3.1椭圆讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3、1椭圆 题型分类： 题型一、椭圆的定义 题型二、椭圆基本量与标准方程 题型三、椭圆成立的条件 题型四、点与椭圆位置关系 题型五、椭圆轨迹问题 题型六、焦点三角形 题型七、离心率问题 1、椭圆基本量求离心率 2、几何关系求椭圆离心率 3、椭圆离心率的取值范围 知识点1：椭圆的定义及标准方程来源 1、平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．() 注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题 （1）定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． （2）常数（2a）必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆． ①若，M的轨迹为线段； ②若，M的轨迹无图形 2、 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 （） （） 图形 焦点坐标 ， ， 的关系 注：（1）椭圆标准方程的推导： 以经过椭圆两焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为和． 根据椭圆的定义，设与焦点的距离的和等于．由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集．因为，， 所以① 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得② 对方程②两边平方，得 ， 整理，得，③ 对方程③两边平方，得 ， 整理，得，④ 将方程④两边同除以， 得，⑤ 由椭圆的定义可知，即， 所以． 令，那么方程⑤就是（）．⑥ 我们将方程⑥称为焦点在轴上的椭圆方程． 如图，如果焦点在轴上，且的坐标分别是，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 答：（）． （2）椭圆的标准方程的特征 ①几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴或轴上． ②代数特征：方程右边为1，左边是关于与（与）的平方和，并且分母为不相等的正值． ③给出椭圆方程（，,）,判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是: 当时，焦点在轴上，当时，焦点在轴上（项和项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．） 题型一：椭圆的定义 例1、（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【变式1-1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知坐标平面上的两点和，动点P到A、B两点距离之和为常数3，则动点P的轨迹是（ ） A．射线 B．线段 C．圆 D．椭圆 【变式1-2】（20-21高二·全国·课后作业）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线 【变式1-3】（2024高二上·全国·专题练习）已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 例2、（2023高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（ ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 【变式2-1】（23-24高二上·广东广州·期中）方程的化简结果是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆的方程为，则椭圆（ ） A．长轴长为16 B．短轴长为 C．焦距为2 D．焦点为 例3、（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（ ） A．8 B．6 C．4 D．3 【变式3-1】（23-24高二上·吉林·阶段练习）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若， 则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（ ） A． B．4 C． D．8 知识点2：椭圆的标准方程与几何性质 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 且 且 顶点 ，，， ，，， 轴长 长轴：，短轴： 焦点 ， ， 焦距 对称性 对称轴为：轴和轴，对称中心 通径 过椭圆焦点且垂直于坐标轴的直线与椭圆交于两点，则 注：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上． （2）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． （3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为，最小值为． （4）椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置． （5）已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点． （7）常用椭圆方程的设法： 与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 题型二：椭圆几何性质与标准方程 例4、（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等 于（ ） A． B． C．12 D． 【变式4-1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 【变式4-2】（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·江西·模拟预测）椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ） A． B． C． D． 例5、（23-24高二上·山东烟台·期末）以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程 为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,．则椭圆的标准方程为（ ） A． B．1 C． D．1 【变式5-2】（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2022高三·全国·专题练习）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 题型三：椭圆成立的条件 例6、（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 知识点3：点与椭圆位置关系 1、点与椭圆（）的位置关系： ①点P在椭圆上； ②点P在椭圆内部； ③点P在椭圆外部． 题型四：点与椭圆位置关系 例7、（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（ ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【变式7-1】（21-22高二上·吉林四平·阶段练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的 是（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（19-20高二·全国·课后作业）若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 知识点4：椭圆轨迹问题 一、椭圆第二定义：平面内一动点到一定点的距离与到一定直线距离为定值，则动点的运动轨迹为椭圆． 