第五章第二节平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示专题讲义-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 　第二节　平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示 一、课标要求 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 二、 命题规律及备考策略 平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及其应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题． 三、知识梳理 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [提醒]　(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线的向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． 2.向量的坐标运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 （2） 向量的加减法 ，， （3） 向量的数乘运算 ，则： （4） 向量的模 ，则的模 （5） 相反向量 已知，则；已知 （6） 单位向量 （7） 向量的平行关系 ，， [常用结论] 1．向量共线的充要条件的两种形式 (1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)； (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为 . 四、课堂考点突破 考点一　平面向量基本定理及应用 题型一 用基底表示向量 [例1]　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4CD，点E在线段CB上，且CE＝2EB.设＝a，＝b，则＝（　　） A.a＋b　　B.a＋b C.a＋b　　D.a＋b [答案]　D [解析]　在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝4CD，则＝. 因为点E在线段CB上，且CE＝2EB，则＝， ＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a， 所以，＝＋＝＋＝a＋＝a＋b. 题型二　利用基底求参数 [例2]　在△ABC中，＝，若P是直线BN上的一点，且满足＝m ＋，则实数m的值为（　　） A.－4　　　 B.－1 C.1　　　　 D.4 [答案]　B [解析]　根据题意，设＝n （n∈R）， 则＝＋＝＋n ＝＋n（－）＝＋n＝（1－n）＋. 又＝m ＋， 所以解得 题型三　利用基本定理确定点 [例3]　（多选）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　） A.若＝＋，则点M是边BC的中点 B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C.若＝－－，则点M是△ABC的重心 D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC的面积的 [答案]　ACD [解析]　对于A，由＝＋，得－＝－，即＝，则点M是边BC的中点，所以A选项正确；对于B，由＝2－，得－＝－，所以＝，则点M在边CB的延长线上，所以B选项错误；对于C，设BC边的中点为D，由＝－－，得＝＋＝2，由重心定义可知C选项正确；对于D，由＝x＋y，且x＋y＝，得2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，设D为△ABC所在平面内异于点M的一点，且＝2，所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC的面积的，所以D选项正确. 题型训练 1.如图，在△ABC中，D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则＝（　　） A.－－　　B.－－ C.－－　　 D.－－ 答案：C 解析：＝＋＝－，则＝－　①； ＝＋＝－，则＝－　②； ①＋②两式相加，＝－－，即＝－－. 2.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，＝3.若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则＝（　　） A.－　　B.－2 C.　　　D.2 答案：B 解析：因为在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，可得O为BD的中点， 由＝3，可得E为OD的中点，所以＝＋＝＋， 可得＝2－， 又由＝λ＋μ，所以λ＝2，μ＝－1，所以＝－2. 3.已知向量，不共线，向量＝x＋y，则下列命题正确的是（　　） A.若x＋y为定值，则A，B，C三点共线 B.若x＝y，则点C在∠AOB的平分线所在直线上 C.若点C为△AOB的重心，则x＋y＝ D.若A，B，C三点共线，则x＋y＝1 答案：D 解析：向量，不共线，向量＝x＋y，则当x＋y＝1时，＝x＋（1－x），即＝x，A，B，C三点共线，x＋y为其他定值时，A，B，C三点不共线，命题A错误，命题D正确；若x＝y，由＝x＋y，得＝x（＋），则点 C在以，为邻边的平行四边形的对角线上，命题B错误；若点C为△AOB的重心，由＝x＋y，得x＋y＝，命题C错误. 考点二　平面向量的坐标运算 题型一　点与向量的坐标表示 [例4]　如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝120°，∠DAC＝30°，AB＝1，AC＝3，AD＝2，＝x＋y，则x＋y＝（　　） A.2　 B.2 C.3　　　D.6 [答案]　A [解析]　以A为坐标原点，以AD为x轴，过点A作AD的垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B，C， D（2，0）， 故＝，＝，＝（2，0）， 则由＝x＋y可得＝＝x＋y（2，0）， 即∴ 故x＋y＝2. 题型二　向量线性运算与共线的坐标表示 [例5]　平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（－1，2），c＝（4，1）. （1）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k； （2）若d满足（d－c）∥（a＋b），且｜d－c｜＝，求d的坐标. [解]　（1）2b－a＝2（－1，2）－（3，2）＝（－5，2）， a＋kc＝（3，2）＋k（4，1）＝（4k＋3，k＋2）. 由（a＋kc）∥（2b－a）得－5（k＋2）＝2（4k＋3）， ∴k＝－. （2）设d＝（x，y），∴d－c＝（x，y）－（4，1）＝（x－4，y－1）， 且d－c＝m（a＋b）＝m（2，4）＝（2m，4m）， ∴2m＝x－4，4m＝y－1， 又｜d－c｜＝＝｜m｜，∴m＝±， ∴当m＝时，d＝（5，3）， 当m＝－时，d＝（3，－1）. 