九年级上学期数学期中模拟试卷01（测试范围：特殊平行四边形、一元二次方程、概率、图形的相似）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷01 试卷满分100分 测试范围：特殊平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似 一、单项选择题(本题共 10 小题，每小题3分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．一元二次方程的一次项系数是　　 A．3 B． C．2 D． 2．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为　　 A． B．1 C． D．0 3．用配方法解方程时，配方后所得的方程　　 A． B． C． D． 4．一元二次方程的两根分别为　　 A． B． C．， D．， 5．一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为　　 A．12 B．18 C．27 D．36 6．某市商品房的均价原为18150元，经过连续两次降价后均价为15000元．设平均每次降价的百分率为，根据题意所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 7．如图，正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接、，若，则　　 A． B． C． D． 8．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　 A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，．若四边形的面积为2，则矩形的面积为　　 A．4 B．6 C．8 D．16 10．如图，在中，，，，过点作，且，连接，是的中点，则的面积为　　 A．50 B． C．51 D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知是关于的一元二次方程，则等于 　　． 12．已知，且，则的值为 　　． 13．如图，△△，，其中，　　． 14．如图，，，，则　　． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，垂足为，交于点，交于点．则的长为 　　． 三、解答题（本大题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图． （1）以原点为位似中心，在第四象限内作出△，使△与的相似比为（点、、的对应点分别为点、、； （2）以原点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到△（点、、的对应点分别为点、、． 18．为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：：很好；：较好；：一般；：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为 　　； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是 　　； （3）请将条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的类和类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 19．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米． （1）矩形的面积为，求出的长． （2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 20．如图，点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点． （1）求证：△△； （2）若，，，求的长． 21．问题提出 如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系； （2）再探究一般情形如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图（3），在和中，，，是常数），点在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系． 22．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点，使，连接，发现了与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请你解答． 如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷01 试卷满分100分 测试范围：特殊平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似 一、单项选择题(本题共 10 小题，每小题3分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．一元二次方程的一次项系数是　　 A．3 B． C．2 D． 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可求解． 【解答】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般形式． 2．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为　　 A． B．1 C． D．0 【分析】将代入原方程，解之即可得出的值． 【解答】解：将代入原方程得：， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 3．用配方法解方程时，配方后所得的方程　　 A． B． C． D． 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 4．一元二次方程的两根分别为　　 A． B． C．， D．， 【分析】利用因式分解法求解可得． 【解答】解：， ， ， 或， 解得，． 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5．一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为　　 A．12 B．18 C．27 D．36 【分析】设盒子中红球的个数为个，根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值． 【解答】解：设盒子中红球的个数为个． 根据题意得， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 所以这个不透明的盒子中红球的个数为27个． 故选：． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 6．某市商品房的均价原为18150元，经过连续两次降价后均价为15000元．设平均每次降价的百分率为，根据题意所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】此题利用基本数量关系：商品原价平均每次降价的百分率）现在的价格，列方程即可． 【解答】解：由题意可列方程是：． 故选：． 【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价平均每次降价的百分率）现在的价格． 7．如图，正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接、，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】连接，证和全等得，，进而可证，则为等腰直角三角形，由此得，则，再根据可得的度数． 【解答】解：连接，如图所示： 四边形为正方形， ，， ， 在和中， ，，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 8．大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【解答】解：设蜡烛火焰的高度是 ， 由相似三角形对应高的比等于相似比得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比． 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，．若四边形的面积为2，则矩形的面积为　　 A．4 B．6 C．8 D．16 【分析】根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而利用平行四边形的性质和矩形的性质解答即可． 【解答】解：四边形是矩形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形面积为2， 矩形的面积， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 10．如图，在中，，，，过点作，且，连接，是的中点，则的面积为　　 A．50 B． C．51 D． 