26.2.2　二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质 第4课时　二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与性质 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

形状大小相同 位置 直线x＝h (h，k) 减小 增大 增大 减小 C C A x＝1 x<－2 －2 大 2 －4 B B C A D y＝－x2＋1(答案不唯一) 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y＝ax2的图象形状大小相同 ．只是位置不同；y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看成是y＝ax2的图象上、下平移或左、右平移得到的． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可化为y＝a(x－h)2＋k的形式．它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，k)．当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 二次函数y＝x2－ax＋b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论中不正确的是 (　　) A．a＝4 B．当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8) C．当x＝－1时，b>－5 D．当x>3时，y随x的增大而增大 【思路分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可． 【自主解答】 【名师支招】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))或化为y＝a(x－h)2＋k后，顶点坐标为(h，k). 知识点1：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 1．(株洲中考)已知二次函数y＝－x2＋bx－c(a≠0)，其中b＞0，c＞0，则该函数的图象可能为 （ ） 2．点(－2，y1)，(3，y2)与(4，y3)为二次函数y＝－x2－4x＋5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 3．抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是直线x＝1. 4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当x<－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，y有最大值是2. 5．(河南中考)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为－4. 知识点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的平移 6．(泰安中考)将抛物线y＝－x2－2x＋3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过 （ ） A．(－2，2) B．(－1，1) C．(0，6) D．(1，－3) 知识点3：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与系数之间的关系 7．(宣城期末)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是 （ ） A．a＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．abc＞0 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0.其中正确结论的序号是 （ ） A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③ 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分面积为 （ ） A．1 B.2 C．3 D.π 【解析】阴影部分的面积即为两段抛物线与对称轴的交点及原点O所构成的三角形的面积． 10.(河南中考)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 11．(上海中考)一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是 y＝－x2＋1(答案不唯一)． 解：抛物线表达式为 y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2)(x＋1)2＋2， 将抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位，表达式变为y＝－eq \f(1,2)x2. 此时抛物线顶点恰好落在原点． 12．已知抛物线y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)，将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式． 13．(牡丹江中考)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线对应的函数表达式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求△BCP的面积． 解：(1)抛物线的表达式为 y＝x2－3x－4， Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(25,4)))； (2)连接OP， ∵A(－1，0)，B(4，0)， C(0，－4)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(25,4)))， ∴S△OPC＝eq \f(1,2)×4×eq \f(3,2)＝3，S△BOP＝eq \f(1,2)×4×eq \f(25,4)＝eq \f(25,2)，S△BOC＝eq \f(1,2)×4×4＝8， ∴S△BPC＝S△OPC＋S△BOP－S△BOC＝3＋eq \f(25,2)－8＝eq \f(15,2). 14．如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标； (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点， 当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标． (2)易得点C的坐标为(0，3)．连接BC交抛物线的对称轴l于点P，连接PA，则此时PA＋PC的值最小，设直线BC对应的函数关系式为 y＝kx＋b， ∵点C(0，3)，点B(3，0)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝3k＋b，,3＝b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝3.)) ∴直线BC对应的函数关系式为y＝－x＋3. 当x＝1时，y＝－1＋3＝2， ∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)． 解：(1)m＝2，顶点坐标为(1，4)． $$