1、定点：，定直线：，定值： 2、定点：，定直线：，定值： 推导过程：以定点：，定直线：，定值：为例， 设动点为，则 ① 将①两边同时平方得： ② 将②去分母整理得： ③ 将③两边同时除以得：，即，证毕 焦点在轴上的请同学自行推导 二、平面内一动点与两定点，组成的直线、的斜率之积为定值，则动点的运动轨迹为椭圆（不过，两点） 1、例如：设，，，，则点轨迹方程为： 2、平面内一动点与两动点，（关于原点对称）组成的直线、的斜率之积为定值，则动点的运动轨迹为椭圆（不过，两点）． 例如：设，，，，则点轨迹方程为： 题型五：椭圆轨迹问题 例8、（23-24高二上·山东菏泽·期末）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 例9、（23-24高二上·广西百色·期末）在平面直角坐标系中，已知定点、，直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 例10、（22-23高二上·北京通州·期末）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 例11、（22-23高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】（20-21高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 知识点5：焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆（）上一点（）和焦点，为顶点的中，若，则 （1）椭圆的定义：． （2）余弦定理：． （3）面积公式：，当时，即为短轴端点时，取最大值，为． 重要结论： 推导过程：由余弦定理得得 由三角形的面积公式可得 = 注：==（是三角形内切圆的半径） （4）焦点三角形的周长为2（）． （5）在椭圆C：（）中，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意的一点，当点在短轴端点时，最大． 例12、（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上．若，则的面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D． 【变式12-1】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（ ） A．4 B． C． D．8 【变式12-2】（22-23高二上·河南鹤壁·开学考试）点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点． (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值． 知识点6：椭圆离心率 离心率 （） ①椭圆的离心率的大小反映椭圆的扁平程度，越大，椭圆越扁；越小，椭圆越圆． 拓展：用离心率来刻画椭圆的扁平程度． 如图所示，在中，，记，则，越大，越小，椭圆越扁；越小，越大，椭圆越接近于圆． ②有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 题型七：椭圆离心率 1、基本量关系求椭圆离心率 例13、（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24高三下·河南南阳·阶段练习）已知椭圆与矩形的四条边都相切，若，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（ ） A． B． C． D． 【变式13-4】（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆的左、右焦点分别为，，线段被点分成的两段，则此椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 2、几何关系求椭圆离心率 例14、（2013辽宁卷11题）已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接,．若，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2016新课标全国一5题）直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）． A． B． C． D． 【变式14-2】（2016江苏10题）如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ． 【变式14-3】（2018新课标全国二12题）已知，是椭圆：的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 3、椭圆离心率的取值范围 例15、（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式15-1】（2008江西卷第7题）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式15-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式15-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型十：椭圆的应用 例16、（23-24高二上·河南·阶段练习）虢仲盨，青铜器，西周文物．该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式16-1】（2020高二上·江苏南通·学业考试）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，，，则截口BAC所在椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式16-2】（21-22高二上·安徽·期中）在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（ ）    A． B． C．2 D．3 【变式16-3】（22-23高二上·江西·阶段练习）国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场，也是2022年北京冬季奥运会开幕式、闭幕式举办地．某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的短轴长为，则大椭圆的长轴长为（ ） A． B． C． D． 课后练习： 1、（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A．6 B．3 C．4 D．2 2、（2024·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 3、（22-23高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D． 5、（24-25高二上·全国·）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 6、（23-24高二上·新疆伊犁·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）． A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 7、（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ） A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为 8、（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9、（2024·湖北荆州·三模）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（ ） A．4 B．8 C．10 D．