第14章 整式的乘法与因式分解 章节测试练习卷-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第14章 整式的乘法与因式分解 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列式子运算的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果x2+10x+         =(x+5)2，横线处填(     ) A．5 B．10 C．25 D．±10 5．若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D．或13 6．下列运算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2•a3＝a6 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a10÷a2＝a5 7．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 8．已知xa=2，xb=5，则xa+b等于 （     ） A．7 B．10 C．20 D．50 9．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如果一个多项式可以分解因式得，那么M等于(     ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．分解因式：＝ ． 12．因式分解： ． 13．若多项式与单项式2a2b的积是6a3b﹣a2b2，则该多项式为 ． 14．若，则的值为 ． 15．已知，则= . 16．若，则的值为 ． 17．右图中四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式： ． 18．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“异能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，，则 ；若、为“异能数”，其中，，、，且，，，为整数） 规定：，若能被7整除，且，求的最大值为 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．先化简，再求值：，其中，． 20．如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形．已知半圆形草坪的半径为，长方形草坪的长为． (1)利用因式分解表示草坪的面积； (2)当，时，求草坪的面积．（取3.14） 21．因式分解： （1）15a3＋10a2 （2）3ax2＋6axy＋3ay2 （3）（2x＋y）2﹣（x＋2y）2 22．如图，大正方形的边长比小正方形多2厘米，小正方形的面积比大正方形小32平方厘米．小正方形的面积是多少平方厘米？ 23．如图，某广场是一块长为，宽为的长方形地块，广场中心有一个雕像，现在政府对广场进行改造，计划将雕像四周（阴影部分）进行绿化，已知雕像所占地块是一个边长为的正方形，则绿化的面积是多少平方米？并求出当时的绿化面积． 24．如图为某校七（1）和七（2）两个班级的劳动实践基地，右图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n（）的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分分别表示七（1）和七（2）两个班级的基地面积．若，，求的值． 25．规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么 例如：因为，所以． 规定：，比如： (1)根据上述规定，填空：____________，____________，____________． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：他给出如下的证明：设，则，而，所以，则，即，所以 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式： (3)请你参照（2）的，写出一个成立的等式____________． 26．【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．    例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． (1)【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）． (2)【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形． (3)【拓展迁移】事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把进行因式分解并写出因式分解结果． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 整式的乘法与因式分解 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算 【分析】根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为B． 【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，掌握并灵活运用积的乘方的运算法则是解答本题的关键． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】根据幂的运算性质，可依次判断4个选项的对错. 【详解】根据幂的运算性质：①; ②; ③; ④，可知：，A错；，C错；，D错．故选B． 【点睛】本题考查幂的运算性质，要熟练掌握幂的运算公式. 3．下列式子运算的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、同底数幂的除法运算、积的乘方运算、合并同类项 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方以及完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；         D. ，故该选项不正确，不符合题意；     故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．如果x2+10x+         =(x+5)2，横线处填(     ) A．5 B．10 C．25 D．±10 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【详解】设需要填空的数为A，则原式为：x2+10x+A=（x+5）2． ∴x2+10x+A=x2+10x+25， ∴A=25． 故选C． 5．若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D．或13 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】依据完全平方公式，这里首末两项分别是2m和3的平方，那么中间项为加上或减去2m和3的乘积的2倍． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴＝±2×2m•3， 解得k＝13或-11． 故选D． 【点睛】本题主要考查完全平方式，解决问题的关键是根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解． 6．下列运算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2•a3＝a6 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a10÷a2＝a5 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】根据完全平方公式，同底数幂乘法，平方差公式，同底数幂除法计算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意； B．a2•a3＝a5，故本选项不符合题意； C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意； D．a10÷a2＝a8，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂乘法，平方差公式，同底数幂除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 7．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 8．已知xa=2，xb=5，则xa+b等于 （     ） A．7 B．10 C．20 D．50 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】先逆用同底数幂乘法法则，然后代入运算即可． 【详解】解：xa+b=xaxb=2×5=10． 故选：B 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂乘法法则的逆用是解答本题的关键． 9．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】根据合并同类项法则，单项式乘以单项式，幂的乘方和积的乘方，平方差公式逐个判断即可． 【详解】解：A．和不能合并，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，幂的乘方和积的乘方，平方差公式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 10．如果一个多项式可以分解因式得，那么M等于(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】把展开，找出对应项即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解--提公因式法．提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．分解因式：＝ ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：=， 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键． 12．因式分解： ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，直接运用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．若多项式与单项式2a2b的积是6a3b﹣a2b2，则该多项式为 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】提公因式法进行因式分解，得到两个整式相乘的形式，即可得到结果. 【详解】 ∴ 多项式为 故答案为： 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键，因式分解的常用方法为：提公因式法、公式法． 14．