广东省揭西县上砂中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（创新班）

2024-2025 学年度第一学期九年级第一次月考数学 【参考答案】 一、单选题 1. （3分）C 2. （3分）C 3. （3分）D 4. （3分）B 5. （3分）D 6. （3分）A 7. （3分）B 8. （3分）B 9. （3分）A 10. （3分）C 二、填空题 11. （3分） 12. （3分）矩形 13. （3分）＝ 14. （3分） 15. （3分）12 三、解答题（一） 16. （7分） 【答案】（7分）＝， 移项得：＝， 配方得：＝，即＝， 开方得：＝， 则＝，＝． 17. （7分） 【答案】 （1）（3分）将＝代入原方程可得＝， 解得：＝． （2）（4分）由题意可知：＝＝， 不论取何实数，该方程总有两个实数根 18. （7分） 【答案】 （1）（2分） （2）（5分）依题意，得：，                              整理，得，解得:.                   ∵商场要尽快减少库存， ∴只取           答：若商场平均每天赢利元，每件衬衫应降价元．     四、解答题（二） 19. （9分） 【答案】 （1）（4分）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC， ∴∠EDO＝∠FBO， ∵点O是BD的中点， ∴DO＝BO， 又∵∠EOD＝∠FOB， ∴△BOF≌△DOE(ASA)； （2）（5分）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE， ∴BF＝DE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC，即DE//BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形EBFD是菱形． 20. （9分） 【答案】 （1）（2分）＝ . （2）（4分）    2 （3）（3分）由运动知，＝，＝， ∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形． ∴＝， 当点在边上时，＝＝， ∴＝， ∴＝， 当点在延长线上时，＝＝， ∴＝， ∴＝， 即：为秒或秒时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形． 21. （9分） 【答案】 （1）（3分）36     120     （2）（1分）不能 （3）（5分）由题知， 前n排盆景的总数可表示为n(n+1)， 令n(n+1)＝420得， 解得n1＝−21，n2＝20． 因为n为正整数， 所以n＝20， 即一共能摆20排． 五、解答题（三） 22. （13分） 【答案】 （1）（4分）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴. （2）（4分）解：四边形是菱形， 理由是：∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴平行四边形是菱形. （3）（5分）解：当时，四边形是正方形，理由是： ∵，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 即当时，四边形是正方形. 23. （14分） 【答案】 （1）（2分）2 （2）（2分）4 （3）（6分）∵EG⊥FH， ∴S△EFG＝EG•FO，S△EHG＝EG•HO， ∴S四边形EFGH＝S△EFG+S△EHG＝EG•FO+EG•HO＝EG•FH＝， 故答案为：． 猜想：S四边形EFGH＝， 证明：∴S△EFG＝EG•FO，S△EHG＝EG•HO， ∴S四边形EFGH＝S△EFG+S△EHG＝EG•FO+EG•HO＝EG•FH＝． （4）（4分）根据尺规作图可知：∠QPM＝∠MKN， ∵在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5， ∴MK2＝MN2+KN2， ∴△MNK是直角三角形，且∠MNK＝90°， ∴∠NMK+∠MKN＝90°， ∵∠QPM＝∠MKN， ∴∠NMK+∠QPM＝90°， ∴MK⊥PQ， ∵PQ＝KN＝4，MK＝5， ∴根据(3)中结论得S四边形MPKQ＝MK•PQ＝10． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年度第一学期九年级第一次月考数学试卷 （创新班） 试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项 （1）答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 （2）将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1. （3分）下列命题中，是真命题的是（   ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D. 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 2. （3分）下列是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 3. （3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（   ） A. B. 1 C. D. 4. （3分）用配方法解一元二次方程＝，此方程可化为（　　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 5. （3分）根据下列表格的对应值： ＝ 判断方程＝（，，，为常数）的一个解为的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. （3分）在菱形中，＝，＝，则＝（　　） A. B. C. D. 7. （3分）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（   ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. （3分）若一元二次方程＝有实数解，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. （3分）设、是一元二次方程＝的两个根，则＝（　　） A. B. C. D. 10. （3分）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（   ） A. 3(1) B. 3(32) C. 6(1) D. 6(32) 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11. （3分）如图，矩形的对角线，相交于点，，，若，则四边形的周长是________. 12. （3分）四边形中，，顺次连接它的各边中点所得的四边形是________． 13. （3分）如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为________． 14. （3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 15. （3分）九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有      名同学． 三、解答题（一）（共 3 题，每题 7 分，共 21 分） 16. （7分）解方程：＝． 17. （7分）已知关于的方程＝． （1）（3分）若该方程的一个根为＝，求的值； （2）（4分）求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 18. （7分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件赢利元，�为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，�如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出件． （1）（2分）若将这种名牌衬衫的售价降低元，则每天的销售量是_______件（用含的代数式表示）； （2）（5分）若商场平均每天赢利元，每件衬衫应降价多少元？ 四、解答题（二）（共 3 题，每题 9 分，共 27 分） 19. （9分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F． （1）（4分）证明：△BOF≌△DOE； （2）（5分）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形． 20. （9分）如图，在矩形中，边上有一点，连结，若＝，＝．＝． （1）（2分）直接写出的长； （2）（4分）有一点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AD向点D运动，有一点Q从点C出发，以4cm/s的速度沿CB向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ①t＝________秒时，四边形AEQP为平行四边形； ②t=________秒时，四边形ABQP为矩形； （3）（3分）有一点从点出发，以的速度沿向点运动，有一点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达点时，点、同时停止运动，设点的运动时间为秒，问取何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形． 21. （9分）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）（3分）探索：三角点阵中前8行的点数之和为               ，前15行的点数之和为               ，那么，前n行的点数之和为​​​​​​​               ． （2）（1分）体验：三角点阵中前n行的点数之和                (填“能”或“不能”)为500． （3）（5分）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 五、解答题（三）（共 2 题，27 分） 22. （13分）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，． （1）（4分）求证：； （2）（4分）当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）（5分）若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 23. （14分）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： （1）（2分）【探究论证】如图①，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC，垂足为点D．若CD＝2，BD＝1，则S△ABC＝               ． （2）（2分）如图②，在菱形A′B′C′D′中，A′C′＝4，B′D′＝2，则S菱形A′B′C′D′＝                ． （3）（6分）如图③，在四边形EFGH中，EG⊥FH，垂足为点O． 若EG＝5，FH＝3，则S四边形EFGH＝               ； 若EG＝a，FH＝b，猜想S四边形EFGH与a，b的关系，并证明你的猜想． （4）（4分）【理解运用】 如图④，在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，点P为边MN上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图； (ⅰ)以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN，KM于点R，I； (ⅱ)以点P为圆心，KR长为半径画弧，交线段PM于点I′； (ⅲ)以点I′为圆心，IR长为半径画弧，交前一条弧于点R′，点R′，K在MN同侧； (ⅳ)过点P画射线PR′，在射线PR′上截取PQ＝KN，连接KP，KQ，MQ． 请你算出S四边形MPKQ的值． 3（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$