12 10、（2022高三·全国·专题练习）过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 11、（2024·河北·二模）已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（ ） A．1 B．2 C．4 D． 12、（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13、（23-24高二上·四川达州·期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 14、（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 15、（15-16高二上·河北衡水·阶段练习）若椭圆过点，则其焦距为（ ） A． B． C． D． 16、（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（ ） A． B． C． D． 17、（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ） A． B． C． D． 18、（11-12高二上·黑龙江鹤岗·期中）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 19、（23-24高二上·北京大兴·期末）椭圆的长轴长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．9 20、（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A． B．离心率为 C．的面积为6 D．的面积为12 21、（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 22、（15-16高二上·上海松江·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 23、（23-24高一下·重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 24、（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论错误的是（ ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 25、（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16．若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 26、（2024·山东烟台·三模）若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值 为（ ） A． B． C． D． 27、（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 28、（23-24高二上·山东菏泽·期中）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 29、（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 30、（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆：的离心率为，则（ ） A． B．1 C．3 D．4 31、（2023·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 32、（21-22高二上·广东广州·期中）已知椭圆，斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为，则椭圆C的离心率是（ ） A． B． C． D． 33、（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（ ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 34、（23-24高二上·宁夏固原·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（ ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 35、（23-24高二上·江苏·期末）如图，在圆（）上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（ ）    A． B． C． D． 36、（22-23高二上·四川资阳·期末）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点．线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ） A．面积为的圆 B．面积为的圆 C．离心率为的椭圆 D．离心率为的椭圆 37、（22-23高二下·北京·期中）设点A，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个结论： ① 点P的轨迹方程为； ② ； ③ 存在4个点P，使得的面积为； ④ ． 则正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 38、（20-21高二上·北京房山·期末）已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 39、（17-18高二·河南平顶山·阶段练习）已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段（在轴上），在直线上且 ，则动点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 40、（24-25高二上·全国·随堂练习）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 41、（2022·江西九江·三模）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）      A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3、1椭圆 题型分类： 题型一、椭圆的定义 题型二、椭圆基本量与标准方程 题型三、椭圆成立的条件 题型四、点与椭圆位置关系 题型五、椭圆轨迹问题 题型六、焦点三角形 题型七、离心率问题 1、椭圆基本量求离心率 2、几何关系求椭圆离心率 3、椭圆离心率的取值范围 知识点1：椭圆的定义及标准方程来源 1、平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．() 注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题 （1）定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． （2）常数（2a）必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆． ①若，M的轨迹为线段； ②若，M的轨迹无图形 2、 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 （） （） 图形 焦点坐标 ， ， 的关系 注：（1）椭圆标准方程的推导 以经过椭圆两焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为和． 根据椭圆的定义，设与焦点的距离的和等于．由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集．因为，， 所以① 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得② 对方程②两边平方，得 ， 整理，得，③ 对方程③两边平方，得 ， 整理，得，④ 将方程④两边同除以， 得，⑤ 由椭圆的定义可知，即， 所以． 