【分析】作交的延长线于点，作于点交的延长线于点，则四边形是矩形，所以，再证明，则，所以，再证明，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：作交的延长线于点，作于点交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、矩形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知是关于的一元二次方程，则等于 　　． 【分析】根据一元二次程的定义得出关于的不等式组，求出的值即可． 【解答】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键． 12．已知，且，则的值为 　12　． 【分析】直接利用已知比例式假设出，，的值，进而利用，得出答案． 【解答】解：， 设，，， ， ， 解得：， 故． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质． 13．如图，△△，，其中，　3　． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【解答】解：， ， △△， ， 解得：， 故答案为：3． 【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 14．如图，，，，则　　． 【分析】利用相似三角形的性质求解． 【解答】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边的比相等，都等于相似比． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，垂足为，交于点，交于点．则的长为 　　． 【分析】根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，设，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式得到，于是得到结论． 【解答】解：在菱形中，，，， ， ， 菱形的面积， ， 设， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【解答】解（1）， ，，， △， ， 解得； （2）， ， ， 或， 解得； 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图． （1）以原点为位似中心，在第四象限内作出△，使△与的相似比为（点、、的对应点分别为点、、； （2）以原点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到△（点、、的对应点分别为点、、． 【分析】（1）把、、的横纵坐标都乘以得到其对应点、、的坐标，然后描出、、，最后顺次连接、、即可； （2）根据旋转方式找到、、对应点、、的位置，然后描出、、，最后顺次连接、、即可． 【解答】解：（1）如图1所示，△即为所求； ； （2）解：如图2所示，△即为所求． 【点评】本题主要考查了作图位似变换，作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 18．为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：：很好；：较好；：一般；：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为 　20　； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是 　　； （3）请将条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的类和类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 【分析】（1）根据等级的人数和所占的百分比即可得出答案； （2）用乘以“不达标”所占的百分比即可得出答案； （3）先求出等级的女生和等级的男生，然后补全统计图即可； （4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）调查的总人数为：（人， 故答案为：20； （2）， 答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是； 故答案为：36； （3）等级的人数有：（人， 等级的女生人数有：（人， 等级的男生人数有：（人， 补全统计图如下： （4）由题意画树形图如下： 从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种． 所以（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米． （1）矩形的面积为，求出的长． （2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设 ，则，根据矩形的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）矩形的面积不能为，假设矩形的面积能为，设 ，则，根据矩形的面积为，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形的面积不能为． 【解答】解：（1）设 ，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为； （2）矩形的面积不能为，理由如下： 假设矩形的面积能为，设 ，则， 根据题意得：， 整理得：， △， 原方程没有实数根， 假设不成立，即矩形的面积不能为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当△时，方程没有实数根”． 20．如图，点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点． （1）求证：△△； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的判定证得结论； （2）证明△△得到求解即可． 【解答】（1）证明：点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点， ，， ， △△； （2）解：四边形是平行四边形，，，， ，， ，， △△， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 21．问题提出 如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系； （2）再探究一般情形如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图（3），在和中，，，是常数），点在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系． 【分析】（1）证明，则为等腰直角三角形，故，进而求解； （2）由（1）知，，再证明，得到为等腰直角三角形，则，即可求解； （3）证明和，得到，则，，进而求解． 【解答】解：（1）如图（2），，， ， ，， ， ，， 而点、重合，故， 而为等腰直角三角形， 故， 则； 即； （2）如图（1），由（1）知，， ，， 过点作交于点， ，， ， ，， ， ，， 故为等腰直角三角形，则， 则， 即； （3）由（2）知，， 而，， 即， ， ， 过点作交于点， 由（2）知，， ， ， 则，， 在中，， 则， 即． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了三角形全等和相似、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中． 22．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点，使，连接，发现了与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请你解答． 如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度． 【分析】（1）延长线段到点，使，连接，可证明，得，，而，所以，则，即可推导出；另一种证明方法是：在上截取，连接，可证明，得，，再证明，则，则； （2）作交的延长线于点，则，所以，则，再证明，得，由，得； （3）由，，求得，，在上取一点，连接，使，则，求得，则，所以，即可求得． 【解答】（1）证明：如图3，延长线段到点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 注：方法不唯一，如： 证明：如图2，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图4，作交的延长线于点，则， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3）解：线段的长度是， 理由：，， ， ，， 在上取一点，连接，使，则， ， ， ， ， ， 线段的长度是． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、类比与转化数学 思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$