第05讲 古典概型(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第05讲 古典概型 1古典概型 (1) 古典概型的特点 有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (2) 古典概型事件的概率 2 概率的基本性质 性质1 对任意事件，都有 性质2 必然事件的概率为，不可能事件的概率为； 性质3 若事件与事件互斥时，则. 性质4 若事件与事件对立事件，则 性质5 如果,那么 性质6 设是一个随机试验中的两个事件，有 【题型1】 简单古典概型的问题 【典题1】 （2022·河南安阳·模拟预测）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·贵州·模拟预测）将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（    ） A． B． C． D． 2（2024·内蒙古呼和浩特·二模）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（    ） A． B． C． D． 3（2024·广东广州·模拟预测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 4（2024·甘肃庆阳·一模）已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为 ；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为 ． 【题型2】 复杂简单古典概型的问题 角度1 与组合有关的古典概型 【典题1】 （2025·广东·模拟预测）一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是 ． 【巩固练习】 1. （2024·青海·一模）从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（    ） A． B． C． D． 2 （2023·江西上饶·模拟预测）某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（   ） A． B． C． D． 3（2024·广东广州·模拟预测）袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是 . 4（2024·江西·一模）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ． 角度2 与排列有关的古典概型 【典题1】 （2024·青海海西·模拟预测）现在六个人并排站成一排，则甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·四川雅安·三模）从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 2（2024·江西·模拟预测）将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 3（2024·湖南衡阳·一模）某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（    ）个人. A． B． C． D． 4（2023·四川·模拟预测）有3位医生、2位护士和1位工作人员一起合影，现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为 . 【题型3】 简单古典概型与其他知识点的交汇问题 角度1 古典概型与统计相结合 【典题1】 2024·四川绵阳·模拟预测）很多人都爱好短视频，为了调查手机用户每天刷短视频的时间，某通讯公司在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性平均每天刷短视频的时间（单位：h）分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. (1)若每天刷短视频超过的用户称为“短视频控”，否则称为“非短视频控”，完成如下列联表，判断是否有的把握认为是否是“短视频控”与性别有关. 短视频控 非短视频控 总计 男性 女性 总计 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)从女性50人中按分层抽样抽出5人，再从5人中随机抽出2人进行进一步交流，被抽到的2人中，既有“短视频控”，又有“非短视频控”的概率. 【巩固练习】 1. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：．整理得到如下频率分布直方图． (1)求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选2人，求这2人成绩不在同一组的概率． 2（2024·四川成都·模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟． 时长 学生人数 50 100 200 125 25 (1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率． 角度2 古典概型与函数相结合 【典题1】 （2025高三·全国·专题练习）已知都是定义在R上的函数，，，，在有穷数列中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·浙江·三模）定义函数集．已知函数，，，．若函数，则在为奇函数的条件下，存在单调递减区间的概率为（    ） A． B． C． D． 2（2025·全国·模拟预测）一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为的函数：，，，．现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是（    ）． A． B． C． D． 3（2024·四川乐山·三模）在区间上任取一个整数，则使函数存在两个不同零点的概率为（    ） A． B． C． D． 4若函数的定义域为D，对任意，，，都有，则称为单射函数．已知集合，且，，则函数是单射函数的概率为 ． 5已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为 . 角度3 古典概型与数列相结合 【典题1】 （2023·浙江温州·二模）若数列满足，则称此数列为“准等差数列”．现从这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是 ． 【巩固练习】 1. （2023·江西鹰潭·一模）斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因n趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项至少有1项是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 2（2024·山东菏泽·一模）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（    ） A． B． C． D． 