令，那么方程⑤就是（）．⑥ 我们将方程⑥称为焦点在轴上的椭圆方程． 如图，如果焦点在轴上，且的坐标分别是，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 答：（）． （2）椭圆的标准方程的特征 ①几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴或轴上． ②代数特征：方程右边为1，左边是关于与（与）的平方和，并且分母为不相等的正值． ③给出椭圆方程（，,）,判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是: 当时，焦点在轴上，当时，焦点在轴上（项和项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．） 题型一：椭圆的定义 例1、（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，结合必要不充分条件的定义即可判断． 【详解】“点的轨迹是以，为焦点的椭圆” “为常数”； 反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆． 因此“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件． 故选：D 【变式1-1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知坐标平面上的两点和，动点P到A、B两点距离之和为常数3，则动点P的轨迹是（ ） A．射线 B．线段 C．圆 D．椭圆 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合题意判断即可得解． 【详解】因为，，所以， 因为动点P到A、B两点距离之和为常数3，则， 由椭圆的定义可知动点P的轨迹是椭圆． 故选：D． 【变式1-2】（20-21高二·全国·课后作业）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线 【答案】C 【分析】讨论与的大小关系，结合椭圆定义可知． 【详解】解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以， 当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆； 当 时，，此时动点 的轨迹是线段． 故选：C． 【变式1-3】（2024高二上·全国·专题练习）已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】D 【分析】利用椭圆轨迹的相关定义即可得解． 【详解】因为 所以为线段上的点． 故选：D． 例2、（2023高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（ ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【分析】根据两点间距离公式结合椭圆的定义分析判断． 【详解】可设，，则， 可得， 由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，． 故选：C 【变式2-1】（23-24高二上·广东广州·期中）方程的化简结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表达式几何意义并利用椭圆定义可知满足椭圆的方程，即可得出结果． 【详解】根据题意可知，表达式可表示点到定点的距离之和为10， 且， 由椭圆定义可知点满足以为焦点，长轴长为10的椭圆方程， 所以可得． 故选：B 【变式2-2】（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆的方程为，则椭圆（ ） A．长轴长为16 B．短轴长为 C．焦距为2 D．焦点为 【答案】B 【分析】 先根据方程化简得到椭圆方程，结合选项进行判断． 【详解】因为， 所以椭圆是以为焦点的椭圆， 设椭圆：，由题意，即； 由可知其方程为； 由方程可得长轴长为8，焦距为4，短轴长为． 故选：B． 例3、（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（ ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】直接根据椭圆的定义可求得答案． 【详解】由椭圆的定义可知，． 故选：A． 【变式3-1】（23-24高二上·吉林·阶段练习）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果． 【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而， 所以． 故选：D 【变式3-2】（22-23高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义即可由焦点三角形的周长公式求解． 【详解】由题意可得， 的周长为， 故选：D 【变式3-3】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解即得． 【详解】椭圆的长半轴长，由点在椭圆上，分别为的左、右焦点， 得，所以平行四边形的周长为． 故选：D 知识点2：椭圆的标准方程与几何性质 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 且 且 顶点 ，，， ，，， 轴长 长轴：，短轴： 焦点 ， ， 焦距 对称性 对称轴为：轴和轴，对称中心 通径 过椭圆焦点且垂直于坐标轴的直线与椭圆交于两点，则 注：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上． （2）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． （3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为，最小值为． （4）椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置． （5）已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点． （7）常用椭圆方程的设法 与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 题型二：椭圆几何性质与标准方程 例4、（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等 于（ ） A． B． C．12 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解． 【详解】由题意知，， 又，所以， 即实数的值为12． 故选：C 【变式4-1】（24-25高二上·湖南·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 【答案】C 【分析】根据椭圆中的关系即可求解． 【详解】根据右焦点坐标为，可得，且焦点在轴上， 故， 故选：C 【变式4-2】（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断焦点位置，求出值即可求． 【详解】方程可化为， 则椭圆的焦点在轴，且， 则， 故其焦点坐标为． 故选：C． 【变式4-3】（2024·江西·模拟预测）椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再求长轴长与焦距之差． 【详解】由题得，，所以，， 所以长轴长，焦距， 所以长轴长与焦距之差等于． 故选：B 例5、（23-24高二上·山东烟台·期末）以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得．也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得． 【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B． 