第02讲 期中压轴专题：有理数与整式运算压轴题（7类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（北师大版2024）

第02讲 期中压轴专题：有理数与整式中压轴题 (7类热点题型讲练) 目录 【考点一 有理数运算中的新定义型问题】 1 【考点二 有理数、整式中化简绝对值】 5 【考点三 数轴上的压轴问题】 9 【考点四 整式运算中的新定义型问题】 17 【考点五 整式运算中的整体代入求值问题】 22 【考点六 整式运算中的实际应用问题】 26 【考点七 整式运算中的规律探究问题】 33 【考点一 有理数运算中的新定义型问题】 1．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，如：数对，，都是“共生有理数对”． (1)判断数对是不是“共生有理数对”，并说明理由． (2)若是“共生有理数对”，求a的值． (3)请再写出两对符合条件的“共生有理数对”为：（4， ）和（ ，2）． (4)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）． 2．（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：类比有理数的乘方，我们要求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，记作，读作“的圈次方”。 如：，记作，读作“2的圈3次方”； ，记作，读作“的圈4次方”． （1）直接写出计算结果：________； （2）除方也可以转化为乘方的形式， 如： 试将下列运算结构直接写成乘方的形式：______；________； （3）计算：． 3．（22-23七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【考点二 有理数、整式中化简绝对值】 1．（24-25七年级上·全国·期中）有理数在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 2．（24-25七年级上·全国·期中）有理数，，，且， (1)如下图，在数轴上将a，b，c三个数填在相应的括号中；    (2)用“”或“”或“”填空　　0，　　0，　　0；； (3)化简：． 3．（22-23七年级上·浙江金华·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，，请用这种方法解决下列问题． (1)当时，分别求的值； (2)已知是有理数，当时，试求的值； (3)已知是有理数，当时，试求的值． 4．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 【考点三 数轴上的压轴问题】 1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，请解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，并且，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)已知数轴上，两点之间的距离为2024；若，两点经折叠后重合，且点表示的数比点表示的数大，求和表示的数． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）对于直线上三个点R，S，T，我们规定：如果R，S之间的距离等于R，T之间的距离的m倍（m为正整数），则R叫做S到T的m点．如图（1），数轴上A，B，C，D四点表示的数分别为，3，，4，则C是B到A的2点，D是A到B的7点． (1)A是B到C的________点，B是A到D的_______点； (2)若A到B的n点与B到A的n点是同一点E，则________，E表示的数是_______； (3)如图（2），若F是A到B的8点，求点F表示的数； (4)若P是A到B的k点，Q是B到A的k点．直接写出点P，Q之间的距离．（用含k的式子表示） 3．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如下图，在数轴上有四个点A、B、C、D分别表示、、、，请回答： (1)①A、B两点间的距离是 ，C、D两点之间的距离是 ． ②A、C两点之间的距离是 ，B、D两点之间的距离是 ． ③在数轴上，若点M表示的数是m，点N表示的数是n，则M、N两点之间的距离是 ．（用含m、n的式子表示） (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是 ． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． 4．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置： (2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________； (3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示） (4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 5．（23-24七年级上·四川眉山·期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1)______，______； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取最小值． ④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 【考点四 整式运算中的新定义型问题】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式． (1)和______是关于0的组合式； (2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由； (3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2023与 是关于的平均数， 与是关于2的平均数． (2)若a与2b是关于3的平均数，2b与c是关于的平均数，c与d是关于9的平均数，求 (3)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）定义：对于依次排列的多项式、、、（a、b、c、d是常数），当它们满足，且是常数时，则称a、b、c、d是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如，对于多项式、、、来说，因为，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是这组平衡数的平衡因子． (1)已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子______； (2)若、2、、3是一组平衡数，求的值及该组平衡数的平衡因子； (3)当a、b、c、之间满足怎样的数量关系时，它们是一组平衡数，请说明理由． 5．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解 【方法】 有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如：，经过处理器得到． 