5.3.1函数的单调性课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性 人教A版(2019) 选择性必修第二册 ■■ 在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识， 研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.在本 章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化 率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精 确地研究函数的性质呢? 本节我们就来讨论这个问题。 新知导入 问题：判断函数单调性的方法有哪些? 答 ： 1定义法 2图象法 3性质法(增+增→增，减+减 →减，复合函数单调性“同增异减”等 4导数法 新知导入 思考 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对 于水面的高度 h 随时间t 变化的函数 h(t) = -4.9t²+4.8t+11 的图象 图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化 的函数 v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8 的图象 b 是函数h(t) 的零点. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 如何从数学上刻画这种区别? 新知讲解 观察图象可以发现： (1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时 间t的增加而增加，即h(t) 单调递增.相应地，v( t)=h'(t)>0 (2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时 间t的增加而减少，即h(t) 单调递减.相应地，v(t)=h'(t)<0. 思考 从以上观察中发现，函数h(t)单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么,我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 新知讲解 对于高台跳水问题，可以发现： 当t∈(0,a) 时 ，h'(t)>0, 函数 h(t)的图象是“上升”的，函数 h(t) 在 (0,a)上单调递增； 当t ∈(a,b) 时 ，h'(t)<0, 函 数 h(t) 的图象是“下 降”的，函数 h(t) 在 (a,b)上单调递减. 新知讲解 观察下面一些函数的图象(5.3-2),探讨函数的单调性与导数的正负关系. 文合作探究 (1) (2) (3) (4) 可以发现： 在x=x₀ 处 ，f'(x₀)>0 ,切线是“左下右上” 的上升式，函数 f(x)的图象也是上升的，函数 f(x)在x=x₀ 附近单调递增 在x=x₁ 处 ，f'(x₁)<0, 切线是“左上右下”的 下降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数fx) 在 x=x₁ 附近单调递减 yA y=f(x) (x₁,f(x₁) 0 如图，导数f'(x₀) 表示函数y=f(x) 的图象在点(x₀,f( x₀)) 处的切线的斜率. 合作探究 (x₀,f(x₀)) x 结论： 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a,b) 上，如果f'(x)> 0 ,那么函数y=f(x) 在区间(a,b 上单调递增； 在某个区间(a,b) 上，如果f'(x)<0 ,那么函数y=f(x) 在区间(a,b) 上单调递减. 六合作探究 例1利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)=x³+3x (2)f(x)=sinx-x,x ∈(0,π) 解：(1)因为f(x)=x³+3x,所以 所以，函数 f(x)=x³+3x 在R上单调递增，如图(1)所示. 合作探究 f'(x)=3x²+3=3(x²+1)>0 (1) 解：(2)因为f(x)=sinx-x,x∈(0,π), f'(x)=cOsx-1<0 例1利用导数判断下列函数的单调性： (2)f(x)=sinx—x,x ∈(0,π) 所以，函数 f(x)=sinx-x 在∈(0,π)上单调递减，如图(2)所示. 文合作探究 所 以 (2) 解 ： ( 3 ) 因 为 ,x∈(-o,0)U(0+0) 所以 所以，函数 在区间(-0,0)和(0,+0)上单调递增，如图(3)所示. 例1利用导数判断下列函数的单调性： 合作探究 (3) 例2已知导函数f'(x) 的下列信息： 当 1<x<4 时 ，f'(x)>0; 当x<1, 或x>4 时 ，f'(x)<0 当x=1, 或x=4 时 ，f'(x)=0. 试画出函数f(x) 图象的大致形状. 解 ： 当 1<x<4 时 ，f'(x)>0, 可知f(x) 在区间(1,4)上单调递增 当x<1, 或x>4 时 ，f'(x)<0, 可知f(x) 在区间(-0,1)和(4,+0)上都单调递减； 当x=1, 或x=4 时 f'(x)=0, 这两点比较特殊， 我们称它们为“临界点”. 综上，函数f(x) 图象的大致形状如图5.3-5所示 图5.3-5 文合作探究 函数 的定义域为R.