1（2022·全国·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 2（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 3（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 4（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 5（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 古典概型 1古典概型 (1) 古典概型的特点 有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (2) 古典概型事件的概率 2 概率的基本性质 性质1 对任意事件，都有 性质2 必然事件的概率为，不可能事件的概率为； 性质3 若事件与事件互斥时，则. 性质4 若事件与事件对立事件，则 性质5 如果,那么 性质6 设是一个随机试验中的两个事件，有 【题型1】 简单古典概型的问题 【典题1】 （2022·河南安阳·模拟预测）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹一样多的概率为. 故选：C 【巩固练习】 1. （2024·贵州·模拟预测）将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析求出所有的基本事件，然后由古典概型的计算公式求解即可. 【详解】将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中， 每个盒子中至少放入1个球，则基本事件有：（红1，白红2），（白，红1红2），（红2，白红1）， 则2个红球分别放入不同盒子中包含了（红1，白红2），（红2，白红1）， 所以由古典概型的公式得概率为：. 故选：A 2（2024·内蒙古呼和浩特·二模）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列出所有可能情况种数及对应颜色为一白一黑的情况种数计算即可得. 【详解】设这五个球中白球为，红球分别为、，黑球分别为、， 则从袋中任取两球，有、、、、、、、、 、共十种可能，其中一白一黑有、共两种可能， 所以一白一黑的概率． 故选：B. 3（2024·广东广州·模拟预测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚点数小于3”，事件“第二枚点数大于4”，则与关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【分析】利用古典概型分别求出，由可得解. 【详解】由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件个， 其中事件有，共12个， 事件有，共12个，事件有，共4个基本事件， 所以, 所以，故相互独立， 答选：C 4（2024·甘肃庆阳·一模）已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为 ；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为 ． 【答案】 【分析】由百分位数的概念求解即可；由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将数据从小到大排列为：1，1，2，3，3，5，6，8，共个数， 由于，所以这组数据的第60百分位数为：； 从这组数据中任意抽取2个数据，则样本空间为： ， 共个样本点， 则这2个数据相等的有共个，所以不相等的有个样本点， 所以这2个数据不相等的概率为. 故答案为：； 【题型2】 复杂简单古典概型的问题 角度1 与组合有关的古典概型 【典题1】 （2025·广东·模拟预测）一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是 ． 【答案】 【分析】求解计划是先计算出既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数，再计算从名裁判员中选人的总情况数，最后用前者除以后者得到概率. 【详解】先计算既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数. 因为男裁判员担任主裁判，所以先从名男裁判员中选名作为主裁判，有种选法.后有两种情况. 从名女裁判员中选名作为助理裁判，有种选法. 从名女裁判员中选1名作为助理裁判，和从名男裁判员中选1名作为助理裁判， 有种选法. 根据乘法原理，既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数为种. 再计算从名裁判员中选人的总情况数. 从名裁判员中选人作为裁判，总数为种. 所求概率. 故答案为：. 【巩固练习】 1. （2024·青海·一模）从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出所有可能情况及符合要求的情况即可得. 【详解】从五棱锥的6个顶点中随机选取4个的不同选取方法有种， 其中选取的4个顶点在同一个平面内的不同选取方法有种， 则所求概率． 故选：C. 2 （2023·江西上饶·模拟预测）某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设相应事件，利用组合数求，结合古典概型运算求解. 【详解】设样本空间为，则， 设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A， 则， 所以. 故选：B. 3（2024·广东广州·模拟预测）袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是 . 【答案】 【分析】根据分类加法计数原理，将两张卡片数字之和不为5的分为5种情况有：即可根据组合数求解,结合对立事件的概率公式即可求解. 【详解】根据题意可知：有放回地依次随机抽取四张卡片可得所有情况有种， 任意两张卡片数字之和不为5的情况有： ①1111，2222，3333，4444，都各有1种， ②1112，1122，1222，有种， ③1113，1133，1333，有种， ④2224，2244，2444有种， ⑤3334，3344，3444有种， 故总的情况有， 故有两张卡片数字之和为5的概率是， 故答案为： 4（2024·江西·一模）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ． 【答案】 【分析】记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成，然后可解. 