若，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】根据题意先利用完全平方公式对式子进行变形，再整体代入进行运算即可. 【详解】解：∵， ∴. 故答案为：10. 【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式对式子进行变形以及运用整体代换的思想进行分析是解题的关键. 15．已知，则= . 【答案】121 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】先利用配方法得到（x−2）2＋（y＋3）2＝0，再根据非负数的性质得到x,y的值，再把原式因式分解即可求解. 【详解】∵ ∴（x−2）2＋（y＋3）2＝0， ∴x-2=0，y+3=0 解得x=2,y=-3 ∴===121 故填：121. 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是整式完全平方公式的应用. 16．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、已知式子的值，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】根据，，得，时，，进行计算，，把，代入，进行计算即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，时，， ，， ，， ∴把，代入，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值，同底数幂相乘，解题的关键是掌握这些知识点． 17．右图中四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式： ． 【答案】m（a+b+c）=ma+mb+mc（答案不唯一）． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】从两方面计算该图形的面积即可求出该等式． 【详解】解：从整体来计算矩形的面积：m(a+b+c)， 从部分来计算矩形的面积：ma+mb+mc， 所以m(a+b+c)=ma+mb+mc 故答案为m(a+b+c)=ma+mb+mc． 18．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“异能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，，则 ；若、为“异能数”，其中，，、，且，，，为整数） 规定：，若能被7整除，且，求的最大值为 ． 【答案】 / 【知识点】数的整除、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键． 根据新定义列式计算可得；由能被7整除，可得，，，或者，，根据，可得，，或，，而，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ； ， ， 同理， 能被7整除， ， ，，或者，， ， ， ， ， ，或，， ， 当，，，时，最大，最大值为． 故答案为：，． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、整式的加减中的化简求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查整式的化简求值，运用乘法公式，合并同类项，即整式的混合运算进行化简，再代入求值即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 把代入得， 原式． 20．如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形．已知半圆形草坪的半径为，长方形草坪的长为． (1)利用因式分解表示草坪的面积； (2)当，时，求草坪的面积．（取3.14） 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、已知字母的值 ，求代数式的值、用代数式表示式 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，因式分解的含义，正确理解题意列出代数式是解题的关键． （1）根据花坛的面积等于长为l，宽为的长方形面积加上半径为r的圆的面积进行求解即可； （2）根据（1）所求把，代入求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当，时， ∴ 21．因式分解： （1）15a3＋10a2 （2）3ax2＋6axy＋3ay2 （3）（2x＋y）2﹣（x＋2y）2 【答案】（1）5a2（3a＋2）；（2）3a（x＋y）2；（3）3（x＋y）（x﹣y） 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】（1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）原式利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）原式＝5a2（3a＋2）； （2）原式＝3a（x2＋2xy＋y2） ＝3a（x＋y）2； （3）原式＝（2x＋y＋x＋2y）（2x＋y﹣x﹣2y） ＝3（x＋y）（x﹣y）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，具体考查了提公因式法和公式法，对于多项式的因式分解，首先考虑是否有公因式可提，然后再考虑是否能用公式法，要注意：因式分解必须分解到再也不能分解为止，此外，完全平方公式和平方差公式不要用错． 22．如图，大正方形的边长比小正方形多2厘米，小正方形的面积比大正方形小32平方厘米．小正方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】小正方形的面积是49平方厘米 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，完全平方公式的应用，设小正方形的边长为x厘米，则大正方形的边长为厘米，根据小正方形的面积比大正方形小32平方厘米，列出方程利用完全平方公式整理后求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为x厘米，则大正方形的边长为厘米， 根据题意得：，即， 整理得： 解得：， 则（平方厘米） 答：小正方形的面积是49平方厘米． 23．如图，某广场是一块长为，宽为的长方形地块，广场中心有一个雕像，现在政府对广场进行改造，计划将雕像四周（阴影部分）进行绿化，已知雕像所占地块是一个边长为的正方形，则绿化的面积是多少平方米？并求出当时的绿化面积． 【答案】绿化的面积是，当时的绿化面积为． 【知识点】整式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、用代数式表示式 【分析】本题考查了整式的混合运算以及列代数式、求代数式的值，表示出长方形的面积，再表示出正方形的面积，两个面积相减即可得出绿化的面积，再把a，b的值代入即可得出绿化面积，熟记正方形面积和长方形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意，得绿化的面积为 ， 当时， ， 答：绿化的面积是，当时的绿化面积为． 24．如图为某校七（1）和七（2）两个班级的劳动实践基地，右图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n（）的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分分别表示七（1）和七（2）两个班级的基地面积．若，，求的值． 【答案】39 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、平方差公式分解因式 【分析】此题考查了乘法公式和因式分解的应用，根据题意得到，再求出，再根据因式分解得到即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ． ．            ∴           又． ． 答：的值为39． 25．规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么 例如：因为，所以． 规定：，比如： (1)根据上述规定，填空：____________，____________，____________． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：他给出如下的证明：设，则，而，所以，则，即，所以 请你尝试运用这种方法证明下面这个等式： (3)请你参照（2）的，写出一个成立的等式____________． 【答案】(1)3；0； (2)证明见解析 (3)（答案不唯一） 【知识点】新定义下的实数运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，幂的乘方计算： （1）根据新定义进行求解即可； （2）设，则，则由同底数幂乘法计算法则得到，则，据此可证明结论； （3）类似于（2）写出符合题意的式子即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3；0；； （2）证明：设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 26．【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．    例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． (1)【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）． (2)【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形． (3)【拓展迁移】事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把进行因式分解并写出因式分解结果． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】因式分解的应用 【分析】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案； （3）我们可以把看做是一个高为a，底面积为的长方体的体积，只需要仿照题意画出的示意图得到其因式分解的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， ∴图3的面积为， 又∵图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ∴； （2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的， ∴同理可得；    （3）解：观察可知， ∴我们可以把看做是一个高为a，底面积为的长方体的体积， 如下图所示，是由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成的， ∴， ∴．    【点睛】本题考查因式分解的实际运用，借助长方形的面积，把因式分解直观化是解题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$