26.2.1　二次函数y＝ax²的图象与性质 课件 2024—2025学年华东师大版数学九年级下册

抛物线 y轴 (0，0) 上 低 下 高 小 增大 减小 小 减小 增大 大 4　0 B B ①②③ C D C B D y3>y1>y2 －1 －1 ＜0 2 2 15 15 (3)yE＝yF. 26．2　二次函数的图象与性质 26．2.1　二次函数y＝ax2的图象与性质 1．二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)．当a>0时，开口向上，顶点是它的最低点；当a<0时，开口向下，顶点是它的最高点，|a|越大，开口越小． 2．在二次函数y＝ax2 (a≠0)的图象中，①当a>0，x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y取最小值是0；②当a<0，x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y取最大值是0. 画出二次函数y＝eq \f(1,3)x2的图象，并写出该函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． 【思路分析】根据函数图象的画法画出图象并进行观察． 【自主解答】 【名师支招】画二次函数图象一般最少取七个点，在对称轴两边对应取值． 二次函数y＝eq \f(1,3)x2的图象如图所示． 开口方向向上， 对称轴是y轴， 顶点坐标是(0，0)． 【易错原因】求区间内最值时，忽视对称轴的位置 当－1≤x≤2时，二次函数y＝x2的最大值是　，最小值是　. 【自主解答】 知识点1：二次函数y＝ax2的图象与画法 1．函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为 （ ） A．(1，－2) B．(0，0) C．(0，－2) D．(2，－8) 2．在同一平面直角坐标系中，开口最大的抛物线是 （ ） A．y＝－x2 B．y＝－eq \f(1,3)x2 C．y＝－eq \f(\r(3),3)x2 D．y＝－eq \r(2)x2 3．下列关于二次函数y＝－eq \f(1,6)x2的图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴．其中正确的是①②③ (选填序号)． 解：(1)列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 8 2 0 2 8 … (2)描点； (3)连线，得函数图象如图所示． 4．画出二次函数y＝2x2的图象． 知识点2：二次函数y＝ax2的性质 5．已知抛物线y＝ax2(a>0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式中一定正确的是 （ ） A．y1>0>y2 B．y2>0>y1 C．y1>y2>0 D．y2>y1>0 6．(黑龙江中考)若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点 （ ） A．(4，－2) B．(－4，2) C．(－2，－4) D．(2，4) 7．函数y＝x2 具有的性质是 （ ） A．x为任意实数，y的值总为正数 B．当x的值增大时，y的值也增大 C．它的图象关于y轴对称 D．它的图象在第一、三象限内 8．在同一坐标系中，作函数y＝3x2，y＝－3x2，y＝eq \f(1,3)x2的图象，它们的共同特点是 （ ） A．都是关于x轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 C．都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D．都是关于y轴对称，抛物线开口向下 9．当ab>0时，y＝ax2与y＝ax＋b 的图象大致是 （ ） 10．已知点(－2，y1)，(－1，y2)，(3，y3)都在函数y＝(a2＋1)x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y3>y1>y2. 11．函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点(1，b)． (1)b的值为－1； (2)a＝－1； (3)x＜0时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大． 12．根据下列条件，求a的值或取值范围： (1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝(3a－2)x2有最大值； (3)抛物线y＝(a＋2)x2与抛物线y＝－eq \f(1,2)x2的形状相同． (2)根据题意得3a－2＜0，解得a＜eq \f(2,3). 解：(1)根据题意得a－2＜0，解得a＜2. (3)根据题意得|a＋2|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))， 解得a＝－2.5或－1.5. 13．(于都县月考)如图，在x轴上有A(m，0)，B(n，0)(n＞m＞0)两点，分别过点A，B作x轴的垂线，交抛物线y＝x2于点C，D.直线OC交直线BD于点E，直线OD交AC的延长线于点F，点E，F的纵坐标分别记作yE，yF. 【特例探究】 (1)当m＝1，n＝2时，yE＝2，yF＝2； 当m＝3，n＝5时，yE＝15，yF＝15； 【归纳证明】 (2)对任意m，n(n＞m＞0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想； 解：(2)猜想：yE＝yF. 证明：点A(m，0)，B(n，0)(n＞m＞0)． 由抛物线的表达式知 C(m，m2)，D(n，n2)， 设直线OC的表达式为y＝kx， 代入点C的坐标，得 km＝m2，k＝m即直线OC为y＝mx； 同理，直线OD为y＝nx. ∴E(n，mn)，F(m，mn)，即yE＝yF. 【拓展应用】 (3)若将抛物线y＝x2改为抛物线y＝ax2(a＞0)，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系． $$