【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675个偶数，1349个奇数， 记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F， 则所有元素之和为奇数的集合B可看成， 显然集合E共有个，集合F共有个， 所以所有元素之和为奇数的集合B共有个， 又集合A的非空子集共有个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将集合分拆成所有偶数组成的集合及所有奇数组成的集合，利用二项式系数的性质求出含有奇数个奇数组成的集合个数. 角度2 与排列有关的古典概型 【典题1】 （2024·青海海西·模拟预测）现在六个人并排站成一排，则甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由6人的全排列，以及插空法及甲乙丙的顺序确定，从而可求甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率. 【详解】6人的全排列有，利用插空法，将余下的三个人全排列， 则将甲、乙、丙三人插入到四个空中且他们的顺序为甲乙丙一种， 又由甲、乙、丙三人的全排列有种， 所以甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的排法有种， 故所求概率为． 故选：B． 【巩固练习】 1. （2024·四川雅安·三模）从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出组成无重复的三位数的个数，再求出是偶数的三位数的个数，根据古典概型求出概率即可. 【详解】因为由1，2，3组成没有重复数字的三位数的个数为；， 由1，2，3组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为：， 所以由1，2，3组成没有重复数字的三位数，从中任取一个为偶数的概率为. 故选：D 2（2024·江西·模拟预测）将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列组合公式结合古典概型的概率公式即可求解． 【详解】将1个0，2个1，2个2随机排成一行，共有种， 其中，2个1不相邻的情况有种， 故所求概率为． 故选：A. 3（2024·湖南衡阳·一模）某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（    ）个人. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分步计数原理及排列，先求得选取个人中生肖均不相同概率，再求出，即可求解. 【详解】已知个生肖，按先后顺序选择个人，每次选中的人有种等概率可能，由分步乘法原理共有种情况， 若选取个人中生肖均不相同，有种可能，故选取个人中生肖均不相同概率， 要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，即， 由于，即随n随n的增大而减小， ，，故至少要选个人， 故选：C. 4（2023·四川·模拟预测）有3位医生、2位护士和1位工作人员一起合影，现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为 . 【答案】/ 【分析】利用捆绑法求出所求事件的排法，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题意，先将2位护士和1位工作人员排成一排，有种排法， 然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，有种分组方法， 然后插人到2位护士和1位工作人员所排成的4个空中的2个空，有种插空方法， 最后交换相邻2位医生的位置有种方法， 所以3位医生中有且只有2位相邻共有种排法， 又6人随机排成一排有种排法，所以所求概率为. 故答案为： 【题型3】 简单古典概型与其他知识点的交汇问题 角度1 古典概型与统计相结合 【典题1】 2024·四川绵阳·模拟预测）很多人都爱好短视频，为了调查手机用户每天刷短视频的时间，某通讯公司在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性平均每天刷短视频的时间（单位：h）分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. (1)若每天刷短视频超过的用户称为“短视频控”，否则称为“非短视频控”，完成如下列联表，判断是否有的把握认为是否是“短视频控”与性别有关. 短视频控 非短视频控 总计 男性 女性 总计 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)从女性50人中按分层抽样抽出5人，再从5人中随机抽出2人进行进一步交流，被抽到的2人中，既有“短视频控”，又有“非短视频控”的概率. 【答案】(1)表格见解析，有的把握认为是否是“矩视频控”与性别有关. (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质得到，然后进行独立性检验即可； （2）根据分层抽样的方法得到被抽到的5人中，短视频控有3人，非短视频控2人，然后利用古典概型求概率的方法计算即可. 【详解】（1）由男性的频率分布直方图，可得， 解得. 男性非短视频控人数为，男性短视频控人数为； 女性非短视频控人数为，女性短视频控人数为， 所以填表如下： 短视频控 非短视频控 总计 男性 38 12 50 女性 30 20 50 总计 68 32 100 所以， 因此有的把握认为是否是“短视频控”与性别有关. （2）由（1）知：被抽到的5人中，短视频控有3人，分别记为，， 非短视频控2人，分别记为，， 则基本事件有，，，，，，，，，共10个 既有“短视频控”，又有“非短视频控”的基本事件：，，，，，共6个 则既有“短视频控”，又有“非短视频控”的概率为. 【巩固练习】 1. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：．整理得到如下频率分布直方图． (1)求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选2人，求这2人成绩不在同一组的概率． 【答案】(1)，平均数为； (2). 【分析】（1）根据频率之和等于1可得，然后由平均数的估算公式可的平均数； （2）求出两组的频率，根据频率比求出每层抽取的人数，然后利用列举法和古典概型概率公式可得. 【详解】（1）由直方图可得， 解得， 平均数为. （2）成绩在内的频率分别为， 则成绩在内抽取的人数分别为人，人， 成绩在内的2人记为，成绩在内的4人记为， 从这6人中任选2人的样本空间 ，所以. 记2人成绩不在同一组为事件A， 则，所以， 所以从这6人中任选2人，这2人成绩不在同一组的概率. 2（2024·四川成都·模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟． 时长 学生人数 50 100 200 125 25 (1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率． 【答案】(1)49； (2). 【分析】（1）利用频率分布表估算平均数即可得解. （2）求出两个指定区间内的人数，利用列举法求出概率. 