【应用】 若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，________． （2）若，则关于的方程，求的值 【延伸】 （3）已知，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的一次多项式，关于的方程，求的值． 【考点五 整式运算中的整体代入求值问题】 1．（24-25七年级上·全国·期中）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） (3)【拓展应用】 在完成上面的问题有基础上，解答下面的问题： 已知，求代数式的值． 2．（23-24七年级上·江西南昌·期中）我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 3．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则____________； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，求的值． (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 4．（23-24七年级上·江西赣州·期中）阅读材料： “整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是__________； （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【考点六 整式运算中的实际应用问题】 1．（24-25七年级上·吉林松原·期中）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于元但不低于200元 九折优惠 元或超过元 其中不超过元部分给予九折优惠，超过元部分给予八折优惠 (1)若王老师一次性购物400元，则他实际付款______元；若一次性购物元，则他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于元但不小于200时，他实际付款______元；当x大于或等于时，他实际付款______（用含x的式子表示） (3)如果王老师两次购物的货款合计元，第一次购物的货款为a元（），用含a的代数式表示王老师两次购物实际付款的钱数． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 例如：若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民2月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含a的整式表示，并化简） (3)若该户居民4月份用水，4、5两个月共用水，且5月份用水超过4月份，请用含x的整式表示4、5两个月共交的水费多少元？ 3．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)计算窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户需要的材料费是多少元． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 乙 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 4．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）【知识学习】 学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)【理解应用】若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)【能力提升】有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系．    5．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）【实际问题】 某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 【问题建模】 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． （3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果． 【问题解决】 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 种不同的优惠金额． 【问题拓展】 从3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程） 【考点七 整式运算中的规律探究问题】 1．（23-24七年级上·北京海淀·期中）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n 为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1＝2，a2＝4，a3＝6，a4＝8，a5＝10，规定运算．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，． (1)已知一列数，那么　　． 　　； (2)已知这列数，按照规律可以无限写下去，那么　　，　　． (3)在（2）的条件下，若存在正整数n使等式成立，直接写出n的值． 2．（23-24七年级上·四川自贡·期中）综合与实践，问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，， 独立思考： (1)解答王老师提出的问题：第个式子为 ，第个式子为 ； 实践探究： (2)在（）中找出规律，并利用规律计算：； 问题拓展： (3)数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为，该小组提出下面的问题，请你解答：求； 问题解决： (4)求的值． 3．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）餐厅摆放桌椅，照这样的方式继续排列餐桌，摆n张餐桌可坐人数为. (1)______（用n表示）；______； (2)我们用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数α和正整数n.规定：，如：. ①计算：的值； ②与互为相反数吗？请说明理由. 4．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）【阅读中思考】 设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值． （2）求的值为____________．（直接写出答案） 【应用拓展】 设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 则的值为_____________．