2024-2025学年沪科版八年级数学上册期中复习讲义-过基础

期中复习基础过关（知识点、题型梳理） 第11章 平面直角坐标系（共5个知识点，8个题型） 知识点1有序数对： 把有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对，记作(，)． 知识点2、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1.平面直角坐标系： 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系. 2.象限： 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限． 知识点3、点的坐标 在平面直角坐标系中，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 知识点4、点的坐标特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 2.点(，)中，表示__点到轴__的距离；表示__点到轴__的距离. 3.坐标轴上点的坐标特征：轴上的点的___纵坐标均为0___；轴上的点的___横坐标均为0___． 4.象限的角平分线上点坐标的特征 (1)象限角平分线上的点：若(，) ①一三象限角平分线：横纵坐标___相等___，即______；②二四象限角平分线：横纵坐标___横纵坐标互为相反数___，即______； 5.平行于坐标轴的直线上的点 (2)坐标轴平行线上的点：若(，)、(，) ①平行于轴，垂直于____轴：纵坐标相等，线段______；②平行轴，垂直于____轴：横坐标相等，线段___||___。简称：“谁相同，垂直谁；垂直谁，谁相同”。 6.关于坐标轴对称的点的坐标特征 (，)关于轴对称的点的坐标为___(，)___；(，)关于轴对称的点的坐标为___(，)___； 【题型4-1】由坐标符号规律确定点的位置 1．(2023秋•五十中西期中)下列各点中位于第二象限的是(　B　) A．(2023，1) B．(，1) C．(2023，) D．(，) 2．(2023秋•四十五中本部期中)在平面直角坐标系中，点(，2023)位于(　B　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(2023秋•四十二中期中)平面直角坐标系中，点(，2023)所在象限是(　A　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型4-2】坐标轴上点的坐标特征 4．(2023秋•四十八中期中)已知点(，)在轴上，则的值为____． 5．(2023秋•四十五中本部期中)在平面直角坐标系中，点的坐标为(，)，若点在轴上，则点的坐标为__(0，3)__． 【题型4-3】平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 6．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知(，6)，则点的坐标为(　B　) A．(，4) B．(，) C．(，5) D．(，4) 7．(2023秋•包河区期中)在平面直角坐标系中，已知点(，)，(3，)． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若线段轴，求的值． 【解答】解：(1)∵点(，)，(3，)，点在轴上， ∴，，∴，∴点坐标为(3，)； (2)∵点(，)，(3，)，线段轴，∴，∴． 【题型4-4】点的坐标与点到坐标距离的关系 8．(2023秋•包河区期中)点(3，)到轴的距离为__2__个单位长度． 9．(2023秋•四十五中橡树湾期中)点(，4)到轴的距离是 __3__． 10．(2023秋•四十二中期中)若点是第二象限内的点，且点到轴的距离是4，到轴的距离是5，则点的坐标是(　C　) A．(，5) B．(4，) C．(，4) D．(5，) 11．(2023秋•五十中东期中)已知(，)，且点到两坐标轴的距离相等，则__或3__． 12．(2023秋•四十二中期中)已知平面直角坐标系中有一点(，) (1)当为何值时，点到轴的距离为1？ (2)当为何值时，点到轴的距离为2？ 【解答】解：(1)∵；或；∴或； (2)∵；或；∴或． 【题型4-5】根据已知点的坐标求其他点的坐标 知识点5、点与图形的坐标变换与面积问题 1.点的平移变换：左右平移横坐标左减右加，上下平移纵坐标上加下减； 2.图形平移变换：左右平移横坐标左减右加，上下平移纵坐标上加下减。 【题型5-1】坐标系中点的平移 13．(2023秋•五十中天鹅湖期中)在平面直角坐标系中，将点(，2)向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的点坐标为(　C　) A．(1，) B．(，5) C．(，) D．(，5) 【题型5-2】坐标系中图形的平移规律 14．(2023秋•包河区期中)在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段A′B′，若点(，2)的对应点的坐标为(3，)，那么点(2，4)的对应点的坐标为(　D　) A．(，) B．(，6) C．(，10) D．(6，) 【题型5-3】坐标系中图形的面积 15．(2023秋•四十八中期中)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形)的顶点，的坐标分别为(，5)，(，3)． (1)请在如图所示的网格内作出轴、轴； (2)求出△的面积； (3)请作出将△先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后的△． 【解答】解：(1)如图所示： (2)； (3)如图所示：△即为所求． 16．(2023秋•五十中天鹅湖期中)如图在平面直角坐标系中，已知(，2)，(2，0)，(3，3)，(，)是△的边上的一点，把△经过平移后得△，点、、的对应点分别为点、、，点的对应点为(，)． (1)直接写出、、F三个点的坐标并画出△； (2)求△的面积． 【解答】解：(1)∵为上的点，平移后(，)．表示向左平移2个单位，再向下平移4个单位． ∴(，2)对应点(，)；(2，0)对应点(0，)；(3，3)对应点(1，-1)． ∴(，)，(0，)，(1，)；如图，△即为所求； (2)如图所示，将，，连线即可． 三角形DEF的面积为：． 第12章　一次函数 第一部分　函数初步（共6个知识点，6个题型） 知识点1、函数基本概念 1.常量和变量：在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量． 2.自变量与因变量 3.函数定义：一般地，在某一变化过程中，有两个变量和，如果对于的允许取值范围内的每一个值，都有唯一确定的值与它对应，那么就说是的函数，其中是自变量，是因变量． 4.函数的自变量取值范围 基本思路：使函数关系式有意义，具体如下： (1)函数关系式为整式时，函数自变量取值范围为全体实数；(不可说成“任意实数”) (2)函数关系式含有分式时，要使分式的分母不等于0； (3)函数关系式含有二次开方时，要使被开方数为非负数； (4)函数关系式含有零指数或负指数幂时，幂底数不等于0； (5)实际问题中，自变量取值范围还要与实际意义相符合； 在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分． 5.函数的值 【题型1-1】自变量与因变量的判断 1．(2023秋•瑶海区三十八中期中)腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量和因变量分别是(　D　) A．水，食盐水的浓度 B．水，食盐水 C．食盐量，食盐水 D．食盐量，食盐水的浓度 【题型1-2】确定函数自变量的取值范围 2．(2023秋•四十二中期中)函数中自变量的取值范围是(　A　) A．且 B． C． D． 知识点2．列表法、解析法表示函数关系 【题型2】判断关系式是否为表示函数关系 3．(2023秋•瑶海区三十八中期中)下列等式中，，，，其中表示是的函数的有(　C　) A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 知识点3、图像法表示函数关系 1.一般来说，对于一个函数，把一个自变量及与之对应的函数值分别作为一个点的横坐标与纵坐标，并在坐标平面内描出相应的点，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 2.描点法画函数图像的一般步骤 第一步：列表：在表格内，在自变量取值范围内取值，并求出相应的_函数值； 第二步：描点：以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，在坐标平面内描出表格中数值对应的点； 第三步：连线：按照自左向右的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来． 【题型3】判断一个点是否在函数图像上 4．(2023秋•四十五中本部期中)已知正比例函数，当时，，则下列各点在该函数图象上的是(　A　) A．(，) B．(，3) C．(3，1) D．(，1) 5．(2023秋•瑶海区三十八中期中)一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是(　C　) A．(1，1) B．(，3) C．(0，) D．(3，) 知识点4、用图像表示函数关系(函数图像越陡峭表示因变量变化越快) 【题型4】判断图形是否为函数图像 6．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)下图中表示是函数的图象是(　C　) A． B． C． D． 知识点5、函数的值 【题型5】函数的值 7．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)若函数，则当函数值时，自变量的值等于__4或__． 知识点6、从函数图像中获取信息 审题技巧： 1.了解基本信息：读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义； 2.注意状态变化：读懂每一个点、线段的实际状态； 3.理解内在联系：读懂两个量在变化过程中的相互关系． 第二部分　一次函数图像与性质（共5个知识点，22个题型） 知识点1、一次函数和正比例函数的概念 1.一般地，形如(，是常数且)的函数叫一次函数．特别地，当时，一次函数就成为(是常数且)，这时叫做的正比例函数． 2.正比例函数是一种特殊的一次函数；当关系式(是常数且)成立时，则称与成正比例关系，反之也成立． 【题型1-1】一次函数与正比例函数的识别 1．(2023秋•瑶海区三十八中期中)函数是关于的一次函数，则____． 【题型1-2】根据正比例关系确定函数表达式 2．(2023秋•四十八中期中)已知与成正比例，且当时． (1)求与之间的函数解析式； (2)若点(，)在这个函数的图象上，求的值． 【解答】解：(1)设，将、代入，得：， 解得，∴，即； (2)将点(，)代入，得：，解得：． 3．(2023秋•四十五中橡树湾期中)已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的取值范围． 【解答】解：(1)设，∵时，∴，解得， ∴，∴； (2)∵，∴，解得．∴的取值范围是． 知识点2、一次函数的图像与性质 增减性 示意图 经过象限 ，自左向右上升； 随增大而增大． 简称：大大，小小 当时，图像必经过第一、三象限 当时，必经过第一、二象限； 合：函数图像经过第一、二、三象限 当时，必经过第三、四象限； 合：函数图像经过第一、三、四象限 ，自左向右下降； y随x增大而减小． 简称：大小，小大 当时，图像必经过第二、四象限 当时，必经过第一、二象限； 合：函数图像经过第一、二、四象限 1.正比例函数过定点：(0，0)、(1，)； 2.系数的几何意义：反映直线的倾斜程度，称为斜率；越大，图像越陡峭；越小，图像越平缓． 3.常数，反映直线与轴交点纵坐标，叫做截距． 4.两条直线相互平行，一次项系数不变；当两直线系数相等时，两条直线平行； 5.一次函数平移规律：左右平移，对左加右减；上下平移，对上加下减 【题型2-1】一次函数与坐标轴的交点 4．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)已知直线与直线相交于轴上一点，则____． 【题型2-2】一次函数的图像与性质 5．