故选：B 【变式5-1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,．则椭圆的标准方程为（ ） A． B．1 C． D．1 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解，代入坐标即可求解． 【详解】由于椭圆焦点在x轴上，且经过点，所以， 设椭圆方程为， 将代入椭圆可得，解得， 所以椭圆方程为， 故选：A 【变式5-2】（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可． 【详解】由知，焦点为，，即，． 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为． 故选：A． 【变式5-3】（2022高三·全国·专题练习）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程． 【详解】错解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：D． 错因： 忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件． 正解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：B． 题型三：椭圆成立的条件 例6、（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意，建立方程组，可得答案． 【详解】由题意可得，解得． 故选：B． 【变式6-1】（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题目转化为，再解不等式． 【详解】命题等价于，解得． 故选：C． 【变式6-2】（23-24高二下·广西·阶段练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可． 【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足，解得． 故选：B． 【变式6-3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示椭圆列不等式组，即得实数的取值范围． 【详解】由题意知表示椭圆，则， 解得． 故选：A． 知识点3：点与椭圆位置关系 1、点与椭圆（）的位置关系： ①点P在椭圆上； ②点P在椭圆内部； ③点P在椭圆外部． 题型四：点与椭圆位置关系 例7、（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（ ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解． 【详解】由于，所以在内， 故选：B 【变式7-1】（21-22高二上·吉林四平·阶段练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于的点即为答案． 【详解】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误． 故选：C． 【变式7-2】（19-20高二·全国·课后作业）若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果． 【详解】因为点在椭圆的外部， 所以，即，解得或． 故选：B． 知识点4：椭圆轨迹问题 一、椭圆第二定义：平面内一动点到一定点的距离与到一定直线距离为定值，则动点的运动轨迹为椭圆． 1、定点：，定直线：，定值： 2、定点：，定直线：，定值： 推导过程：以定点：，定直线：，定值：为例， 设动点为，则 ① 将①两边同时平方得： ② 将②去分母整理得： ③ 将③两边同时除以得：，即，证毕 焦点在轴上的请同学自行推导 二、平面内一动点与两定点，组成的直线、的斜率之积为定值，则动点的运动轨迹为椭圆（不过，两点） 1、例如：设，，，，则点轨迹方程为： 2、平面内一动点与两动点，（关于原点对称）组成的直线、的斜率之积为定值，则动点的运动轨迹为椭圆（不过，两点）． 例如：设，，，，则点轨迹方程为： 题型五：椭圆轨迹问题 例8、（23-24高二上·山东菏泽·期末）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解． 【详解】设， 因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为， 所以，即， 整理得， 故选:C． 例9、（23-24高二上·广西百色·期末）在平面直角坐标系中，已知定点、，直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设动点P的坐标为，依题意得到方程，整理即得轨迹方程； 【详解】解：设动点P的坐标为，则由条件得．即． 所以动点P的轨迹C的方程为． 故选：B． 【变式9-1】（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合已知写出直线，的斜率，由列式求解动点的轨迹方程． 【详解】设，，， ，， 由，得． 即． 动点的轨迹方程为． 故选：B． 例10、（22-23高二上·北京通州·期末）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，,，利用为线段的中点，得到点坐标与动点坐标之间的关系，将点坐标用点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点的轨迹方程； 【详解】设，,，则,． 为线段的中点， ，即，． 又点在圆上， ，即． 故点的轨迹方程为． 故选：A 【变式10-1】（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解． 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为． 故选：A 例11、（22-23高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程． 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为． 故选：D 【变式11-1】（20-21高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案． 【详解】设动圆半径为，圆心为，根据题意可知，和， ，， ，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上椭圆， 且焦点坐标为和，其中, ， 所以， 故椭圆轨迹方程为: ， 故选：A． 【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，确定轨迹方程的类型是解题的关键． 知识点5：焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆（）上一点（）和焦点，为顶点的中，若，则 （1）椭圆的定义：． （2）余弦定理：． （3）面积公式：，当时，即为短轴端点时，取最大值，为． 重要结论： 推导过程：由余弦定理得得 由三角形的面积公式可得 = 注：==（是三角形内切圆的半径） （4）焦点三角形的周长为2（）． （5）在椭圆C：（）中，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意的一点，当点在短轴端点时，最大． 例12、（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上．若，则的面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积． 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为． 故选：D． 【变式12-1】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（ ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】设，利用向量数量积的坐标表示与椭圆方程联立求出点坐标，代入三角形面积公式即可求解． 