（直接写出答案） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 期中压轴专题：有理数与整式中压轴题 (7类热点题型讲练) 目录 【考点一 有理数运算中的新定义型问题】 1 【考点二 有理数、整式中化简绝对值】 5 【考点三 数轴上的压轴问题】 9 【考点四 整式运算中的新定义型问题】 17 【考点五 整式运算中的整体代入求值问题】 22 【考点六 整式运算中的实际应用问题】 26 【考点七 整式运算中的规律探究问题】 33 【考点一 有理数运算中的新定义型问题】 1．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，如：数对，，都是“共生有理数对”． (1)判断数对是不是“共生有理数对”，并说明理由． (2)若是“共生有理数对”，求a的值． (3)请再写出两对符合条件的“共生有理数对”为：（4， ）和（ ，2）． (4)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）． 【答案】(1)是“共生有理数对”，理由见解析 (2) (3) (4)是 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题目所给“共生有理数对”的定义进行判断即可； （1）根据题目所给“共生有理数对”的定义，列出方程求解即可； （3）设是“共生有理数对”， 是“共生有理数对”， 根据题目所给“共生有理数对”的定义，列出方程求解即可； （4）分别求出和，再根据是“共生有理数对”，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴是“共生有理数对”． （2）解：∵是“共生有理数对”， ∴， 解得：． （3）解：设是“共生有理数对”， 是“共生有理数对”， 则，， 解得：， 故答案为：． （4）解：， ， ∵是“共生有理数对”， ∴， ∴是“共生有理数对”， 故答案为：是． 2．（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：类比有理数的乘方，我们要求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，记作，读作“的圈次方”。 如：，记作，读作“2的圈3次方”； ，记作，读作“的圈4次方”． （1）直接写出计算结果：________； （2）除方也可以转化为乘方的形式， 如： 试将下列运算结构直接写成乘方的形式：______；________； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方，解题的关键是正确理解题目所给圈n次方的定义． （1）根据题目所给圈n次方的定义，进行计算即可； （2）根据题目所给圈n次方的定义，将除法改写为乘法，即可解答； （3）根据题目所给圈n次方的定义，将除法改写为乘法，将算式化简，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：； （2）； ， 故答案为：；； （3）解： ． 3．（22-23七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 【考点二 有理数、整式中化简绝对值】 1．（24-25七年级上·全国·期中）有理数在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)；；． (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值 【分析】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值的性质，准确识图，确定、、的正负情况和绝对值的大小是解题的关键． （1）根据数轴确定、、的正负情况解答即可； （2）根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可． 【详解】（1）解：由图可知，且， ∴，，， 故答案为：；；． （2）解：， ， ，， ． 2．（24-25七年级上·全国·期中）有理数，，，且， (1)如下图，在数轴上将a，b，c三个数填在相应的括号中；    (2)用“”或“”或“”填空　　0，　　0，　　0；； (3)化简：． 【答案】(1)(从左往右) (2)，， (3) 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、用数轴上的点表示有理数、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．也考查了绝对值． （1）先比较与的大小，再得到、、的大小关系，从而把、、填到数轴上； （2）利用、、的大小关系和绝对值的意义即可得出答案； （3）根据（2）得出的结论直接去绝对值，然后相加即可得出答案． 【详解】（1）解：根据已知条件填图如下：    （2）解：，，， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：，，； （3）解：∵，，． ∴ ． 3．（22-23七年级上·浙江金华·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，，请用这种方法解决下列问题． (1)当时，分别求的值； (2)已知是有理数，当时，试求的值； (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)１， (2) (3)0或 【知识点】化简绝对值、有理数四则混合运算 【分析】（1）直接代入求解即可； （2）分a、b同为正和同为负，化简绝对值求解即可； （3）分a、b、c中有一个小于0，其它两个大于0和三个都小于0，化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）解：由知，分两种情况： 当时，； 或时，， 故当时，的值为； （3）解：由知，分两种情况： 当a、b、c中有一个小于0，其它两个大于0时， ； 当a、b、c三个都小于0时， ， 综上，当时，的值为0或． 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的四则混合运算，分类讨论并正确求解是解答的关键． 4．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】绝对值的意义、有理数的除法运算 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分别利用，或，分析得出答案； （3）根据题意得出，，中有两个为正数，一个为负数，设，，代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，则；当时，则 故答案为：； （2）解：当时，则，同号 ①当，时， ②当，时， （3）解：由，得，， 且 ，，中有两个为正数，一个为负数 不妨设，， 则原式 【考点三 数轴上的压轴问题】 1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，请解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，并且，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)已知数轴上，两点之间的距离为2024；若，两点经折叠后重合，且点表示的数比点表示的数大，求和表示的数． 