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)对于一次函数，下列结论错误的是(　D　) A．函数的值随自变量的增大而减小 B．函数的图象向上平移3个单位长度得的图象 C．函数图象在轴上的截距是 D．函数的图象与轴的交点坐标是(0，) 6．(2023秋•瑶海区三十八中期中)已知定点(，)，(，)(其中)在直线上，若，则下列结论一定正确的是：①是正比例函数；②是一次函数；③是一次函数；④函数中随的增大而减小．(　D　) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 7．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)对于一次函数，下列说法不正确的是(　D　) A．图象与的图象平行 B．图象不经过第三象限 C．图象与坐标轴围成的面积是2 D．当时， 【题型2-3】根据一次函数系数正负与经过象限解题 8．(2023秋•四十五中本部期中)已知一次函数的图象不经过第三象限，则正整数的值为__2或3__． 【题型2-4】先利用k或经过象限判断增减性再比较函数值大小 9．(2023秋•四十五中本部期中)已知直线经过点(，)，(，)，(3，)，则，，的大小关系是(　D　) A． B． C． D． 10．(2023秋•五十中东期中)若点(，)，点(1，)，点(3，1)都在一次函数的图象上，则与的大小关系是(　A　) A． B． C． D．无法确定 【题型2-5】根据函数增减性定义确定代数式的值特征 11．(2023秋•五十中天鹅湖期中)若(，)，(，)分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则P为(　B　) A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【题型2-6】根据函数增减性在自变量范围内求函数最值 12．(2023秋•四十五中橡树湾期中)已知过点(2，3)的直线不经过第四象限．设，则(　B　) A．S有最大值 B．S有最小值 C．S有最大值6 D．S有最小值6 【题型2-7】一次函数图象的平移 13．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)一次函数的图象，可由函数的图象(　D　) A．向左平移2个单位长度而得到 B．向右平移2个单位长度而得到 C．向上平移2个单位长度而得到 D．向下平移2个单位长度而得到 14．(2023秋•包河区期中)已知直线向下平移()个单位后经过点(1，)，则的值为__2__． 15．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图，△的顶点坐标分别为(1，0)，(4，0)，(1，4)，将△沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为__16__． 【题型2-8】一次函数图象平行，k相等 16．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)已知函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值． 【解答】解：(1)∵经过原点，是正比例函数，∴．解得：； (2)∵函数的图象平行于直线，∴，解得：． 【题型2-9】根据系数特征识别函数图象 17．(2023秋•五十中西期中)若实数，，满足，且，则函数的图象可能是(　D　) A． B． C． D． 18．(2023秋•四十二中期中)在平面直角坐标系中，已知函数的图象过点(2，1)，则该函数的图象可能是(　C　) A． B． C． D． 【题型2-10】一次函数图形共存问题 19．(2023秋•五十中东期中)正比例函数和一次函数的大致草图是(　B　) A． B． C． D． 20．(2023秋•四十五中橡树湾期中)一次函数与，在同一平面直角坐标系的图象不可能是(　C　) A． B． C． D． 21．(2023秋•瑶海区期中)一次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　D　) A． B． C． D． 【题型2-11】一次函数过定点问题 22．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)直线恒过一定点，则该点的坐标是__(2，3)__．平面直角坐标系中有三点(，0)，(2，3)，(5，0)，若该直线将△分成左右面积之比为1：2的两部分，则的值是__3或__． 【题型2-12】一次函数交点问题 23．(2023秋•四十二中期中)已知直线与轴的交点在(1，0)，(4，0)之间(包括，两点)，则的取值范围(　D　) A． B． C． D． 24．(2023秋•五十中西期中)如图，在平面直角坐标系中，(，2)，(3，5)，直线与线段有公共点． (1)直线一定经过的定点是__(1，1)__； (2)的取值范围是__或__． 知识点3、确定一次函数关系式 待定系数法具体步骤： ①设：根据已知条件写出含有、的函数解析式； ②代：将，的对应值或将图象上的点的坐标代入所设函数解析式中，得到关于待定系数的方程； ③解：解关于待定系数的方程组，求出未知待定系数的值； ④定：将求出的待定系数代入所设函数解析式中； 【题型3-1】已知过两点坐标确定一次函数的表达式 25．(2023秋•四十五中橡树湾期中)已知一次函数的图象过(3，5)和(，)两点． (1)求此一次函数的解析式； (2)试判断点(1，)是否在此一次函数的图象上． 【解答】解：(1)设一次函数的解析式为，再把(3，5)和(，)两点代入得， ，解得，故此一次函数的解析式为：； (2)∵由(1)可知，一次函数的解析式为，∴当时，， ∴点(，)是在此一次函数的图象上． 26．(2023秋•四十二中期中)已知是的一次函数，当时，，当时，，求： (1)这个一次函数的解析式； (2)画出该函数的图象． 【解答】解：(1)设一次函数解析式为， ∵当时，，当时，， ∴，解得，一次函数解析式为：； (2)一次函数图象是一条直线，且过(2，3)(0，)，作图如下： 【题型3-2】根据图象信息确定一次函数表达式 27．(2023秋•四十五中本部期中)已知直线在轴上的截距为，且与直线：平行． (1)求直线的函数表达式； (2)求直线与轴交点坐标，并画出其函数图象． 【解答】解：(1)设直线：，∵直线在轴上的截距为，且与直线：平行， ∴，，∴直线的函数表达式为； (2)令，则，解得，∴直线与轴交点坐标为(2，0)，画出其函数图象如图： 【题型3-3】根据几个函数之间的关系确定一次函数表达式 28．(2023秋•四十五中本部期中)如图，直线的函数表达式为，直线与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过点，如图所示，直线，交于点(，2)． (1)求点的坐标和直线的函数表达式； (2)利用函数图象直接写出关于的不等式的解集． 【解答】解：(1)∵点在直线：上，∴，，∴点的坐标为(2，2)； ∵点(2，2)、(3，1)在直线上， ∴，解得，∴直线的解析式为； (2)由图象可得关于的不等式的解集为． 【题型3-4】已知一次函数自变量取值范围与函数值范围分类讨论一次函数表达式 29．(2023秋•四十二中期中)对于一次函数，当时，，则一次函数的解析式为__或__． 知识点4、一次函数应用 【题型4】一次函数实际应用 30．(2023秋•瑶海区期中)甲、乙两人准备在一段长为1200m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100m处，两人同时同向起跑． (1)两人出发后__50__s乙追上甲； (2)从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离(m)与时间(s)的函数关系为__；__． 31．(2023秋•包河区期中)在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力(N)和所悬挂物体的重力(N)的几组数据用电脑绘制成如图象(不计绳重和摩擦)，请你根据图象判断以下结论正确的序号有(　C　) ①物体的拉力随着重力的增加而增大； ②当物体的重力N时，拉力N； ③拉力与重力成正比例函数关系； ④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为N． A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 32．(2023秋•瑶海区三十八中期中)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，水驽马日行一百五十里．弩马先行一十二日，问良马几何日追及之．”这个问题指的是现有良马和弩马各一匹，良马每天行走240里，弩马每天行走150里，弩马先走12天，然后良马再出发，则良马几天可以追上弩马？如图是两匹马行走路程关于行走时间的函数图象，则两图象交点的坐标是__(32，4800)__． 33．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm. (1)观察图形，填写下表： 链条节数/(节) 2 3 4 … 链条长度/(cm) 4.2 … (2)请你写出与之间的关系式； (3)如果一辆自行车上安装的链条共有60节，那么链条的总长度是多少？ 【解答】解：(1)经分析，每增加一节链条，链条长度增加1.7cm. ∴链条的节数为3时，链条的长度为4.2+1.7=5.9(cm)；链条节数为4时，链条的长度为5.9+1.7=7.6(cm)． 故答案为：5.9，7.6． (2)由题意得，． (3)当，．∴这辆自行车链条的总长为102.8cm. 知识点5、一次函数与一元一次方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程的关系 ①一次函数代入或的值后，形式上就变成了关于或的一元一次方程； ②从函数图像角度看，方程的解是直线与轴交点的横坐标，反之亦然． 2.一元一次方程与一元一次不等式的关系 从函数图象角度看： 不等式的解集为一次函数在轴上方部分图象所对应的的取值范围； 不等式的解集为一次函数在轴下方部分图象所对应的的取值范围． 3.(，且)的解集； 即：的函数值大于的函数值时的自变量取值范围； 即：直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【题型5-1】根据一次函数图像与横轴交点求解不等式 34．(2023秋•五十中天鹅湖期中)函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为____． 第34题图 第35题图 35．(2023秋•瑶海区三十八中期中)若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为(　C　) A． B． C． D． 【题型5-2】根据两个函数图像相交求解不等式 36．(2023秋•五十中东期中)已知直线与直线的交点坐标为(，)，则不等式组的解集为(　B　) A． B． C． D． 37．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤.所有正确结论的序号为(　D　) A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤ 38．(2023秋•瑶海区期中)如图，已知直线经过点(5，0)，(1，4)，直线与该直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)求两直线交点的坐标；(3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【解答】解：(1)∵直线经过点(5，0)，(1，4)， ∴，解得，∴直线的表达式为； (2)∵直线与直线相交于点，∴，解得，∴点的坐标为：(3，2)； (3)由图象可知，点右边直线在的上面，∴不等式的解集：． 【题型5-3】根据不等关系获取函数系数特征 【题型5-4】图像法解方程、不等式 39．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图，已知两个一次函数和的图象交于A点． (1)求点的坐标； (2)观察图象：当时，比较，的大小． 【解答】解：(1)联立，解得，∴点坐标为(2，)； (2)根据图象可知，当时，；当时，；当时，． 40．