． 在和中，， 　　（填推理理由）． 　　（填推理理由）． 【分析】（1）根据作法完成作图； （2）利用证明三角形全等． 【解答】（1）解：如图所示， （2）证明：连接． 在和中， ， ． （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：，，，全等三角形的对应角相等． 【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【变式3-2】（2024春•南山区期中）（1）利用直尺和圆规作一个角等于已知角的作法如下： ①以点 　　为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、； ②作射线，以点为圆心，以 　　长为半径画弧，交于点； ③以 　　为圆心，以 　　长为半径画弧，两弧交于点； ④过点作射线，为所求． （2）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我国两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域，如图，在处测得在东北方向上，在处测得在北偏西的方向上． ①从处看、两处的视角　　度； ②从处看、两处的视角　　度． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤解决问题即可； （2）根据方位角的定义以及三角形内角和定理求解． 【解答】解：（1）①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、； ②作射线，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点； ④过点作射线，为所求． 故答案为：，，，； （2）①； ②． 故答案为：60，75． 【点评】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 【变式3-3】（2023秋•秦安县期末）如图是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程： 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图： ①在的两边上分别任取一点、； ②以点为圆心，为半径画弧；以点为圆心，为半径画弧；两弧交于点； ③连结、． 所以即为所求作的角． 请根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下列证明． 证明：连结， ，　　，　　， 　　（填推理依据）． ． 【分析】（1）利用直尺和圆规，补全图形即可； （2）根据全等三角形的判定与性质即可完成证明． 【解答】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形如图所示： ； （2）证明：连结， ，，， ． ． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了作图复杂作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 【变式3-4】（2022秋•丰台区期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：，使，且点在射线上． 作法： ①如图2，在射线上任取一点； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③连接． 则即为所求作的角． 根据上述作图过程，回答问题： （1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：是线段的垂直平分线， 　　　　（填推理的依据）． 　　（填推理的依据）． ， ． 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形外角性质得到． 【解答】解：（1）如图， 即为所求作： （2）证明：是线段的垂直平分线， （线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）， （等边对等角）， ， ， 故答案为：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$