【答案】(1) (2)或 (3)M点表示的数是1009，N点表示的数是 【知识点】有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数、有理数四则混合运算、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据题意即可找到对应点的数； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或，分两种情况计算即可； （3）依据M、N之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，列式求出M、N所表示的数即可． 【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数1表示的点的中点为： ， ∴数轴上数表示的点与数1表示的点的对称点为， ∵，， ∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合； （2）解：∵点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为或， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示时，，， 当点A表示5时，，， ∴B点表示的数是或； （3）解：∵M、N之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合， ∴，， ∵M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是1009，N点表示的数是． 【点睛】本题主要查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离，有理数混合运算的应用，准确计算是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）对于直线上三个点R，S，T，我们规定：如果R，S之间的距离等于R，T之间的距离的m倍（m为正整数），则R叫做S到T的m点．如图（1），数轴上A，B，C，D四点表示的数分别为，3，，4，则C是B到A的2点，D是A到B的7点． (1)A是B到C的________点，B是A到D的_______点； (2)若A到B的n点与B到A的n点是同一点E，则________，E表示的数是_______； (3)如图（2），若F是A到B的8点，求点F表示的数； (4)若P是A到B的k点，Q是B到A的k点．直接写出点P，Q之间的距离．（用含k的式子表示） 【答案】(1)3；6 (2)1；0 (3)点F表示的数是或 (4)点P，Q之间的距离为或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、有理数四则混合运算 【分析】（1）根据题干提供信息进行解答即可； （2）根据题意得出：，求出E表示的数即可； （3）分①若F在A、B之间，②若F在B的右侧两种情况进行讨论得出结果即可； （4）分四种情况进行讨论，①当点P和点Q在之间时，②当点P在之间，点Q在A点左侧时，③当点Q在之间，点P在点B右侧时，④当点Q在A左侧时，点P在点B右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴A是B到C的3点， ∵，，， ∴B是A到D的6点； 故答案为：3；6． （2）解：根据题意得： ∴， ∴， ∴点E表示的数为，； 故答案为：1；0． （3）解：∵F是A到B的8点 ∴， ①若F在A、B之间： 则F：； ②若F在B的右侧： 则F：； ∴点F表示的数是或． （4）解：∵k为正整数， ∴点P到点A的距离大于等于点P到点B的距离， 即点P在数轴上一定在点A的右侧， 同理可知，点Q在数轴上一定在点B的左侧； ①当点P和点Q在之间时，如图所示： ∵，， ∴，， 同理，，， 则； ②当点P在之间，点Q在A点左侧时，如图所示： 由①可知，，， ∵，， ∴，， 则； ③当点Q在之间，点P在点B右侧时，如图所示： 由①可知，，， ∵，， ∴，， 则； ④当点Q在A左侧时，点P在点B右侧时，如图所示： 由②③可知，，， ，， 则； 综上分析可知，点P，Q之间的距离为或或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如下图，在数轴上有四个点A、B、C、D分别表示、、、，请回答： (1)①A、B两点间的距离是 ，C、D两点之间的距离是 ． ②A、C两点之间的距离是 ，B、D两点之间的距离是 ． ③在数轴上，若点M表示的数是m，点N表示的数是n，则M、N两点之间的距离是 ．（用含m、n的式子表示） (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是 ． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)①3，②8，③ (2) (3)存在，最小值为3 【知识点】有理数的减法运算、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点间距离计算；理解两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）把求的x，转化为求x对应的点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，再分别求出x即可； （3）把求的最小值问题转化为有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和，而当x所对点在3和6所对的两点之间时有最小值，进而可求出最小值． 【详解】（1）解：①A、B两点间的距离是，C、D两点之间的距离是， 故答案为：3，； ②A、C两点之间的距离是，B、D两点之间的距离是， 故答案为：8，； ③M、N两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：表示在数轴上，x对应的点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x可为， 故答案为：； （3）解：存在，最小值为3，理由如下： 表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和， 当有理数x所对点在3和6所对的两点之间时，的值最小，即为3和6所对的两点之间的距离， 的最小值为． 4．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置： (2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________； (3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示） (4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)A表示，B表示，C表示4，图见解析； (2)6；或3； (3)； (4)不会变化，理由见解析． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】本题考查了数轴，解一元一次方程以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． （1）根据题意分别表示出距离求出坐标，画出图形； （2）根据距离公式得出的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果； （3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； （4）表示出和，再相减即可得出结论． 【详解】（1）A：，即，A表示， B：，即，B表示， C：，即，C表示4， A、B、C三点的位置如图所示： （2）（cm）； 设D表示的数为a， ， ，解得：或， 点D表示的数为或3； 故答案为：6；或3； （3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； 故答案为： （4）的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：平移后，cm ， ， ， 的值恒为3，不会随着t的变化而变化． 5．（23-24七年级上·四川眉山·期中）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1)______，______； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取最小值． ④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 【答案】(1)， (2)5 (3)①3；②4；③4；④当时，的值最小，最小值为． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时的取值的一般规律是解题的关键． （1）根据相反数和非负数的性质，求解即可； （2）由折叠可知，折痕点对应的数是，再由对称性可知点B与数字5重合； （3）①当时，有值最小； ②当时，的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解； ③找到2，2，3，3，4，4，4，4的中间数即为所求； ④由，可求4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当时，式子有最小值． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，，解得，， 故答案为：，； （2）解：∵点A与表示的点重合， ∴折痕点对应的数是， ∴与点B重合的点所表示的数为， 故答案为：5； （3）解：①表示数轴上表示的点到表示3的点和6的点的距离之和， 当时，的值最小， 的最小值为3， 故答案为：3； ②表示数轴上表示的点到表示的点和4的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为7， ， 的整数值为，，，0，1，2，3，4， 满足条件的所有整数的和是4， 故答案为：4； ③表示2倍的到2的距离，2倍的到3的距离，5倍的到4的距离之和， ，2，3，3，4，4，4，4的中间数是4， 当时，的最小值； 故答案为：4； ④， 表示4倍的到的距离，3倍到的距离，到的距离，2倍到的距离，3倍到3的距离之和， 个，3个，1个，2个，3个3的中间数是， 当时，的值最小，最小值为． 【考点四 整式运算中的新定义型问题】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【答案】(1)2， (2)a与b是关于6的实验数，理由见解析 (3)d的值为 【知识点】整式的加减运算、整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是； （3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值． 【详解】（1）解：， ∴4与2是关于6的实验数； ， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：2；； （2）解：a与b是关于6的实验数，理由： ， ∴a与b是关于6的实验数； （3）解：由题意得，， ， ． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式． (1)和______是关于0的组合式； (2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由； (3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)，或或 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）根据新定义，用0减去，即可； （2）求出的和，进行判断即可； （3）根据题意，得到为常数，利用绝对值的意义，分类讨论求解即可． 掌握新定义，以及整式加减的运算法则，是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）是，理由如下： ， ∴a与b是关于3的组合式． （3）∵， ∴， 当时，；此时 当时，； 当时：；此时 ∵c与d是关于常数m的组合式， ∴当时，，， 当时，； 当时，， 综上：，或或． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2023与 是关于的平均数， 与是关于2的平均数． (2)若a与2b是关于3的平均数，2b与c是关于的平均数，c与d是关于9的平均数，求 (3)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 【答案】(1)； (2)29 (3) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】（1）根据平均数的定义，进行求解即可； （2）根据题意，得到，代入代数式求值即可； （3）根据a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，得到中不含项，求出的值，进而求出的值即可． 本题考查整数的加减运算，代数式求值．理解并掌握平均数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴2023与2025是关于的平均数， ， ∴与是关于2的平均数， 故答案为：；； （2）由题意得：， ∴ ； （3） ， ∵a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）定义：对于依次排列的多项式、、、（a、b、c、d是常数），当它们满足，且是常数时，则称a、b、c、d是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如，对于多项式、、、来说，因为，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是这组平衡数的平衡因子． (1)已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子______； (2)若、2、、3是一组平衡数，求的值及该组平衡数的平衡因子； (3)当a、b、c、之间满足怎样的数量关系时，它们是一组平衡数，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)当时，，，，是一组平衡数，理由见解析 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据定义计算M的值； （2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可； （3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式． 