【详解】（1）依题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 ， 所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49． （2）抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在内有：人，在内有4人， 记内的2人为A，B，记内的4人为， 从这6人中随机选2人的基本事件有： ，共15种， 其中至少有一人每天课外阅读平均时长在的基本事件有，共9种， 设“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在”，则． 角度2 古典概型与函数相结合 【典题1】 （2025高三·全国·专题练习）已知都是定义在R上的函数，，，，在有穷数列中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数分析其单调性结合确定，从而得到，求出其前n项和，由古典概型的概率公式计算即可. 【详解】设，则， 故单调递减，所以． 又，解得， 则数列，其前n项和， 因为，所以，故． 故答案为：B 【巩固练习】 1. （2024·浙江·三模）定义函数集．已知函数，，，．若函数，则在为奇函数的条件下，存在单调递减区间的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据奇偶性的知识找出符合条件的所有函数，然后在这些函数中找出存在单调递减区间的函数，得出答案. 【详解】解析：集合A中的函数为奇函数的有，，， 而有单调递减区间的函数有和，所以概率为. 故选：A． 2（2025·全国·模拟预测）一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为的函数：，，，．现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法列举出所有可能情况，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】因为，是奇函数，，是偶函数，所以在所有的六个组合，，，，，中，有4个奇函数，分别为，，，，所以所求的概率为． 故选：C 【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题. 3（2024·四川乐山·三模）在区间上任取一个整数，则使函数存在两个不同零点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，可求有两个零点的的范围，进而可求概率. 【详解】因为函数存在两个不同零点， 所以有两个不同的根， 所以，解得或， 在区间上任取一个整数，共有16种取法， 能使使函数存在两个不同零点的取法有13种， 所以使函数存在两个不同零点的概率为. 故选：C. 4若函数的定义域为D，对任意，，，都有，则称为单射函数．已知集合，且，，则函数是单射函数的概率为 ． 【答案】/0.32 【分析】对于分类讨论，结合对勾函数的单调性及古典概率计算即可． 【详解】解：当，时，在上单调递减，在上单调递增，不是单射函数． 当，时，在上单调递增，在上单调递减，不是单射函数． 当，或，时，，不是单射函数． 当，时，不是单射函数． 当，时，是单射函数． 当，时，是单射函数． 故是单射函数的概率为． 故答案为： 4已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为 . 【答案】 【分析】根据已知条件联立两函数，解得，结合、的取值，根据古典概型求概率公式即可求解. 【详解】根据已知条件联立，即，整理有：， 因为两函数图象有交点，所以，即， 当时，无解；当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；综上，满足条件的、共对， 又根据已知条件、的所有取值情况为种， 所以两函数图象有交点的概率为. 故答案为： 角度3 古典概型与数列相结合 【典题1】 （2023·浙江温州·二模）若数列满足，则称此数列为“准等差数列”．现从这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是 ． 【答案】 【分析】先列举基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解. 【详解】和为5有2种组合，和为6有2种组合， 和为7有3种组合，和为8有3种组合， 和为9有4种组合，和为10有4种组合， 和为11有5种组合， 和为12有4种组合，和为13有4种组合， 和为14有3种组合，和为15有3种组合， 和为16有2种组合，和为17有2种组合， 所以. 故答案为： 【巩固练习】 1. （2023·江西鹰潭·一模）斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因n趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项至少有1项是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式以及对立事件的概率关系及组合数公式求解即可. 【详解】依题意可知，数列的前10项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 其中偶数有3个， 所以从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项都是偶数的概率为， 所以至少有1项是奇数的概率为. 故选：D. 2（2024·山东菏泽·一模）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分类讨论及通项公式的特点，再利用组合数公式和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可求解. 【详解】为奇数时，前项中有个奇数项，即有个正数， ，，故A错误； 为偶数时，前项中有个奇数项，即有个正数， ， ，，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据数列的通项公式的特点分类讨论，利用组合数和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可. 1（2022·全国·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可. 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 2（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 3（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 4（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 5（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 【答案】 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$