九年级上学期数学期中模拟试卷02（测试范围：特殊平行四边形、一元二次方程、概率、图形的相似）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷02 试卷满分100分 测试范围：特殊平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似 一、单项选择题(本题共 10 小题，每小题3分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是　　 A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，配方后正确的是　　 A． B． C． D． 3．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“0”，“1”，除数字外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之积为0的概率是　　 A． B． C． D． 4．下列命题正确的是　　 A．顺次连接矩形四边的中点得到菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．两边成比例及一角相等的两个三角形相似 D．若点是线段的黄金分割点，则 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围　　 A．，且 B．，且 C． D． 6．三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是　　 A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 8．如图，正方形中，，直线交于点，则　　 A． B． C． D． 9．如图，在中，延长至点，使，连接交于点，交于点，则的值是　　 A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，，垂足为点，连接，，则的最小值为　　 A．8 B．10 C．12 D．15 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，则的值为 　　． 12．在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的6个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此可估计袋中红球的个数为 　　． 13．已知是关于的方程的一个根，则　　． 14．数学课堂上，小华准备制作体积为的立方体纸盒，立方体表面展开图选用一张废弃纸板进行设计，如图，直角三角板的两直角边与左下角的正方形两邻边重合，斜边经过两个正方形的顶点，则剪掉正方形纸板后，余料部分（图中阴影部分）的面积为　　． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点，点，点是线段的中点，动点从点开始以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点匀速运动，设运动的时间为秒，连接，将沿翻折，使点落在点处，若平行于坐标轴时，则此时的时间为 　　秒． 三、解答题（本大题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容．某校为加强家政学习，倡议学生在家帮助父母做力所能及的家务，某调查小组随机抽取本校部分学生进行调查，调查问卷如表所示，并绘制了下面两幅不完整的统计图． 平均每周做家务时间的调查表设平均每周做家务的时间为小时，则最符合你的选项是（单选） ． ． ． ． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 　　人； （2）补全条形统计图：并估计该校1600名学生中平均每周做家务时间不少于2小时的人数； （3）学校准备从做家务表现突出的4人中评选2名学生授予“家务能手”称号，这4人中有2名男生，2名女生，请用画树状图或列表法求出授予称号的2名学生恰好都是女生的概率． 18．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 19．已知：三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△，并写出点的坐标 　　； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到△，请在网格中画出△，并写出点的坐标 　　，　　． 20．如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 21．上课时，老师要求同学们解决下面这道问题： （1）问题1：如图（a），矩形中，，，点在边上，将沿翻折，点刚好落到边上的点处． ①的长为 　　； ②求的长． 请你也完成这道问题． 完成问题1后，老师进行了如下的变式： （2）问题2：如图（b），矩形中，，，若为边的中点，将沿翻折到△，延长交于点，的周长是多少？请你直接写出答案． （3）问题3：如图（c），将矩形变为边长为6的正方形，点在边上，，将沿翻折到△，延长交于点，请你直接写出的长． 22．已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转． （1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下，若，，，求的度数； （3）若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的一边与边重合时（如图，若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷02 试卷满分100分 测试范围：特殊平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似 一、单项选择题(本题共 10 小题，每小题3分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是　　 A． B． C． D． 【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例． 【解答】解：、影子的方向不相同，错误； 、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确； 、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误； 、影子的方向不相同，错误； 故选：． 【点评】本题考查了平行投影，灵活运用平行投影的性质是解题关键． 2．用配方法解方程时，配方后正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据完全平方公式的形式将方程配方即可． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 3．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“0”，“1”，除数字外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之积为0的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】结合题意，根据树状图法求解概率，即可得到答案． 