(2023秋•五十中西期中)画出函数的图象，结合图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【解答】解：当时，，当时，，函数的图象如图所示： (1)观察图象知：该函数图象经过点(，0)，故方程的解为； (2)观察图象知：当时，，故不等式的解集为； (3)当时，，解得：； 当时，，解得：； 如图所示，观察图象知：当时，． 第三部分　一次函数与方程组（共3个知识点，3个题型） 知识点1、一次函数与二元一次方程的关系 一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解； 以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上． 知识点2、一次函数与二元一次方程组的关系 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反之亦成立． 用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法．一般步骤： ①转化成对应的一次函数形式；②作一次函数图象；③找交点；④下结论。 【题型1-1】根据函数的交点坐标确定方程组的解 1．(2023秋•四十五中橡树湾期中)一次函数与的图象相交于如图点(，4)，则关于，的二元一次方程组的解是(　A　) A． B． C．{ D． 【题型1-2】根据方程组的解与函数交点的关系判断函数图象 2．(2023秋•五十中天鹅湖期中)如图，一次函数与的图象相交于点，则函数的图象可能是(　A　) A．B．C．D． 【题型1-3】根据直线交点特征求参数取值范围 3．(2023秋•瑶海区期中)若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是(　D　) A． B． C．或 D． 知识点3、二元一次方程解的情况 二元一次方程组的解与(两直线：和：的位置关系)有如下联系: 1.当时，二元一次方程组有唯一解(两直线相交)； 2.当且时，二元一次方程组有无数解(两直线重合)； 3.当且时，二元一次方程组无解(两直线平行) 第13章　三角形三边关系、命题与证明（共7个知识点，23个题型） 知识点1、三角形的有关概念 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形； 2.构成：①组成三角形的三条线段叫做三角形边；②相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；③相邻两边的夹角叫做三角形的角． 3.表示：三角形用符号“△”表示，顶点为、、的三角形记作△，读作“三角形”，注意单独的△没有 知识点2、三角形按边分类 , 知识点3、三角形三边关系 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边的之差小于第三边． 2.三边关系的应用： (1)当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围； (2)证明线段之间的不等关系； (3)绝对值化简； (4)判断三条线段能否组成三角形，使用方法： ①当三条线端两两不相等，两条较短线段长度和大于第三条线段时，可构成三角形； ②当有两条线段相等，两条相等的线段之和大于第三条线段时，可构成三角形； ③当三条线段相等时，必能够成三角形． 【题型3-1】求三角形第三边取值范围 1．(2023秋•五十中西期中)三条长度为3cm，，6cm的线段首尾相接，恰好能组成一个三角形，则的取值有可能是(　C　) A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm 2．(2023秋•四十二中期中)若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(　B　) A．14 B．10 C．3 D．2 3．(2023秋•瑶海区期中)如图，为估计校园内池塘边，两点之间的距离，小华在池塘的一侧选取一点，测得m，m，则，两点之间的距离可能是(　B　) A．6m B．18m C．30m D．32m 4．(2023秋•五十中天鹅湖期中)在△中，，． (1)求的取值范围； (2)若△的周长为偶数，求△的周长为多少？ 【解答】解：(1)由题意知，，即； (2)∵，∴的值是6或7或8，∴△的周长为：(舍去)． 或或(舍去)即该三角形的周长是16． 【题型3-2】判断线段能否围成三角形 5．(2023秋•瑶海区期中)有4条线段的长度分别是4cm，7cm，8cm和11cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作__3__个不同的三角形． 【题型3-3】三边关系在等腰三角形中的应用 6．(2023秋•四十五中本部期中)等腰三角形的周长是11，其中一边长为3，则该三角形的底为(　C　) A．3或4 B．5 C．3或5 D．3 7．(2023秋•瑶海区三十八中期中)设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为(　C　) A．15 B．20 C．25 D．20或25 8．(2023秋•包河区期中)在△中，，，． (1)求的取值范围． (2)若△为等腰三角形，求周长． 【解答】解：(1)由题意得：，，故； (2)△为等腰三角形，或，则或， ∵，∴，∴△的周长． 知识点4、三角形按角分类 ， 【题型4-1】按角度对三角形进行分类 9．(2023秋•四十二中期中)一个三角形三个内角的度数之比是2：3：5，则这个三角形一定是(　B　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【题型4-2】直角三角形的判定 10．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)在△中，若，则△是(　B　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 11．(2023秋•五十中西期中)在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定△是直角三角形的条件有(　C　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．(2023秋•五十中天鹅湖期中)给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是(　C　) A． B． C． D． 知识点5、三角形内角和 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°； 直角三角形内的两个锐角之间的关系是互余．等边三角形的每个内角度数均为60°； 【题型5-1】根据内角和180°求角度 13．(2023秋•包河区期中)在△中，∠，∠，则∠__100°__． 14．(2023秋•四十五中本部期中)三角形中，三个内角的比为1：2：6，则该三角形最大的外角为(　C　) A．108° B．120° C．160° D．162° 15．(2023秋•五十中天鹅湖期中)如图，在△中，∠，∠，是边上一点，若△为直角三角形，则∠的度数为(　C　) A．25° B．35° C．25°或50° D．25°或35° 16．(2023秋•四十五中橡树湾期中)如图，是上一点，是上一点，，相交于点，∠，∠，∠，求∠和∠的度数． 【解答】解：在△中，∵∠，∠，∴∠； 在△BDF中，∠． 【题型5-2】三角板问题 17．(2023秋•五十中西期中)如图是一副三角尺拼成的图案，则∠的度数为(　B　) A．60° B．75° C．90° D．105° 18．(2023秋•五十中东期中)一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于(　A　) A．105° B．115° C．120° D．135° 【题型5-3】“内角和180°”+“平行”求角度 19．(2023秋•四十五中橡树湾期中)如图，，且∠，∠，则∠等于(　D　) A．40° B．32° C．24° D．16° 知识点6、三角形中几条重要线段 1.三角形的角平分线 三角形一个内角的角平分线与这个角的对边相交，以这个角的顶点和交点点之间的线段叫做三角形的角平分线．①三角形的角平分线有3条，均处在三角形内侧； 2.三角形的中线及重心 (1)定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的连线叫做三角形这一边上的中线． ②结论：三角形的中线都把三角形分成两个面积相等的三角形． 3.三角形的高 (1)定义：从三角形一个顶点到它对边所在的直线的垂线段叫做三角形这一边上的高． ②锐角三角形的高线交点在三角形的内部，直角三角形的高线交点是直角顶点，钝角三角形的高线在三角形的外部． 【题型6-1】已知角平分线分角求角度 20．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图，在△中，∠，∠，△的角平分线，则∠的度数为(　C　) A．40° B．45° C．73° D．85° 21．(2023秋•包河区期中)如图，、都是△的角平分线，且∠，则∠(　D　) A．50° B．60° C．70° D．80° 22．(2023秋•四十二中期中)如图，在△中，是∠的平分线，且∠∠，∠． (1)求△各内角的度数； (2)求∠的度数． 【解答】解：(1)∵是∠的平分线，∠∠， ∴∠，∴∠， ∵∠，∴∠，∴∠， ∴∠，∠， (2)由(1)可知：∠，∵∠，∴∠． 【题型6-2】中线分隔三角形面积问题 23．(2023秋•五十中东期中)如图，在△中，点、、分别为边、、的中点，且，则__1__． 24．(2023秋•五十中天鹅湖期中)如图，已知△中，是边上的中线，为的中点，若△的面积为8，则△的面积为__16__． 25．(2023秋•四十二中期中)如图，三角形的面积为1，，是的中点，与相交于点，那么四边形的面积为____． 26．(2023秋•包河区期中)如图，是△的中线，是△的中线，于点．若，，则长为__3__． 【题型6-3】中线分割三角形周长问题 27．(2023秋•瑶海区期中)如图，在△中()，，边上的中线把△的周长分成70和50两部分，求和的长． 【解答】解：设，则， ∵边上的中线把△的周长分成70和50两部分，， ①当，时，，解得：， ∴，， ∴，∴，满足条件 ∵，满足三边关系，∴，； ②当，时，，解得：， ∴，∴，， ∵，∴不满足三角形的三边关系，∴不合题意，舍去，∴，． 28．(2023秋•四十五中橡树湾期中)在等腰△中，，边上的中线把△的周长分为15和17两部分． (1)求和的长； (2)若，且点到边的距离为4，求点到边的距离． 【解答】解：(1)∵，边上的中线把△的周长分为15和17两部分 ∴当时，解得，∴底边， ∵10，10，12能构成三角形，∴和的长分别为10，12； 当时，解得， ∴底边，∵，，能构成三角形， ∴和的长分别为，；综上，的长为10或，的长为12或； (2)如图，过点作于点，于点， ∵，∴，， ∵是△的中线，∴，∴， ∵点到边的距离为4，∴点到边的距离． 【题型6-4】三角形高线的识别 29．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图，在△中，边上的高为(　A　) A． B． C． D． 【题型6-5】已知与高线夹角，原三角形分钝角三角形、锐角三角形两类讨论 30．(2023秋•四十五中橡树湾期中)在△中，∠，为边上的高，若∠，则∠的度数为__40°或60°__． 【题型6-6】三角形综合求角度 31．(2023秋•四十五中本部期中)如图，在△中，平分∠，于点．∠的角平分线所在直线与射线相交于点，若∠，且，则∠的度数为(　C　) A．50° B．55° C．60° D．65° 【题型6-7】已知高线与角平分线求角度 32．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图，在△中，∠，∠．若是△的高，与角平分线相交于点，则∠的度数为(　A　) A．130° B．70° C．110 D．100° 33．(9分)已知：如图，△中，、分别是△的高和角平分线，是∠的平分线，与交于，若∠，∠，求∠、∠的度数． 【解答】解：①在△中，∵∠，∠，∴∠． ∵是的角平分线，∴∠∠． ∵是△的高，∴∠ ∴在△ADC中，∠， ∴∠． ②∵是∠的平分线，∠，∴∠∠， 又∵∠，∴∠，∴∠，∴∠． 【题型6-8】已知高线与中线求面积 34．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图所示，已知，分别是△的高和中线，cm，4cm，5cm，∠． (1)求的长． (2)求△的面积． 