【详解】（1） ； 故答案为：． （2）∵是一组平衡数， ∴的结果为常数． ， ∴， 解得； ∴该组平衡数的平衡因子． （3）当时，，，，是一组平衡数． 理由：因为，，，是平衡数， ∴结果为常数． ， ∴， ∴当时，，，，是一组平衡数． 5．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解 【方法】 有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如：，经过处理器得到． 【应用】 若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，________． （2）若，则关于的方程，求的值 【延伸】 （3）已知，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的一次多项式，关于的方程，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）根据题目所给的转化方法即可解答； （2）先根据题目所给转化方法，将A转化为一次多项式，得出a和b的值，即可解答； （3）先根据二次多项式的定义，得出，再根据题目所给转化方法，得出m的值以及k的表达式，最后将m的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）根据题意可得： ，， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵是关于的二次多项式， ∴，则， ∵是经过处理器得到的一次多项式，， ∴， 解得：， ∴． 【考点五 整式运算中的整体代入求值问题】 1．（24-25七年级上·全国·期中）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)当时，代数式的值为，当时，求代数式的值；（用含的代数式表示） (3)【拓展应用】 在完成上面的问题有基础上，解答下面的问题： 已知，求代数式的值． 【答案】(1)17 (2) (3)2024 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式加减化简求值，掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键． （1）将原式化简为，再整体代入即可求解； （2）当时，代数式整理得，当时，原式整理得，再整体代入即可求解； （3）由已知可得到和，再将原式变形，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当时，代数式的值为， ∴， ∴， ∴当时， ； （3）解：∵， ∴， ∴即， ∴ ． 2．（23-24七年级上·江西南昌·期中）我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】合并同类项、整式的加减运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】（1）根据阅读提供的解法解答即可． （2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可． （3）根据题意，，，先求出的值，后整体代入计算代数式的值即可． 本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：，，， ，， ． 3．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则____________； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，求的值． (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】(1)15 (2)36 (3) 【知识点】整式的加减运算、添括号、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了求代数式的值．掌握整体思想是解题关键，本题旨在考查学生的举一反三的能力． （1）由，据此即可求解； （2）由，据此即可求解； （3）根据条件可得，再利用整体思想即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴原式； （2）解： ∵ ∴原式； （3）解：当时， ∴ 当时， ； 4．（23-24七年级上·江西赣州·期中）阅读材料： “整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是__________； （2）已知，求的值． 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】合并同类项、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键． （1）仿照材料，把看成一个整体，即可合并； （2）将整体代入计算即可； （3）先去括号，再添括号，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：，，， ． 【考点六 整式运算中的实际应用问题】 1．（24-25七年级上·吉林松原·期中）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于元但不低于200元 九折优惠 元或超过元 其中不超过元部分给予九折优惠，超过元部分给予八折优惠 (1)若王老师一次性购物400元，则他实际付款______元；若一次性购物元，则他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于元但不小于200时，他实际付款______元；当x大于或等于时，他实际付款______（用含x的式子表示） (3)如果王老师两次购物的货款合计元，第一次购物的货款为a元（），用含a的代数式表示王老师两次购物实际付款的钱数． 【答案】(1)； (2)；元 (3)元 【知识点】整式加减的应用、用代数式表示式、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，整式加减．理解题意，根据题意正确的列代数式是解题的关键． （1）根据和，计算求解即可； （2）由题意知，当x小于元但不小于元时，他实际付款元，当x大于或等于元时，他实际付款元，计算求解即可； （3）由题意知，第二次购物的货款为元，，则第一次购物的实际货款为元，第二次购物的实际货款为元，然后求和并计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，（元）， 元， 故答案为：； （2）解：由题意知，当x小于元但不小于元时，他实际付款元， 当x大于或等于元时，他实际付款元 故答案为：，； （3）解：第一次购物的货款为a元，第二次购物的货款为元，， ∴第一次购物的实际货款为元，第二次购物的实际货款为元， ∴， ∴两次购物王老师实际付款元． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 例如：若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民2月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含a的整式表示，并化简） (3)若该户居民4月份用水，4、5两个月共用水，且5月份用水超过4月份，请用含x的整式表示4、5两个月共交的水费多少元？ 【答案】(1)48 (2)元 (3)元或元或36元 【知识点】整式加减的应用、用代数式表示式 【分析】本题主要考查代数式表示数量关系的运用，整式的加减运算的应用； （1）根据材料提示的计算方法即可求解； （2）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可； （3）根据题意，分类讨论，结合（1），（2）的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：应收水费（元）， 故答案为：48； （2）解：应收水费＝不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费， ∴应收水费为元， ∴应收水费为元； （3）解：因为5月份用水量超过了4月份， ∴4月份用水量少于， ①当4月份用水量少于时，则5月份用水量超过， ∴4，5两个月共交水费元； ②当4月份用水量大于或等于但不超过时，则5月份用水量不少于但不超过， ∴4、5两个月共交水费元； ③当4月份用水量超过但少于时，则5月份用水量超过但少于， ∴4，5两个月共交水费（元）． 故答案为：元或元或36元． 3．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)计算窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户需要的材料费是多少元． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 乙 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 【答案】(1)窗户面积为平方米，窗框的总长为米 (2)制作一个这种窗户需要的材料费是元 (3)去甲家工厂采购更省钱． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积；窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+三个半圆的半径，代入数值即可． （2）制作一个这种窗户需要的材料费：玻璃钱+窗框钱，即，将代入上式，化简即可． （3）分别计算甲、乙两个工厂采购个这种窗户的花销：安装费=材料费+运输费+人工费，代入数值可得出具体数值，再根据每个工厂采购每一个窗户的花销都相同，故对比一个窗户的花销谁省钱，即可得出采购个这种窗户的花销谁省钱。 【详解】（1）解：由题意可得窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积，下部小正方形的边长和半圆的半径为米， ∴窗户面积为：（平方米）， 由题意可得窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+三个半圆的半径， ∴窗框的总长为：（米）． 故窗户面积为平方米，窗框的总长为米 （2）解：∵玻璃每平方米元，窗框每米元，窗户面积为平方米，窗框的总长为米， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是：（元）， 将代入上式，可得， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是元． （3）解：由上可得一个窗户面积为：（平方米） 在甲工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在甲工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， 在乙工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在乙工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， ∵，在每个工厂采购每一个窗户的价格都相同， ∴在甲工厂采购个这种窗户省钱， ∴去甲家工厂采购更省钱． 4．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）【知识学习】 学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)【理解应用】若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)【能力提升】有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系．    【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值： （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）先化简A，再求出，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出它们的差，进行判断即可． 解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． 【详解】（1）解：依题意： 因为， ∵关于的多项式的值与的取值无关， ∴， ∴． （2）解：依题意， ∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， 所以， 则． （3）解：依题意，由图形可知：，， ∴， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴． 即． 5．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）【实际问题】 某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 【问题建模】 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 【模型探究】 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果． （3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果． 【问题解决】 从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 种不同的优惠金额． 