【解答】解：根据题意，如图，总共有四种等可能结果，其中两次次记录的数字之积为0的情况有3种， 两次记录的数字之积为0的概率是：， 故选：． 【点评】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握树状图法求解概率的性质，从而完成求解． 4．下列命题正确的是　　 A．顺次连接矩形四边的中点得到菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．两边成比例及一角相等的两个三角形相似 D．若点是线段的黄金分割点，则 【分析】根据矩形性质与判定，相似三角形判定，黄金分割点定义逐项判断． 【解答】解：顺次连接矩形四边的中点得到菱形，故正确，符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，不符合题意； 两边成比例及夹角相等的两个三角形相似，故错误，不符合题意； 若点是线段的黄金分割点，，则，故错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查命题与定理，解的关键是掌握教材上相关的概念与定理． 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围　　 A．，且 B．，且 C． D． 【分析】由方程根的情况，根据根的判别式、方程的定义，可得到关于的不等式，则可求得的取值范围． 【解答】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △且， 且， 解得且， 故选：． 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 6．三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】关键描述语为：每一个矩形的面积都是35，相应等量关系为：矩形的长宽，把相关变量代入即可求解． 【解答】解：由图中可以看出小矩形的长为，宽为， 小矩形的面积为35， 可列方程为， 故选：． 【点评】考查列一元二次方程，得到小矩形面积的等量关系是解决本题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据点、的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案． 【解答】解：与位似，，， 与的相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换，根据点、的坐标求出相似比是解题的关键． 8．如图，正方形中，，直线交于点，则　　 A． B． C． D． 【分析】由正方形的性质得出，，再根据等腰三角形的性质得出，，然后由三角形内角和定理求出，即可得出． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， ， ，，，， ， ， ， 即， ． 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等腰三角形的性质，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键． 9．如图，在中，延长至点，使，连接交于点，交于点，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质得出，利用相似三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据相似三角形的判定和性质解答． 10．如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，，垂足为点，连接，，则的最小值为　　 A．8 B．10 C．12 D．15 【分析】分别以、为边作平行四边形，连接，过点作交于点，交于点，则四边形、四边形都是矩形，得，，证明，得，求出，再由勾股定理求出，然后证明，即可得出结论． 【解答】解：如图，分别以、为边作平行四边形，连接，过点作交于点，交于点， 则四边形、四边形都是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 的最小值为10， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，则的值为 　　． 【分析】先把化成，再根据，即可得出答案． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 12．在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的6个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此可估计袋中红球的个数为 　4　． 【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到白球的概率，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数． 【解答】解：由题意可得：摸到白球的频率之和为：， 总的球数为：， 红球有：（个， 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 13．已知是关于的方程的一个根，则　11　． 【分析】由题意，是关于的方程的一个根，将代入可得，由此变形可得的值，最后求出结果即可． 【解答】解：是关于的方程的一个根， ， ， ． 故答案为：11． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14．数学课堂上，小华准备制作体积为的立方体纸盒，立方体表面展开图选用一张废弃纸板进行设计，如图，直角三角板的两直角边与左下角的正方形两邻边重合，斜边经过两个正方形的顶点，则剪掉正方形纸板后，余料部分（图中阴影部分）的面积为　40　． 【分析】根据立方体纸盒的体积求出正方体的棱长，证明，根据相似三角形的性质求出，得到 的长，根据求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：立方体纸盒的体积为， 正方体的棱长为， ， ，又， ， ，即， 解得，， ， ， ， ，即， 解得，， 余料部分（图中阴影部分）的面积， 故答案为：40． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点，点，点是线段的中点，动点从点开始以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点匀速运动，设运动的时间为秒，连接，将沿翻折，使点落在点处，若平行于坐标轴时，则此时的时间为 　或或　秒． 【分析】分平行于轴时，平行于轴时，画出图形，根据折叠的性质以及相似三角形的判定和性质即可求出的值． 【解答】解：直线与轴，轴分别相交于点，点， 点，点， 点是线段的中点， ， ， ①平行于轴时， 平行于轴， ， 将沿翻折，使点落在点处， ， ， ， ； ②平行于轴时，又分两种情况，如图： 平行于轴时，过点作轴交于， 轴， ，， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ， ， ， ， ， 点是线段的中点，，轴， ， ，， ， ， ， ，， ， ； 平行于轴时，过点作轴交于， 轴， ， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， △， ， ，， ， ， ， ， 点是线段的中点，，轴， ， ， ， ， ； 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解本题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用因式分解——十字相乘法解一元二次方程； （2）利用因式分解——十字相乘法解一元二次方程． 