对 f(x) 求导数，得 f'(x)=x²-x-2=(x+1)(x-2) 令f'(x)=0, 解得 x=-1, 或 x=2 下面利用导数来研究形如f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0)函数的单调性. 文合作探究 例3求函数 解 ： x (-0,-1) -1 (-1,2) 2 (2,+0) f'(x) 十 0 0 十 f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 x=-1 和x=2 把函数定义域划分成三个区间，f'(x)在各区间上的正负，以及 f(x)的 单调性如下表所示. 所 以 ，f(x) 在( - 0, - 1)和(2,+0)上都单调 递增，在(-1,2)上单调递减，如图5.3-6所示. fw=3²-20-2x+1 x y (-1,1) o 文合作探究 2-3 图5.3-6 规律方法：一般情况下，通过如下步骤判断函数 y=f(x)的单调性： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f'(x)的零点； 第3步，用f'(x) 的零点将 f(x) 的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x) 在各区间上的正负，由此得出函数 y=f(x)在定义域内的单调性。 六合作探究 探究 研究对数函数y=Inx 与幂函数y=x³ 在(0,+0)上增长快慢的情况. y y=lnx o (1) 文合作探究 图5.3-7 (2) ( x 对数函数y=Inx 的导数 (x∈(0,+0)),所以y=Inx 在区间(0,+0)上单调递增. 当x越来越大时， 来越小，所以函数 y=Inx 递增的越来越慢，图象上升得越来越“平 缓”(如图5.3-7(1)). 幂函数y=x³ 的导数为y¹=3x²>0(0∈(0,+0)), 所 以y=x³ 在区间(0,+0)上单调 递增.当x越来越大时，y¹=3x² 越来越大，函数y=x³ 递增得越来越快，图象上升得越来越 “陡峭”(如图5.3-7(2)). yA y=lnx o (1) 合作探究 图5.3-7 (2) 《 x 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化得较快， 这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓” 文合作探究 当x=1 时 ，f'(x)=g'(x)=1; 当0<x<1 时 ，g'(x)>f'(x)>1; 当x>1 时，0<g'(x)<f'(x)<1. 所以，f(x),g(x)在(0,+0)上都是增函数. 在区间(0,1)上，g(x)的图象比 f(x)的图象要“陡峭”; 在区间(1,+0)上，g(x) 的图象比f(x) 的图象要“平缓”. 所以，f(x),g(x) 的图象依次是图5.3-8中的C₂,C₁ · 解：因为f(x)=Inx, , 所以 两个函数的图象如图5.3-8所示. 判断f(x),g(x) 的图象与C₁,C₂之间的对应关系. 文合作探究 例 4 设x>0,f(x)=Inx, 图5 .3-8 , A .函数f(x) 在区间(-3,0)上是减函数 B. 函 数f(x) 在区间(1,3)上是减函数 C. 函数f(x) 在区间(0,2)上是减函数 D. 函数f(x) 在区间(3,4)上是增函数 当x∈(-3,0)时 ，f(x)<0, 则f(x)在(-3,0)上是减函数.其 1如图所示是函数f(x) 的导函数f'(x) 的图象，则下列判断中正确的是(A) 课堂练习 他判断均不正确. 解 2利用函数的单调性(利用导数), 证明不等式 e×>x+1(x≠0) 分析：构造函数h(x)=ex-x-1, 利用导数分析函数的单调性，找出最值即可证出 证明：设函数 h(x)=ex-x-1,∴h'(x)=ex-1 令h'(x)=0 得 ex-1=0,x=0 x (-o,0) 0 (0,+0) h'(x) 0 十 h(x) 递减 h(0)=0 递增 ∴当x=0 时 ，h(x) 取最小值，h(x)min=h(0)=0 ∴当x≠0 时，恒有h(x)>0, 即 ex>x+1(x≠0) 文课堂练习 列表： 述正确的是(C) A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d) 解 ： 依题意得，当x∈(-0,c) 时 ，f(x)>0, 因此，函数f(x)在 ( - 0 ,c)上是增函数， 由a<b<c, 所 以f(c)>f(b)>f(a). 因 此C正确 . 3已知定义在R上的函数f(x), 其导函数f'(x) 的大致图象如图所示，则下列叙 文课堂练习 在[1,2]上是增函数，求a的范围(用导数的方法) 分析：求函数的导数，利用导数f'(x₀)≥0 恒成立，利用参数分类法进行求解即可. 解；函数的导数 在[1,2]上是增函数， 则 y¹≥0 恒成立，即 即ax²-(2a-1)≥0 即 a(x²-2)+1≥0 若x=√2, 则不等式等价为1≥0,不等式成立， 若 √2<x≤2, 则 0<x ²-2≤2 则不等式等价为 , 此 时 即 若1≤x< √2, 则x²-2 <0, 则不等式等价为 此 ,即 则a≤1 综上， 课堂练习 、 f'(x₀)正负 f(x)的单调性 f'(x₀)>0 单调递增 f'(x₀)<0 单调递减 2例题 3导数与函数图象的关系 4练习 1原函数的单调性与导函数的正负之间的关系 课堂总结 1原函数的单调性与导函数的正负之间的关系 2例题 3导数与函数图象的关系 4例题 5练习 板书设计 课本97页习题5.3 (1、2) 作业布置 $$