【解答】解：(1)∵∠，是边上的高，∴，∴，(cm)， 答：AD的长度为cm； (2)如图，∵△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，∴， 又∵是边的中线，∴． 答：． 35．(2023秋•五十中西期中)如图，在△中，，分别是边上的中线和高，，，则CD的长是__4__cm. 【题型6-9】三角形重要线段作图 36．(2023秋•瑶海区期中)在△中作边上的高，下列画法正确的是(　C　) A． B． C． D． 37．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出△中边上的高； (2)画出△中边上的中线； (3)直接写出△的面积为__4__． 【解答】解：(1)如图所示，线段即为所求； (2)如图所示，线段即为所求； (3)．∴△的面积，故答案为：4． 38．(2023秋•四十五中本部期中)如图，△中，，是△的两条高，，． (1)请画出，； (2)若，求的长． 【解答】解：(1)如图，(2)∵，∴，∴． 知识点7、命题与证明 1.命题定义：可以对一件事情做出判断的语句或叫做命题． ①命题只是对事情进行判断，判断的结果可能是正确的，也可能是错误的。 ②命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语， ③命题必须具有判断作用，要对事件作出肯定或否定的判断. ④命题不能是一个所使句、疑问句、感叹句或表示画图的语句。 2.真命题：如果条件成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题. 3.假命题：条件成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。 4.命题的结构： 命题由__条件__和__结论__两部分组成，条件是已知事项(已知条件)，结论是由已知事项推出的事项(结论). 5.命题表达形式：“如果……那么……”或“若……则……”。 6.命题的简化形式：有些命题的条件和结论不明显，要经过分析才能找出条件和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式. 7.逆命题：将命题“如果，那么”的__条件__和__结论__互换，便得到一个新命题“__如果，那么__”，我们把这样的两个命题称为__互为逆命题__，其中一个叫__原命题__，另一个叫原命题的__逆命题__． 注意：互逆命题的真假性之间的关系是__无关的． 8.反例：我们把符合命题的__条件__，但不符合命题的__结论__的例子称为这个命题的一个__反例__．要说明一个命题是假命题，只要举出一个__反例__即可． 9.命题、定理与基本事实的异同： 公理：又叫__基本事实__，是人们从长期实践中总结出来的，而且不需要再做证明的__真命题__； 定理：是指从__基本事实__或其他__真命题__出发，用推理方法证明为__正确__，并被选作判断其他命题的依据； 注意：公理和定理相同点都是__真命题__，但__基本事实__不需要证明，而__定理__需要证明后才能被运用； 10.推理与证明：从一个命题的条件出发，根据定义、基本事实及定理，经过__推理__，得出它的成立，从而判断该命题为__真命题__，这个过程叫做证明． 注意：证明的一般步骤： (1)审题，找出命题的__条件__和__结论__； (2)由题意画出图形，并在图形上标出__数量关系__； (3)用数学语言写出__已知__、__求证__； (4)分析证明的思路，有条理地写出__证明__过程． 【题型7-1】判定一句话是否为命题 【题型7-2】判定一个命题的真假 39．(2023秋•五十中东期中)下列命题中的真命题是(　A　) A．当时， B．相等的角是对顶角 C． D．若，则 40．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)下列命题：①在同一平面内，已知直线、b，若，则；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线，，如果，，那么.其中正确的命题是(　A　) A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④ 41．(2023秋•五十中西期中)下列命题中，错误的是(　D　) A．三角形的外角和等于360° B．三角形两边之和大于第三边 C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 D．三角形的外角大于任何一个内角 42．(2023秋•四十五中橡树湾期中)下列命题中，真命题的个数是(　C　) ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等； ③平行于同一条直线的两直线平行；④若正数a，b满足，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．(2023秋•四十五中本部期中)下列命题中，真命题的个数是(　A　) ①内错角相等；②若函数是关于的一次函数，则的值是； ③三角形的三条高相交于同一点；④在同一平面内，若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7-3】命题的改写 44．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)“对顶角相等”的逆命题是___如果两个角相等，那么这两个角是对顶角___．(用“如果…那么…”的形式写出) 【题型7-4】书写一个命题的逆命题 45．(2023秋•五十中西期中)命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：__两直线平行，同位角相等__． 46．(2023秋•五十中天鹅湖期中)已知命题：“对顶角相等．”写出它的逆命题：__如果两个角相等，那么这两个角是对顶角__． 【题型7-5】列反例证明假命题 47．(2023秋•五十中天鹅湖期中)下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是(　D　) A． B． C． D． 48．(2023秋•四十八中期中)对于命题“若，则”，下面四组关于，的值中，能说明这个命题是假命题的是(　D　) A．， B．， C．， D．， 【题型7-6】定理、推理与证明 49．(2023秋•五十中天鹅湖期中)求证：三角形三个内角的和等于180°． 【解答】已知：△，如图： 求证：∠ 证明：过点作直线， ∵，∴∠，∠(两直线平行，同位角相等)， ∵∠(平角的定义)，∴∠(等量代换)， 即：三角形三个内角的和等于180°． 50．(2023秋•五十中东期中)在△中，∠．现给出以下3个关系：①垂直于，②平分∠，③∠，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 【解答】解：①②⇒③．理由：∵，∴∠， ∴∠，∠，∴∠， ∵平分∠，∴∠∠， ∵∠，∠，∴∠． 课后巩固 1．(2023秋•瑶海区三十八中期中)在平面直角坐标系中，点(，3)所在的象限是(　B　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(2023秋•瑶海区三十八中期中)在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为(　D　) A．(，5) B．(，4) C．(4，) D．(5，) 3．(2023秋•四十八中期中)函数中，的取值范围是(　C　) A． B． C．且 D．且 4．(2023秋•包河区期中)已知一次函数经过点(1，2)，则下列不在该函数图象上的点是(　C　) A．(0，0) B．(，) C．(1，) D．(3，6) 5．(2023秋•五十中西期中)如图，下列的四个图象中，不表示是的函数图象的是(　C　) A． B． C． D． 6．(2023秋•五十中东期中)对于一次函数，下列结论错误的是(　B　) A．函数的值随自变量的增大而减小 B．函数的图象与轴的交点坐标是(0，3) C．函数的图象向下平移3个单位长度得的图象 D．函数的图象不经过第三象限 7．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)一次函数的图象过点(，)，(，)，则和的大小关系是(　C　) A． B． C． D．无法确定 8．(2023秋•四十八中期中)在平面直角坐标系中，将直线沿轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则的值为(　B　) A． B．2 C． D．3 9．(2023秋•四十五中本部期中)若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是(　B　) A． B． C． D． 10．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)正比例函数和一次函数的大致草图是(　B　) A． B． C． D． 11．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为(，4)，(4，2)，直线与线段有交点，则的值不可能是(　B　) A． B． C．3 D．5 12．(2023秋•四十五中本部期中)小芳有两根长度为5cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为(　D　)的木条． A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm 13．(2023秋•四十五中橡树湾期中)下列条件中，能确定△是直角三角形的条件有(　D　) ①∠；②∠；③∠；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．(2023秋•五十中天鹅湖期中)一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数为(　B　) A．10° B．15° C．20° D．25° 15．(2023秋•四十二中期中)已知下列命题：①同位角相等；②有一个内角是直角的三角形是直角三角形；③若，，则，其中逆命题属于假命题的有(　C　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．(2023秋•五十中天鹅湖期中)在△中，∠，、是△的内角平分线且相交于点，则∠__135°__． 17．(2023秋•五十中东期中)函数是关于的一次函数，则____． 18．(2023秋•四十二中期中)若点(，)在轴上，则点的坐标是 __(0，3)__． 19．(2023秋•五十中西期中)如图，一次函数(，为常数，且)的图象经过点(2，1)，则当时，的取值范围是____． 20．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为__24__． 21．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图所示，在△中，已知点，，分别是，，中点，且，则__2__． 22．(2023秋•五十中天鹅湖期中)已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过(，4)，(1，1)． (1)则该一次函数的解析式为____； (2)若直线与线段有公共点，则的取值范围为___或___． 23．(2023秋•四十八中期中)已知点(，)，请分别根据下列条件求出点的坐标： (1)点的坐标为(1，5)，直线轴； (2)点到轴、轴的距离相等． 【解答】解：(1)∵点的坐标为(1，5)，直线轴，∴，且，解得：，故， 则(1，14)． (2)∵点到轴、轴的距离相等，∴或，解得：，， 当时，，，则(，)； 当时，，，则(4，4)． 综上所述：(，)或(，4)． 24．(2023秋•四十五中本部期中)如图，△的顶点(，4)，(，)，(1，1)．若△向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△，且点C的对应点坐标是． (1)画出△，并直接写出点的坐标； (2)求△的面积． 【解答】1)如图，△即为所求，点的坐标(5，)； (2)△的面积． 25．