【详解】设，则满足，取， 因为，所以，即， 联立，解得， 则的面积， 故选：C 【变式12-2】（22-23高二上·河南鹤壁·开学考试）点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足即，可得，结合选项可得出答案． 【详解】设椭圆方程为， 设椭圆上顶点为，椭圆上存在点，使得， 则需，由余弦定理可得， ， 即，，， 则， 同理可得椭圆焦点在轴上时，也应有， 所以选项A满足． 故选：A． 【变式12-3】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点． (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出； （2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值． 【详解】（1）已知，因为，所以．点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得． 又因为，，，所以． 所以椭圆的标准方程为． （2）因为，所以的面积，则．根据椭圆定义，． 由勾股定理可得． 又，即． 在椭圆中有，将变形为，即，解得． 知识点6：椭圆离心率 离心率 （） ①椭圆的离心率的大小反映椭圆的扁平程度，越大，椭圆越扁；越小，椭圆越圆． 拓展：用离心率来刻画椭圆的扁平程度． 如图所示，在中，，记，则，越大，越小，椭圆越扁；越小，越大，椭圆越接近于圆． ②有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 题型七：椭圆离心率 1、基本量关系求椭圆离心率 例13、（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出和即可求出离心率． 【详解】因为，， 所以离心率为． 故选：A． 【变式13-1】（23-24高三下·河南南阳·阶段练习）已知椭圆与矩形的四条边都相切，若，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的对称性可知椭圆的长轴与短轴长，进而可得离心率． 【详解】由椭圆的对称性可知，，则，， 所以， 所以的离心率为， 故选：A． 【变式13-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和性质即可求解． 【详解】由椭圆的短轴长为2，知，，即，， 因此， 又椭圆的离心率， 故选：A． 【变式13-3】（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆离心率的公式计算． 【详解】椭圆满足， 则该椭圆的离心率． 故选：B． 【变式13-4】（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆的左、右焦点分别为，，线段被点分成的两段，则此椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可列出等量关系式，结合和离心率公式即可求解 【详解】依题意得，解得， 所以，所以． 故选：D． 2、几何关系求椭圆离心率 例14、（2013辽宁卷11题）已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接,．若，，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 答案：B． 【变式14-1】（2016新课标全国一5题）直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）． A． B． C． D． 答案：B． 【变式14-2】（2016江苏10题）如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ． 答案： 【变式14-3】（2018新课标全国二12题）已知，是椭圆：的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 答案：D． 3、椭圆离心率的取值范围 例15、（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，根据图形，根据离心率的计算公式求解即可． 【详解】    如图，因为是钝角三角形，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误． 故选：D． 【变式15-1】（2008江西卷第7题）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：C 【变式15-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果． 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为． 故选：D． 【变式15-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析题意得到，进而构建齐次不等式，求解离心率范围即可． 【详解】当轴时，有两个点满足为直角三角形； 当轴时，有两个点满足为直角三角形． 使为直角三角形的点有且只有4个， 以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，， ，又，解得． 故选：A． 题型十：椭圆的应用 例16、（23-24高二上·河南·阶段练习）虢仲盨，青铜器，西周文物．该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，，进而可得离心率． 【详解】由已知可得，， 即，， 所以离心率， 故选：C． 【变式16-1】（2020高二上·江苏南通·学业考试）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，，，则截口BAC所在椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形建立平面直角坐标系，写出椭圆方程，根据条件求出a,b,c，最终算出离心率． 【详解】如图建立平面直角坐标系，设椭圆方程为， 由题意，，将直线代入椭圆方程得：，所以，又因为，解得：，所以离心率． 故选：C． 【变式16-2】（21-22高二上·安徽·期中）在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（ ）    A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，建立坐标系得椭圆的标准方程为，再结合题意计算即可得答案． 【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系， 因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状， 所以椭圆的标准方程为， 因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段， 所以当时，，所以最短窗棂的长度为． 故选：B    【变式16-3】（22-23高二上·江西·阶段练习）国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场，也是2022年北京冬季奥运会开幕式、闭幕式举办地．某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的短轴长为，则大椭圆的长轴长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的离心率的公式以及的关系求解． 【详解】设小椭圆的短轴为，长轴为，大椭圆的短轴为，长轴为， 所以有，所以， 则有，所以小椭圆的离心率， 依题意可知，大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率， 所以，且，， 所以解得所以大椭圆的长轴长为， 故选：A． 