【解答】解：（1）， ， 或， ，； （2）， ， ， ， 或， ，． 【点评】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解（十字相乘）法的技巧（把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数）是解题关键． 17．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容．某校为加强家政学习，倡议学生在家帮助父母做力所能及的家务，某调查小组随机抽取本校部分学生进行调查，调查问卷如表所示，并绘制了下面两幅不完整的统计图． 平均每周做家务时间的调查表设平均每周做家务的时间为小时，则最符合你的选项是（单选） ． ． ． ． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有 　50　人； （2）补全条形统计图：并估计该校1600名学生中平均每周做家务时间不少于2小时的人数； （3）学校准备从做家务表现突出的4人中评选2名学生授予“家务能手”称号，这4人中有2名男生，2名女生，请用画树状图或列表法求出授予称号的2名学生恰好都是女生的概率． 【分析】（1）根据选择的人数和所占的百分比即可求出总人数． （2）计算出选择的人数，求出每周做家务时间不少于2小时的人数的百分数乘以1600即可求出． （3）用画树状图或列表法列出所有结果，根据条件用概率公式即可求出． 【解答】解：（1）接受调查的总人数为：（人． （2）区域的人数为：（人， 补全条形图如图： 该校1600名学生中大约平均每周做家务时间不少于2小时的人数为：（人， （3）用男和男分别表示两名男生，用女和女分别表示两名女生，根据题意，列表如下： 一二 男 男 女 女 男 （男，男 （女，男 （女，男 男 （男，男 （女，男 （女，男 女 （男，女 （男，女 （女，女 女 （男，女 （男，女 （女，女 由表可知，从4人中评选2名学生，总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中所评选2名学生都是女生的结果有两种， （授予称号的2名学生恰好都是女生）． 【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解此题的关键． 18．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．已知：三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的△，并写出点的坐标 　　； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到△，请在网格中画出△，并写出点的坐标 　　，　　． 【分析】（1）分别确定对称点，，，顺次连线即可，直接写出点的坐标； （2）分别连接，，并延长二倍，确定点，，，顺次连线即可得到△，直接写出点的坐标，同时依据相似比得到面积比． 【解答】解：（1）△即为所求，； 故答案为：； （2）△即为所求； 由图可知：． 将放大为原来的2倍， ． 故答案为：；． 【点评】此题考查了作图位似变换与作图轴对称变换，正确掌握轴对称的性质及中心对称作图是解题的关键． 20．如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据正方形的性质得出，，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可． 【解答】（1）证明：四边形是正方形，， ，， ， ； （2）解：四边形是正方形， ，， 为的中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 解得：， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 21．上课时，老师要求同学们解决下面这道问题： （1）问题1：如图（a），矩形中，，，点在边上，将沿翻折，点刚好落到边上的点处． ①的长为 　2　； ②求的长． 请你也完成这道问题． 完成问题1后，老师进行了如下的变式： （2）问题2：如图（b），矩形中，，，若为边的中点，将沿翻折到△，延长交于点，的周长是多少？请你直接写出答案． （3）问题3：如图（c），将矩形变为边长为6的正方形，点在边上，，将沿翻折到△，延长交于点，请你直接写出的长． 【分析】（1）①由矩形的性质得出，，，由折叠的性质求出，根据勾股定理求出的长，即可得出答案； ②设，则，由折叠的性质得，根据勾股定理即可得出答案； （2）连接，证明△，得出，由折叠的性质求出，即可得出答案； （3）连接，由折叠的性质求出，，则，设，则，根据勾股定理求出的长，利用面积的和差得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）①四边形是矩形， ， ，， 将沿翻折，点刚好落到边上的点处． ， ， ． ． 故答案为：2； ②设，则， 由折叠的性质得， 在中，， ，解得， ； （2）连接， 点是的中点， ， 由折叠的性质得：，，， ，， 在△和中， ， △， ， 的周长是， ，， 的周长是； （3）连接， 四边形是边长为6的正方形， ，， 由折叠的性质求出，，， ， 设，则， ， ， 整理得，解得， ． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、折叠的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，折叠的性质和正确利用勾股定理是解题的关键． 22．已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转． （1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下，若，，，求的度数； （3）若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的一边与边重合时（如图，若，求的长． 【分析】（1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，且，即可解决问题； （3）证，得，则，再由勾股定理得，则，然后证，得，求出，即可得出结论． 【解答】解：（1），证明如下： 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 即， ， ； （2），是等腰直角三角形，， ，， ，， ， 为直角三角形，且， ， 即的度数为； （3）四边形是正方形， ，，，， 是的中点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得：， ， 即的长为． 【点评】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、似三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$