(2023秋•四十五中本部期中)已知与成正比例，且时，． (1)求与的函数关系式； (2)将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【解答】解：(1)设， 把，代入得：，即， 则与函数关系式为，即； (2)将直线向上平移3个单位后得到的直线是：； ∵当时，．当时，， ∴平移后的图象与x轴交点的坐标是(，0)，与轴的交点坐标是(0，5)， 则平移后的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：． 26．(2023秋•瑶海区三十八中期中)有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？ (2)能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由． 【解答】解：(1)设底边长为cm，则腰长为cm，根据题意得，，解得， ∴底边长为3cm. (2)若5cm为底时，腰长cm，三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形， 若5cm为腰时，底边，三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm， ∵，∴不能围成三角形， 综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形． 27．(2023秋•四十二中期中)如图，在△中()，，边上的中线把△的周长分成55和45两部分，求和的长． 【解答】解：设，则，∵是边上的中线，∴， 由题意得：，，解得：，，∴， ∵，∴的长为44，的长为34，答：的长为44，的长为34． 28．(2023秋•四十五中本部期中)如图，在△中，是高，是角平分线，且∠． (1)若∠，∠，求∠，∠的度数； (2)若，直接写出此时∠DAE的度数． 【解答】解：(1)∵∠，∠，∴∠， ∵是角平分线，∴， ∵是高，∴∠， ∵∠，∴∠，∴∠； (2)∵∠，∴∠，∴∠， ∵是角平分线，∴∠， ∵是高，∴∠， ∵∠，∴∠， ∴∠． 29．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量(千瓦时)关于已行驶路程(千米)的函数图象． (1)根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程． (2)当时，求关于的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量． 【解答】解：(1)由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米． 1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米； (2)设，把点(150，35)，(200，10)代入， 得，∴，∴， 当时，， 答：当时，函数表达式为，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习基础过关（知识点、题型梳理） 第11章 平面直角坐标系（共5个知识点，8个题型） 知识点1有序数对： 把有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对，记作(，)． 知识点2、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1.平面直角坐标系： 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系. 2.象限： 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限． 知识点3、点的坐标 在平面直角坐标系中，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 知识点4、点的坐标特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 2.点(，)中，表示__点到轴__的距离；表示__点到轴__的距离. 3.坐标轴上点的坐标特征：轴上的点的___纵坐标均为0___；轴上的点的___横坐标均为0___． 4.象限的角平分线上点坐标的特征 (1)象限角平分线上的点：若(，) ①一三象限角平分线：横纵坐标___相等___，即______；②二四象限角平分线：横纵坐标___横纵坐标互为相反数___，即______； 5.平行于坐标轴的直线上的点 (2)坐标轴平行线上的点：若(，)、(，) ①平行于轴，垂直于____轴：纵坐标相等，线段______；②平行轴，垂直于____轴：横坐标相等，线段___||___。简称：“谁相同，垂直谁；垂直谁，谁相同”。 6.关于坐标轴对称的点的坐标特征 (，)关于轴对称的点的坐标为___(，)___；(，)关于轴对称的点的坐标为___(，)___； 【题型4-1】由坐标符号规律确定点的位置 1．(2023秋•五十中西期中)下列各点中位于第二象限的是(　　) A．(2023，1) B．(，1) C．(2023，) D．(，) 2．(2023秋•四十五中本部期中)在平面直角坐标系中，点(，2023)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(2023秋•四十二中期中)平面直角坐标系中，点(，2023)所在象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型4-2】坐标轴上点的坐标特征 4．(2023秋•四十八中期中)已知点(，)在轴上，则的值为____________． 5．(2023秋•四十五中本部期中)在平面直角坐标系中，点的坐标为(，)，若点在轴上，则点的坐标为____________． 【题型4-3】平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 6．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知(，6)，则点的坐标为(　　) A．(，4) B．(，) C．(，5) D．(，4) 7．(2023秋•包河区期中)在平面直角坐标系中，已知点(，)，(3，)． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若线段轴，求的值． 【题型4-4】点的坐标与点到坐标距离的关系 8．(2023秋•包河区期中)点(3，)到轴的距离为____________个单位长度． 9．(2023秋•四十五中橡树湾期中)点(，4)到轴的距离是____________． 10．(2023秋•四十二中期中)若点是第二象限内的点，且点到轴的距离是4，到轴的距离是5，则点的坐标是(　　) A．(，5) B．(4，) C．(，4) D．(5，) 11．(2023秋•五十中东期中)已知(，)，且点到两坐标轴的距离相等，则____________． 12．(2023秋•四十二中期中)已知平面直角坐标系中有一点(，) (1)当为何值时，点到轴的距离为1？ (2)当为何值时，点到轴的距离为2？ 【题型4-5】根据已知点的坐标求其他点的坐标 知识点5、点与图形的坐标变换与面积问题 1.点的平移变换：左右平移横坐标左减右加，上下平移纵坐标上加下减； 2.图形平移变换：左右平移横坐标左减右加，上下平移纵坐标上加下减。 【题型5-1】坐标系中点的平移 13．(2023秋•五十中天鹅湖期中)在平面直角坐标系中，将点(，2)向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的点坐标为(　　) A．(1，) B．(，5) C．(，) D．(，5) 【题型5-2】坐标系中图形的平移规律 14．(2023秋•包河区期中)在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段A′B′，若点(，2)的对应点的坐标为(3，)，那么点(2，4)的对应点的坐标为(　　) A．(，) B．(，6) C．(，10) D．(6，) 【题型5-3】坐标系中图形的面积 15．(2023秋•四十八中期中)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形顶点是网格线的交点的三角形)的顶点，的坐标分别为(，5)，(，3)． (1)请在如图所示的网格内作出轴、轴； (2)求出△的面积； (3)请作出将△先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后的△． 16．(2023秋•五十中天鹅湖期中)如图在平面直角坐标系中，已知(，2)，(2，0)，(3，3)，(，)是△的边上的一点，把△经过平移后得△，点、、的对应点分别为点、、，点的对应点为(，)． (1)直接写出、、F三个点的坐标并画出△； (2)求△的面积． 第12章　一次函数 第一部分　函数初步（共6个知识点，6个题型） 知识点1、函数基本概念 1.常量和变量：在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量． 2.自变量与因变量 3.函数定义：一般地，在某一变化过程中，有两个变量和，如果对于的允许取值范围内的每一个值，都有唯一确定的值与它对应，那么就说是的函数，其中是自变量，是因变量． 4.函数的自变量取值范围 基本思路：使函数关系式有意义，具体如下： (1)函数关系式为整式时，函数自变量取值范围为全体实数；(不可说成“任意实数”) (2)函数关系式含有分式时，要使分式的分母不等于0； (3)函数关系式含有二次开方时，要使被开方数为非负数； (4)函数关系式含有零指数或负指数幂时，幂底数不等于0； (5)实际问题中，自变量取值范围还要与实际意义相符合； 在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分． 5.函数的值 【题型1-1】自变量与因变量的判断 1．(2023秋•瑶海区三十八中期中)腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量和因变量分别是(　　) A．水，食盐水的浓度 B．水，食盐水 C．食盐量，食盐水 D．食盐量，食盐水的浓度 【题型1-2】确定函数自变量的取值范围 2．(2023秋•四十二中期中)函数中自变量的取值范围是(　　) A．且 B． C． D． 知识点2．列表法、解析法表示函数关系 【题型2】判断关系式是否为表示函数关系 3．(2023秋•瑶海区三十八中期中)下列等式中，，，，其中表示是的函数的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 知识点3、图像法表示函数关系 1.一般来说，对于一个函数，把一个自变量及与之对应的函数值分别作为一个点的横坐标与纵坐标，并在坐标平面内描出相应的点，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 2.描点法画函数图像的一般步骤 第一步：列表：在表格内，在自变量取值范围内取值，并求出相应的_函数值； 第二步：描点：以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，在坐标平面内描出表格中数值对应的点； 第三步：连线：按照自左向右的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来． 【题型3】判断一个点是否在函数图像上 4．(2023秋•四十五中本部期中)已知正比例函数，当时，，则下列各点在该函数图象上的是(　　) A．(，) B．(，3) C．(3，1) D．(，1) 5．(2023秋•瑶海区三十八中期中)一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是(　　) A．(1，1) B．(，3) C．(0，) D．(3，) 知识点4、用图像表示函数关系(函数图像越陡峭表示因变量变化越快) 【题型4】判断图形是否为函数图像 6．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)下图中表示是函数的图象是(　　) A． B． C． D． 知识点5、函数的值 【题型5】函数的值 7．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)若函数，则当函数值时，自变量的值等于____________． 知识点6、从函数图像中获取信息 审题技巧： 1.了解基本信息：读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义； 2.