【问题拓展】 从3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程） 【答案】（1）7 （2） （3） 问题解决：476 问题拓展： 【知识点】整式加减的应用、数字类规律探索 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，整式的加减，理解取a个整数和的不同的结果数等于a个整数之和的最大值与最小值的差再加1是解题关键． （1）用最大2个数的和减去最小2个数的和再加1即可； （2）用最大3个数的和减去最小3个数的和再加1即可； （3）用最大5个数的和减去最小5个数的和再加1即可； 问题解决：用最大5个奖券的和减去最小5个奖券的和再加1即可； 问题拓展：用最大5个整数的和减去最小5个整数的和再加1即可． 【详解】解：（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数， 则这2个整数之和最小值为：，最大值为：， 则这2个整数之和共有种不同情况， 故答案为：7； （2）从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数， 则这3个整数之和最小值为：，最大值为：， 则这3个整数之和共有不同结果的种数为：种， 故答案为：； （3）归纳总结：从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数， 则这5个整数之和的最小值为：， 最大值为， 则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种， 故答案为：； 问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券， 则这5张奖券的和的最小值为：（元）， 最大值为：（元）， 则这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：（种）， 故答案为：476； 问题拓展：从3，4，5，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数， 则这5个整数之和的最小值为：， 最大值为， 则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种， ∴， 解得：． 【考点七 整式运算中的规律探究问题】 1．（23-24七年级上·北京海淀·期中）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n 为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1＝2，a2＝4，a3＝6，a4＝8，a5＝10，规定运算．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，． (1)已知一列数，那么　　． 　　； (2)已知这列数，按照规律可以无限写下去，那么　　，　　． (3)在（2）的条件下，若存在正整数n使等式成立，直接写出n的值． 【答案】(1)5，3 (2)2023，1012 (3)4045或4046 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字变化的规律，理解题中所规定的运算及发现数列的变化规律是解题的关键． （1）理解题中规定的运算即可解决问题． （2）根据所给数列，发现规律即可解决问题． （3）根据题中所规定的运算即可解决问题． 【详解】（1）由题知，这列数列中的第5个数为， 所以． ． 故答案为：5，3． （2）由题知，这一列数的奇数项为正整数，偶数项为负整数，且各项的绝对值依次增加1， 所以． 则 ． 故答案为：2023，1012． （3）由（2）中数列可知， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，． 所以当时， 则， 解得． 当时， 则， 解得． 综上所述：n的值为4045或4046． 2．（23-24七年级上·四川自贡·期中）综合与实践，问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，， 独立思考： (1)解答王老师提出的问题：第个式子为 ，第个式子为 ； 实践探究： (2)在（）中找出规律，并利用规律计算：； 问题拓展： (3)数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为，该小组提出下面的问题，请你解答：求； 问题解决： (4)求的值． 【答案】(1) ；； ； (2)； (3)； (4)． 【知识点】数字类规律探索 【分析】（）根据所给的式子的形式进行求解即可； （）利用（）的规律进行求解即可； （）仿照（）的解答方式进行求解即可； （）把各项进行整理，再利用题中的规律进行求解即可； 本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． 【详解】（1）根据，，，， ∴第个式子为，第个式子为， 故答案为：，； （2） ， ， ； （3） ， ， ； （4） ， ， ． 3．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）餐厅摆放桌椅，照这样的方式继续排列餐桌，摆n张餐桌可坐人数为. (1)______（用n表示）；______； (2)我们用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数α和正整数n.规定：，如：. ①计算：的值； ②与互为相反数吗？请说明理由. 【答案】(1)；20 (2)①；②与互为相反数，理由见解析 【知识点】相反数的定义、图形类规律探索 【分析】本题考查图形变化类规律探究，新定义运算的理解，列代数式，有理数的混合运算，发现图中人数增加规律，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据一张桌子可坐4人，每增加一张桌子可多坐2人可列出表示的代数式；令，可求出的值； （2）①根据新定义，结合（1）中的代数式，代入求值即可； ②根据新定义，结合（1）中的代数式，分别求出33☆与☆的值，再判断即可． 【详解】（1）解：由摆放图形可知，1张桌子坐4人，每增加1张桌子可多坐2人， ； 当时，， 故答案为：；20； （2）解：①将代入得： ； ②两者互为相反数， 理由如下： 是正整数， ； ， ． ☆☆． 即3☆与☆互为相反数． 4．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）【阅读中思考】 设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值． （2）求的值为____________．（直接写出答案） 【应用拓展】 设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 则的值为_____________．（直接写出答案） 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可； （2）先根据“倒数差”的定义列式计算，，，然后求和即可； （3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可． 【详解】解：（1）；；． （2）；；； 所以． 故答案为：． （3）∵数组确定为， ∴第1次变换后，，，即第1次变换后得到数组， 第2次变换后，，，即第1次变换后得到数组； 第3次变换后，，，即第1次变换后得到数组； 同理可得：，，…… ∴， ； ； ∴ ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$