课后练习： 1、（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求出． 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2． 故选:D． 2、（2024·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得，求解即可． 【详解】由椭圆，可得，所以， 因为分别是椭圆的左、右焦点，为上一点， 所以，又，所以． 故选：C． 3、（22-23高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义即可由焦点三角形的周长公式求解． 【详解】由题意可得， 的周长为， 故选：D 4、（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用中位线先求出，再结合椭圆定义即可求解． 【详解】如下图所示，连接，为的中点，且，可得 由椭圆方程可知，．，根据椭圆定义有， 故选：A 5、（24-25高二上·全国·）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【答案】D 【分析】根据与的关系判断点的轨迹． 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 6、（23-24高二上·新疆伊犁·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）． A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义进行求解即可． 【详解】表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆， 故选：B 7、（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ） A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程求出即可判断选项的正误． 【详解】由椭圆的方程可知：焦点在轴上，即， 则． 所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为． 故选：D 8、（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将椭圆方程化成标准形式，根据焦点位置，列出不等式组，解之即得． 【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得． 故选：B． 9、（2024·湖北荆州·三模）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（ ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解． 【详解】由题意得，，，，所以． 故选：D． 10、（2022高三·全国·专题练习）过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得焦点坐标，设方程为，将点代入解出的值，进而可得结果． 【详解】因为焦点坐标为，设方程为， 将代入方程可得，解得，故方程为， 故选：A． 11、（2024·河北·二模）已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（ ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】将点的坐标代入椭圆方程即可求解长轴长． 【详解】因为椭圆E：经过点，所以，解得， 所以，所以E的长轴长为． 故选：C． 12、（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点位置可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围． 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，则，解得． 故选：B． 13、（23-24高二上·四川达州·期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可． 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为． 故选：B 14、（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义与性质判定即可． 【详解】由题意可知，则有如下， ， 共7种情况． 故选：C 15、（15-16高二上·河北衡水·阶段练习）若椭圆过点，则其焦距为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点代入椭圆方程求出，再根据求出半焦距，从而可得焦距． 【详解】解：因为椭圆过点，所以，解得， 所以， 所以，解得， 所以焦距， 故选：D． 16、（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断 【详解】由，得， 所以椭圆的标准方程为，则， 因为点在椭圆上， 所以． 故选：C 17、（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度． 【详解】由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为， 故选：D． 18、（11-12高二上·黑龙江鹤岗·期中）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】由题意可得关于的方程，解方程即可得解． 【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得． 故选：A． 19、（23-24高二上·北京大兴·期末）椭圆的长轴长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】由椭圆的方程即可得出答案． 【详解】由可得，则． 故选：C． 20、（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A． B．离心率为 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A，根据离心率定义判断B，根据A可知三角形为直角三角形，求面积可判断CD . 【详解】由，得，则， 因为是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，故A正确； 对于B，离心率为，故B正确； 对于CD，因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确，D错误． 故选：ABC 21、（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到方程组，求出，结合焦点位置，得到椭圆方程． 【详解】由题意得，，又， 解得， 故椭圆方程为． 故选：D 22、（15-16高二上·上海松江·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 23、（23-24高一下·重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，记，利用二倍角公式求得，根据构造齐次式即可求解. 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得，    只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据椭圆上的动点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，从而得解. 24、（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论错误的是（ ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【答案】B 【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项． 