注意状态变化：读懂每一个点、线段的实际状态； 3.理解内在联系：读懂两个量在变化过程中的相互关系． 第二部分　一次函数图像与性质（共5个知识点，22个题型） 知识点1、一次函数和正比例函数的概念 1.一般地，形如(，是常数且)的函数叫一次函数．特别地，当时，一次函数就成为(是常数且)，这时叫做的正比例函数． 2.正比例函数是一种特殊的一次函数；当关系式(是常数且)成立时，则称与成正比例关系，反之也成立． 【题型1-1】一次函数与正比例函数的识别 1．(2023秋•瑶海区三十八中期中)函数是关于的一次函数，则____________． 【题型1-2】根据正比例关系确定函数表达式 2．(2023秋•四十八中期中)已知与成正比例，且当时． (1)求与之间的函数解析式； (2)若点(，)在这个函数的图象上，求的值． 3．(2023秋•四十五中橡树湾期中)已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的取值范围． 知识点2、一次函数的图像与性质 增减性 示意图 经过象限 ，自左向右上升； 随增大而增大． 简称：大大，小小 当时，图像必经过第一、三象限 当时，必经过第一、二象限； 合：函数图像经过第一、二、三象限 当时，必经过第三、四象限； 合：函数图像经过第一、三、四象限 ，自左向右下降； 随增大而减小． 简称：大小，小大 当时，图像必经过第二、四象限 当时，必经过第一、二象限； 合：函数图像经过第一、二、四象限 1.正比例函数过定点：(0，0)、(1，)； 2.系数的几何意义：反映直线的倾斜程度，称为斜率；越大，图像越陡峭；越小，图像越平缓． 3.常数，反映直线与轴交点纵坐标，叫做截距． 4.两条直线相互平行，一次项系数不变；当两直线系数相等时，两条直线平行； 5.一次函数平移规律：左右平移，对左加右减；上下平移，对上加下减 【题型2-1】一次函数与坐标轴的交点 4．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)已知直线与直线相交于轴上一点，则____________． 【题型2-2】一次函数的图像与性质 5．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)对于一次函数，下列结论错误的是(　　) A．函数的值随自变量的增大而减小 B．函数的图象向上平移3个单位长度得的图象 C．函数图象在轴上的截距是 D．函数的图象与轴的交点坐标是(0，) 6．(2023秋•瑶海区三十八中期中)已知定点(，)，(，)(其中)在直线上，若，则下列结论一定正确的是：①是正比例函数；②是一次函数；③是一次函数；④函数中随的增大而减小．(　　) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 7．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)对于一次函数，下列说法不正确的是(　　) A．图象与的图象平行 B．图象不经过第三象限 C．图象与坐标轴围成的面积是2 D．当时， 【题型2-3】根据一次函数系数正负与经过象限解题 8．(2023秋•四十五中本部期中)已知一次函数的图象不经过第三象限，则正整数的值为_____． 【题型2-4】先利用k或经过象限判断增减性再比较函数值大小 9．(2023秋•四十五中本部期中)已知直线经过点(，)，(，)，(3，)，则，，的大小关系是(　　) A． B． C． D． 10．(2023秋•五十中东期中)若点(，)，点(1，)，点(3，1)都在一次函数的图象上，则与的大小关系是(　　) A． B． C． D．无法确定 【题型2-5】根据函数增减性定义确定代数式的值特征 11．(2023秋•五十中天鹅湖期中)若(，)，(，)分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则P为(　　) A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【题型2-6】根据函数增减性在自变量范围内求函数最值 12．(2023秋•四十五中橡树湾期中)已知过点(2，3)的直线不经过第四象限．设，则(　　) A．S有最大值 B．S有最小值 C．S有最大值6 D．S有最小值6 【题型2-7】一次函数图象的平移 13．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)一次函数的图象，可由函数的图象(　　) A．向左平移2个单位长度而得到 B．向右平移2个单位长度而得到 C．向上平移2个单位长度而得到 D．向下平移2个单位长度而得到 14．(2023秋•包河区期中)已知直线向下平移()个单位后经过点(1，)，则的值为___________． 15．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图，△的顶点坐标分别为(1，0)，(4，0)，(1，4)，将△沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为____________． 【题型2-8】一次函数图象平行，k相等 16．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)已知函数． (1)若函数图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象平行于直线，求的值． 【题型2-9】根据系数特征识别函数图象 17．(2023秋•五十中西期中)若实数，，满足，且，则函数的图象可能是(　　) A． B． C． D． 18．(2023秋•四十二中期中)在平面直角坐标系中，已知函数的图象过点(2，1)，则该函数的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【题型2-10】一次函数图形共存问题 19．(2023秋•五十中东期中)正比例函数和一次函数的大致草图是(　　) A． B． C． D． 20．(2023秋•四十五中橡树湾期中)一次函数与，在同一平面直角坐标系的图象不可能是(　　) A． B． C． D． 21．(2023秋•瑶海区期中)一次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　) A． B． C． D． 【题型2-11】一次函数过定点问题 22．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)直线恒过一定点，则该点的坐标是____________．平面直角坐标系中有三点(，0)，(2，3)，(5，0)，若该直线将△分成左右面积之比为1：2的两部分，则的值是____________． 【题型2-12】一次函数交点问题 23．(2023秋•四十二中期中)已知直线与轴的交点在(1，0)，(4，0)之间(包括，两点)，则的取值范围(　　) A． B． C． D． 24．(2023秋•五十中西期中)如图，在平面直角坐标系中，(，2)，(3，5)，直线与线段有公共点． (1)直线一定经过的定点是____________； (2)的取值范围是________________________． 知识点3、确定一次函数关系式 待定系数法具体步骤： ①设：根据已知条件写出含有、的函数解析式； ②代：将，的对应值或将图象上的点的坐标代入所设函数解析式中，得到关于待定系数的方程； ③解：解关于待定系数的方程组，求出未知待定系数的值； ④定：将求出的待定系数代入所设函数解析式中； 【题型3-1】已知过两点坐标确定一次函数的表达式 25．(2023秋•四十五中橡树湾期中)已知一次函数的图象过(3，5)和(，)两点． (1)求此一次函数的解析式； (2)试判断点(1，)是否在此一次函数的图象上． 26．(2023秋•四十二中期中)已知是的一次函数，当时，，当时，，求： (1)这个一次函数的解析式； (2)画出该函数的图象． 【题型3-2】根据图象信息确定一次函数表达式 27．(2023秋•四十五中本部期中)已知直线在轴上的截距为，且与直线：平行． (1)求直线的函数表达式； (2)求直线与轴交点坐标，并画出其函数图象． 【题型3-3】根据几个函数之间的关系确定一次函数表达式 28．(2023秋•四十五中本部期中)如图，直线的函数表达式为，直线与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过点，如图所示，直线，交于点(，2)． (1)求点的坐标和直线的函数表达式； (2)利用函数图象直接写出关于的不等式的解集． 【题型3-4】已知一次函数自变量取值范围与函数值范围分类讨论一次函数表达式 29．(2023秋•四十二中期中)对于一次函数，当时，，则一次函数的解析式为____________________________________． 知识点4、一次函数应用 【题型4】一次函数实际应用 30．(2023秋•瑶海区期中)甲、乙两人准备在一段长为1200m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100m处，两人同时同向起跑． (1)两人出发后___________s乙追上甲； (2)从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离(m)与时间(s)的函数关系为__________________． 31．(2023秋•包河区期中)在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力(N)和所悬挂物体的重力(N)的几组数据用电脑绘制成如图象(不计绳重和摩擦)，请你根据图象判断以下结论正确的序号有(　　) ①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力N时，拉力N； ③拉力与重力成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为N． A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 第31题图 第32题图 32．(2023秋•瑶海区三十八中期中)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，水驽马日行一百五十里．弩马先行一十二日，问良马几何日追及之．”这个问题指的是现有良马和弩马各一匹，良马每天行走240里，弩马每天行走150里，弩马先走12天，然后良马再出发，则良马几天可以追上弩马？如图是两匹马行走路程关于行走时间的函数图象，则两图象交点的坐标是_______________． 33．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm. (1)观察图形，填写下表： 链条节数/(节) 2 3 4 … 链条长度/(cm) 4.2 … (2)请你写出与之间的关系式； (3)如果一辆自行车上安装的链条共有60节，那么链条的总长度是多少？ 知识点5、一次函数与一元一次方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程的关系 ①一次函数代入或的值后，形式上就变成了关于或的一元一次方程； ②从函数图像角度看，方程的解是直线与轴交点的横坐标，反之亦然． 2.一元一次方程与一元一次不等式的关系 从函数图象角度看： 不等式的解集为一次函数在轴上方部分图象所对应的的取值范围； 不等式的解集为一次函数在轴下方部分图象所对应的的取值范围． 3.(，且)的解集； 即：的函数值大于的函数值时的自变量取值范围； 即：直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【题型5-1】根据一次函数图像与横轴交点求解不等式 34．(2023秋•五十中天鹅湖期中)函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为___________． 第34题图 第35题图 第37题图 35．(2023秋•瑶海区三十八中期中)若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为(　　) A． B． C． D． 【题型5-2】根据两个函数图像相交求解不等式 36．(2023秋•五十中东期中)已知直线与直线的交点坐标为(，)，则不等式组的解集为(　　) A． B． C． D． 37．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤.所有正确结论的序号为(　　) A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤ 38．(2023秋•瑶海区期中)如图，已知直线经过点(5，0)，(1，4)，直线与该直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)求两直线交点的坐标；(3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【题型5-3】根据不等关系获取函数系数特征 【题型5-4】图像法解方程、不等式 39．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图，已知两个一次函数和的图象交于A点． (1)求点的坐标； (2)观察图象：当时，比较，的大小． 40．(2023秋•五十中西期中)画出函数的图象，结合图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 第三部分　一次函数与方程组（共3个知识点，3个题型） 知识点1、一次函数与二元一次方程的关系 一次函数的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的解； 以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上． 知识点2、一次函数与二元一次方程组的关系 在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反之亦成立． 用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法．一般步骤： ①转化成对应的一次函数形式；②作一次函数图象；③找交点；④下结论。 【题型1-1】根据函数的交点坐标确定方程组的解 1．(2023秋•四十五中橡树湾期中)一次函数与的图象相交于如图点(，4)，则关于，的二元一次方程组的解是(　　) A． B． C．{ D． 【题型1-2】根据方程组的解与函数交点的关系判断函数图象 2．(2023秋•五十中天鹅湖期中)如图，一次函数与的图象相交于点，则函数的图象可能是(　　) A．B．C．D． 【题型1-3】根据直线交点特征求参数取值范围 3．(2023秋•瑶海区期中)若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是(　　) A． B． C．或 D． 知识点3、二元一次方程解的情况 二元一次方程组的解与(两直线：和：的位置关系)有如下联系: 1.当时，二元一次方程组有唯一解(两直线相交)； 2.当且时，二元一次方程组有无数解(两直线重合)； 3.当且时，二元一次方程组无解(两直线平行) 第13章　三角形三边关系、命题与证明（共7个知识点，23个题型） 知识点1、三角形的有关概念 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形； 2.构成：①组成三角形的三条线段叫做三角形边；②相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；③相邻两边的夹角叫做三角形的角． 3.表示：三角形用符号“△”表示，顶点为、、的三角形记作△，读作“三角形”，注意单独的△没有 知识点2、三角形按边分类 , 知识点3、三角形三边关系 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边的之差小于第三边． 2.三边关系的应用： (1)当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围； (2)证明线段之间的不等关系； (3)绝对值化简； (4)判断三条线段能否组成三角形，使用方法： ①当三条线端两两不相等，两条较短线段长度和大于第三条线段时，可构成三角形； ②当有两条线段相等，两条相等的线段之和大于第三条线段时，可构成三角形； ③当三条线段相等时，必能够成三角形． 【题型3-1】求三角形第三边取值范围 1．(2023秋•五十中西期中)三条长度为3cm，，6cm的线段首尾相接，恰好能组成一个三角形，则的取值有可能是(　　) A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm 2．(2023秋•四十二中期中)若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(　　) A．14 B．10 C．3 D．2 3．(2023秋•瑶海区期中)如图，为估计校园内池塘边，两点之间的距离，小华在池塘的一侧选取一点，测得m，m，则，两点之间的距离可能是(　　) A．6m B．18m C．30m D．32m 4．(2023秋•五十中天鹅湖期中)在△中，，． (1)求的取值范围； (2)若△的周长为偶数，求△的周长为多少？ 【题型3-2】判断线段能否围成三角形 5．(2023秋•瑶海区期中)有4条线段的长度分别是4cm，7cm，8cm和11cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作___________个不同的三角形． 【题型3-3】三边关系在等腰三角形中的应用 6．(2023秋•四十五中本部期中)等腰三角形的周长是11，其中一边长为3，则该三角形的底为(　　) A．3或4 B．5 C．3或5 D．3 7．(2023秋•瑶海区三十八中期中)设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为(　　) A．15 B．20 C．25 D．20或25 8．(2023秋•包河区期中)在△中，，，． (1)求的取值范围． (2)若△为等腰三角形，求周长． 知识点4、三角形按角分类 ， 【题型4-1】按角度对三角形进行分类 9．(2023秋•四十二中期中)一个三角形三个内角的度数之比是2：3：5，则这个三角形一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【题型4-2】直角三角形的判定 10．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)在△中，若，则△是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 11．(2023秋•五十中西期中)在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定△是直角三角形的条件有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．(2023秋•五十中天鹅湖期中)给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是(　　) A． B． C． D． 知识点5、三角形内角和 内角和定理：三角形三个内角的和等于__180°__； 直角三角形内的两个锐角之间的关系是__互余__．等边三角形的每个内角度数均为__60°__； 【题型5-1】根据内角和180°求角度 13．(2023秋•包河区期中)在△中，∠，∠，则∠____________． 14．(2023秋•四十五中本部期中)三角形中，三个内角的比为1：2：6，则该三角形最大的外角为(　　) A．108° B．120° C．160° D．162° 15．(2023秋•五十中天鹅湖期中)如图，在△中，∠，∠，是边上一点，若△为直角三角形，则∠的度数为(　　) A．25° B．35° C．25°或50° D．25°或35° 16．(2023秋•四十五中橡树湾期中)如图，是上一点，是上一点，，相交于点，∠，∠，∠，求∠和∠的度数． 【题型5-2】三角板问题 17．(2023秋•五十中西期中)如图是一副三角尺拼成的图案，则∠的度数为(　　) A．60° B．75° C．90° D．105° 第17题图 第18题图 第19题图 18．(2023秋•五十中东期中)一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于(　　) A．105° B．115° C．120° D．135° 【题型5-3】“内角和180°”+“平行”求角度 19．(2023秋•四十五中橡树湾期中)如图，，且∠，∠，则∠等于(　　) A．40° B．32° C．24° D．16° 知识点6、三角形中几条重要线段 1.三角形的角平分线 三角形一个内角的__角平分线__与这个角的对边相交，以这个角的__顶__点和__交点__点之间的__线段__叫做三角形的角平分线．①三角形的角平分线有__3__条，均处在三角形__内__侧； 2.三角形的中线及重心 (1)定义：连接三角形的一个顶点和它对边__中点__的__连线__叫做三角形这一边上的中线． ②结论：三角形的中线都把三角形分成两个__面积相等__的三角形． 3.三角形的高 (1)定义：从三角形一个顶点到它对边所在的直线的__垂线段__叫做三角形这一边上的高． ②锐角三角形的高线交点在三角形的__内部__，直角三角形的高线交点是__直角顶点__，钝角三角形的高线在三角形的__外部__． 【题型6-1】已知角平分线分角求角度 20．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图，在△中，∠，∠，△的角平分线，则∠的度数为(　　) A．40° B．45° C．73° D．85° 第20题图 第21题图 21．(2023秋•包河区期中)如图，、都是△的角平分线，且∠，则∠(　　) A．50° B．60° C．70° D．80° 22．(2023秋•四十二中期中)如图，在△中，是∠的平分线，且∠∠，∠． (1)求△各内角的度数； (2)求∠的度数． 【题型6-2】中线分隔三角形面积问题 23．(2023秋•五十中东期中)如图，在△中，点、、分别为边、、的中点，且，则___________． 第23题图 第24题图 第25题图 第26题图 24．(2023秋•五十中天鹅湖期中)如图，已知△中，是边上的中线，为的中点，若△的面积为8，则△的面积为___________． 25．(2023秋•四十二中期中)如图，三角形的面积为1，，是的中点，与相交于点，那么四边形的面积为___________． 26．(2023秋•包河区期中)如图，是△的中线，是△的中线，于点．若，，则长为___________． 【题型6-3】中线分割三角形周长问题 27．(2023秋•瑶海区期中)如图，在△中()，，边上的中线把△的周长分成70和50两部分，求和的长． 28．(2023秋•四十五中橡树湾期中)在等腰△中，，边上的中线把△的周长分为15和17两部分． (1)求和的长； (2)若，且点到边的距离为4，求点到边的距离． 【题型6-4】三角形高线的识别 29．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图，在△中，边上的高为(　　) A． B． C． D． 【题型6-5】已知与高线夹角，原三角形分钝角三角形、锐角三角形两类讨论 30．(2023秋•四十五中橡树湾期中)在△中，∠，为边上的高，若∠，则∠的度数为__________________． 【题型6-6】三角形综合求角度 31．(2023秋•四十五中本部期中)如图，在△中，平分∠，于点．∠的角平分线所在直线与射线相交于点，若∠，且，则∠的度数为(　　) A．50° B．55° C．60° D．65° 第29题图 第31题图 第32题图 【题型6-7】已知高线与角平分线求角度 32．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图，在△中，∠，∠．若是△的高，与角平分线相交于点，则∠的度数为(　　) A．130° B．70° C．110 D．100° 33．(9分)已知：如图，△中，、分别是△的高和角平分线，是∠的平分线，与交于，若∠，∠，求∠、∠的度数． 【题型6-8】已知高线与中线求面积 34．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图所示，已知，分别是△的高和中线，cm，4cm，5cm，∠． (1)求的长． (2)求△的面积． 35．(2023秋•五十中西期中)如图，在△中，，分别是边上的中线和高，，，则CD的长是___________cm. 【题型6-9】三角形重要线段作图 36．(2023秋•瑶海区期中)在△中作边上的高，下列画法正确的是(　　) A． B． C． D． 37．