【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由图象可得， ∴ ， 又，， ∴  ， ∴ 椭圆的长轴长为4，A对， 椭圆的离心率为，B错， 圆的方程可以为，C对， 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D对， 故选：B． 25、（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16．若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的标准方程及其参数的关系即可得出结果． 【详解】设椭圆的半焦距为，则由题设得， 解得，所以椭圆的离心率为． 故选：C． 26、（2024·山东烟台·三模）若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率相等列出关于的方程求解即可． 【详解】若椭圆与椭圆（）的离心率相同， 则，解得满足题意． 故选：A． 27、（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题求出b、c、a，即可求出离心率． 【详解】由题的， 所以， 所以离心率为， 故选：C． 28、（23-24高二上·山东菏泽·期中）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率的计算公式求解即可． 【详解】椭圆的短轴长与长轴长的比值为， 代入椭圆的离心率公式， 故，，， 计算，，，则， 所以． 故选：A． 29、（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义和勾股定理即可求解． 【详解】如图 依题意，，，， 则，， 由椭圆定义可得，， 所以离心率． 故选：D． 30、（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆：的离心率为，则（ ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用椭圆的性质计算即可． 【详解】由题意可知． 故选：C 31、（2023·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理即可求解． 【详解】由题意可知，， 在中，由余弦定理得，化简得， 则，所以， 故选：C． 32、（21-22高二上·广东广州·期中）已知椭圆，斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为，则椭圆C的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所以，两式相减化简即得解． 【详解】解：设 所以，两式相减得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：B 33、（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（ ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【分析】设动圆的圆心的坐标为，半径为，根据题意得到，进而得到,结合椭圆的定义，即可求解． 【详解】设动圆的圆心的坐标为，半径为， 因为动圆与圆：内切，且与圆：外切， 可得， 所以, 根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以动点的轨迹方程为． 所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆． 故选：C． 34、（23-24高二上·宁夏固原·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（ ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 【答案】A 【分析】对给定式子研究几何意义，结合椭圆定义即可证明． 【详解】观察给定式子，， 表示到，的距离之和为， 结合椭圆定义可得的轨迹是椭圆． 故选：A 35、（23-24高二上·江苏·期末）如图，在圆（）上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点的轨迹方程，再写出离心率即可． 【详解】设点，则， 又点在圆（）上，所以， 所以点的轨迹即为椭圆， 所以，，， 所以这个椭圆的离心率为． 故选：A． 36、（22-23高二上·四川资阳·期末）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点．线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ）    A．面积为的圆 B．面积为的圆 C．离心率为的椭圆 D．离心率为的椭圆 【答案】D 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得，再由椭圆的定义可得其轨迹． 【详解】连接，因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q， 所以， 因为， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆， 所以椭圆的离心率为， 故选：D    37、（22-23高二下·北京·期中）设点A，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个结论： ① 点P的轨迹方程为； ② ； ③ 存在4个点P，使得的面积为； ④ ． 则正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，可判断①,结合椭圆的定义以及共线即可判断②④,由三角形的面积即可结合椭圆的最值求解④． 【详解】由得, 所以点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且， 故点P的轨迹方程为，①正确， 当将代入椭圆方程中得，所以点在椭圆内， 所以, 当且仅当运动到时，等号成立， ， 由于, 所以, 当且仅当运动到时等号成立，故②错误④正确， ，其中为点到直线的距离， 若，由于当点为椭圆的右顶点时，此时取最大值3， 故满足条件的点只有一个，③错误， 故选：B ． 38、（20-21高二上·北京房山·期末）已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用相关点法即可求解． 【详解】设线段的中点，， 所以，解得， 又点在圆上， 则，即． 故选：A 39、（17-18高二·河南平顶山·阶段练习）已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段（在轴上），在直线上且 ，则动点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据得，再结合圆的方程求解即可． 【详解】设 ,则由得 ,因为 所以,即． 故选：D． 40、（24-25高二上·全国·随堂练习）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 【答案】A 【分析】由题意，结合椭圆的相关概念，将问题转化为求，由已知条件离心率，结合其公式，可得答案． 【详解】设椭圆的方程为，因为此椭圆的离心率为，且， 所以，，所以， 所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为． 故选：A． 41、（2022·江西九江·三模）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可 【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 由图可知，椭圆的短半轴长， 在中，， 由正弦定理得： ， 所以，    故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$