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出△中边上的高； (2)画出△中边上的中线； (3)直接写出△的面积为___________． 38．(2023秋•四十五中本部期中)如图，△中，，是△的两条高，，． (1)请画出，； (2)若，求的长． 知识点7、命题与证明 1.命题定义：可以对一件事情做出判断的语句或叫做命题． ①命题只是对事情进行判断，判断的结果可能是正确的，也可能是错误的。 ②命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语， ③命题必须具有判断作用，要对事件作出肯定或否定的判断. ④命题不能是一个所使句、疑问句、感叹句或表示画图的语句。 2.真命题：如果条件成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题. 3.假命题：条件成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。 4.命题的结构： 命题由__条件__和__结论__两部分组成，条件是已知事项(已知条件)，结论是由已知事项推出的事项(结论). 5.命题表达形式：“如果……那么……”或“若……则……”。 6.命题的简化形式：有些命题的条件和结论不明显，要经过分析才能找出条件和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式. 7.逆命题：将命题“如果，那么”的__条件__和__结论__互换，便得到一个新命题“__如果，那么__”，我们把这样的两个命题称为__互为逆命题__，其中一个叫__原命题__，另一个叫原命题的__逆命题__． 注意：互逆命题的真假性之间的关系是__无关的． 8.反例：我们把符合命题的__条件__，但不符合命题的__结论__的例子称为这个命题的一个__反例__．要说明一个命题是假命题，只要举出一个__反例__即可． 9.命题、定理与基本事实的异同： 公理：又叫__基本事实__，是人们从长期实践中总结出来的，而且不需要再做证明的__真命题__； 定理：是指从__基本事实__或其他__真命题__出发，用推理方法证明为__正确__，并被选作判断其他命题的依据； 注意：公理和定理相同点都是__真命题__，但__基本事实__不需要证明，而__定理__需要证明后才能被运用； 10.推理与证明：从一个命题的条件出发，根据定义、基本事实及定理，经过__推理__，得出它的成立，从而判断该命题为__真命题__，这个过程叫做证明． 注意：证明的一般步骤： (1)审题，找出命题的__条件__和__结论__； (2)由题意画出图形，并在图形上标出__数量关系__； (3)用数学语言写出__已知__、__求证__； (4)分析证明的思路，有条理地写出__证明__过程． 【题型7-1】判定一句话是否为命题 【题型7-2】判定一个命题的真假 39．(2023秋•五十中东期中)下列命题中的真命题是(　　) A．当时， B．相等的角是对顶角 C． D．若，则 40．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)下列命题：①在同一平面内，已知直线、b，若，则；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知直线，，如果，，那么.其中正确的命题是(　　) A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④ 41．(2023秋•五十中西期中)下列命题中，错误的是(　　) A．三角形的外角和等于360° B．三角形两边之和大于第三边 C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 D．三角形的外角大于任何一个内角 42．(2023秋•四十五中橡树湾期中)下列命题中，真命题的个数是(　　) ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等； ③平行于同一条直线的两直线平行；④若正数a，b满足，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．(2023秋•四十五中本部期中)下列命题中，真命题的个数是(　　) ①内错角相等；②若函数是关于的一次函数，则的值是； ③三角形的三条高相交于同一点；④在同一平面内，若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7-3】命题的改写 44．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)“对顶角相等”的逆命题是_________________________________________________________．(用“如果…那么…”的形式写出) 【题型7-4】书写一个命题的逆命题 45．(2023秋•五十中西期中)命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：________________________________________________． 46．(2023秋•五十中天鹅湖期中)已知命题：“对顶角相等．”写出它的逆命题：_____________________________________． 【题型7-5】列反例证明假命题 47．(2023秋•五十中天鹅湖期中)下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是(　　) A． B． C． D． 48．(2023秋•四十八中期中)对于命题“若，则”，下面四组关于，的值中，能说明这个命题是假命题的是(　　) A．， B．， C．， D．， 【题型7-6】定理、推理与证明 49．(2023秋•五十中天鹅湖期中)求证：三角形三个内角的和等于180°． 50．(2023秋•五十中东期中)在△中，∠．现给出以下3个关系：①垂直于，②平分∠，③∠，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 课后巩固 1．(2023秋•瑶海区三十八中期中)在平面直角坐标系中，点(，3)所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(2023秋•瑶海区三十八中期中)在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为5，则点的坐标为(　　) A．(，5) B．(，4) C．(4，) D．(5，) 3．(2023秋•四十八中期中)函数中，的取值范围是(　　) A． B． C．且 D．且 4．(2023秋•包河区期中)已知一次函数经过点(1，2)，则下列不在该函数图象上的点是(　　) A．(0，0) B．(，) C．(1，) D．(3，6) 5．(2023秋•五十中西期中)如图，下列的四个图象中，不表示是的函数图象的是(　　) A． B． C． D． 6．(2023秋•五十中东期中)对于一次函数，下列结论错误的是(　　) A．函数的值随自变量的增大而减小 B．函数的图象与轴的交点坐标是(0，3) C．函数的图象向下平移3个单位长度得的图象 D．函数的图象不经过第三象限 7．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)一次函数的图象过点(，)，(，)，则和的大小关系是(　　) A． B． C． D．无法确定 8．(2023秋•四十八中期中)在平面直角坐标系中，将直线沿轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则的值为(　　) A． B．2 C． D．3 9．(2023秋•四十五中本部期中)若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是(　　) A． B． C． D． 10．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)正比例函数和一次函数的大致草图是(　　) A． B． C． D． 11．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为(，4)，(4，2)，直线与线段有交点，则的值不可能是(　　) A． B． C．3 D．5 第11题图 第14题图 第19题图 12．(2023秋•四十五中本部期中)小芳有两根长度为5cm和10cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为(　　)的木条． A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm 13．(2023秋•四十五中橡树湾期中)下列条件中，能确定△是直角三角形的条件有(　　) ①∠；②∠；③∠；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．(2023秋•五十中天鹅湖期中)一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数为(　　) A．10° B．15° C．20° D．25° 15．(2023秋•四十二中期中)已知下列命题：①同位角相等；②有一个内角是直角的三角形是直角三角形；③若，，则，其中逆命题属于假命题的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．(2023秋•五十中天鹅湖期中)在△中，∠，、是△的内角平分线且相交于点，则∠___________． 17．(2023秋•五十中东期中)函数是关于的一次函数，则___________． 18．(2023秋•四十二中期中)若点(，)在轴上，则点的坐标是___________． 19．(2023秋•五十中西期中)如图，一次函数(，为常数，且)的图象经过点(2，1)，则当时，的取值范围是___________． 20．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为__24__． 21．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图所示，在△中，已知点，，分别是，，中点，且，则__2__． 22．(2023秋•五十中天鹅湖期中)已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过(，4)，(1，1)． (1)则该一次函数的解析式为______________________； (2)若直线与线段有公共点，则的取值范围为______________________． 23．(2023秋•四十八中期中)已知点(，)，请分别根据下列条件求出点的坐标： (1)点的坐标为(1，5)，直线轴； (2)点到轴、轴的距离相等． 24．(2023秋•四十五中本部期中)如图，△的顶点(，4)，(，)，(1，1)．若△向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△，且点C的对应点坐标是． (1)画出△，并直接写出点的坐标； (2)求△的面积． 25．(2023秋•四十五中本部期中)已知与成正比例，且时，． (1)求与的函数关系式； (2)将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 26．(2023秋•瑶海区三十八中期中)有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？ (2)能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由． 27．(2023秋•四十二中期中)如图，在△中()，，边上的中线把△的周长分成55和45两部分，求和的长． 28．(2023秋•四十五中本部期中)如图，在△中，是高，是角平分线，且∠． (1)若∠，∠，求∠，∠的度数； (2)若，直接写出此时∠DAE的度数． 29．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量(千瓦时)关于已行驶路程(千米)的函数图象． (1)根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程． (2)当时，求关于的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量． 学科网（北京）股份有限公司 $$