题型训练 4.已知O为坐标原点，＝－2.若P1，P2，则与共线的单位向量为（　　） A. B.或 C.或 D. 答案：C 解析：由＝－2得＋2＝0，即＋＝0，＝，－＝－， ＝2－＝2（2，－1）－（1，2）＝（3，－4）， ＝＝5， 与同向的单位向量为＝，反向的单位向量为. 5.已知A，B，C，且A，B，C三点共线，则m＝（　　） A.　　　B. C.－　　D.－ 答案：A 解析：由A，B，C，得＝，＝. 因为A，B，C三点共线，所以∥，即×－1×3＝0，解得m＝， 所以m＝. 五、课后作业 一、单项选择题 1．下列各组向量中，{e1，e2}不能作为平面的一个基底的是(　　) A．e1＝(2，－1)，e2＝(1，－2) B．e1＝(4，－2)，e2＝(－2,1) C．e1＝(3,3)，e2＝(－1,1) D．e1＝(2,3)，e2＝(－1,3) 答案　B 解析　对于A，C，D，因为两向量不共线，所以{e1，e2}能作为一个基底； 对于B，因为e1＝－2e2，所以e1∥e2，所以{e1，e2}不能作为一个基底． 2．已知a＝(2,1)，b＝(3x2－1，x)，若a∥b，则x等于(　　) A．1或－ B．－ C.或 D. 答案　A 解析　因为a∥b，所以3x2－1－2x＝0，解得x＝1或x＝－. 3．(2023·洛阳模拟)已知向量a与b的方向相反，b＝(－2,3)，|a|＝2，则a等于(　　) A．(－6,4) B．(－4,6) C．(4，－6) D．(6，－4) 答案　C 解析　∵a与b的方向相反， ∴a＝λb(λ<0)． 设a＝(x，y)，则(x，y)＝λ(－2,3)， 于是由|a|＝2， 得x2＋y2＝52，即4λ2＋9λ2＝13λ2＝52， ∴λ2＝4， 又λ<0，∴λ＝－2，∴a＝(4，－6)． 4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为(　　) A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2) 答案　C 解析　由题意知，G是△ABC的重心，设C(x，y)， 则有解得 故点C的坐标为(4，－2)． 5．(2023·漳州模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝＋，＝λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为6， 则B(6,0)，D(0,6)，C(6,6)，E(6,3)，F(3,6)， ∴＝＋＝(6,0)＋(0,6)＝(4,5)， ∴G(4,5)，＝(－2,2)，＝(－3,3)， ∴＝，∴λ＝. 6．(2023·成都模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，以AC为直径的半圆上有一点M，＝λ＋λ(λ≠0)，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 则A(0,1)，C(1,0)，AC＝， 设D为AC的中点，则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D. 则以AC为直径的圆的方程为 2＋2＝， 设M(x，y)， 则＝(x，y)，＝(1,0)，＝(0,1)， ＝λ＋λ＝(λ，λ)， 所以 由点M在圆2＋2＝上， 可得2＋2＝， 即4λ2－(1＋)λ＝0， 解得λ＝或λ＝0(舍去)． 二、多项选择题 7．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B. C．1 D．－1 答案　ABD 解析　因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)． 假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1. 所以只要m≠1，A，B，C三点即可构成三角形． 8.如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则(　　) A.＋＝ B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ 答案　ABC 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为2， 设Q(x,0)，则根据题意可得A(0,2)，D(2,2)，C(2,0)，E，F，B(0,0)， 则＝，＝(2，－2)，＝(x，－2)，＝，＝(0，－2)，＝(2,0)， 由于∥， 所以－x＝－2×，解得x＝1，故Q(1,0)， 对于A，＋＝＋＝(2，－2)＝，故A正确；对于B，＋＝×(0，－2)＋×(2,0)＝＝，故B正确；对于C，＋＝×(0，－2)＋×(2,0)＝＝，故C正确；对于D，＋＝×(0，－2)＋×(2,0)＝，＝，故D错误． 三、填空题 9．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量的坐标是________． 答案　 解析　∵点A(1,3)，B(4，－1)， ∴＝(3，－4)， 可得||＝＝5， 因此，与向量同方向的单位向量为 ·＝(3，－4)＝. 10．已知向量a＝(－1,4)，b＝(3，－2λ)，若a∥(2a＋b)，则λ＝________. 答案　6 解析　向量a＝(－1,4)，b＝(3，－2λ)， 则2a＋b＝(1,8－2λ)， 由a∥(2a＋b)，得4＝－8＋2λ， 解得λ＝6. 11.如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________. 答案　6 解析　方法一　如图，作平行四边形OB1CA1， 则＝＋， 因为与的夹角为120°， 与的夹角为30°， 所以∠B1OC＝90°. 在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2， 所以||＝2，||＝4， 所以||＝||＝4， 所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2， 所以λ＋μ＝6. 方法二　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(1,0)，B， C(3，)． 由＝λ＋μ， 得解得所以λ＋μ＝6. 12．已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，＝m，＝n (mn≠0)，若∥，则＝________. 答案　2 解析　依题意设＝λ， 则＝＋＝－m＋n＝λ(＋)＝λ， 即－m＋n＝－λ＋λ， 所以故＝2. 四、解答题 13.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，B，C在第一象限，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形OABC的形状，并求出其周长． 解　(1)在平面直角坐标系中， 由||＝2，知A(2,0)， 设B(xB，yB)， 又∠OAB＝，||＝1， 则xB＝2＋cos＝，yB＝sin＝， ∴B. 又＝(－1，)， ∴＝＋＝＋(－1，)＝， ∴C. (2)由(1)可得＝， ＝， ∴＝3. ∴∥，||＝3||＝3. 又||＝＝2，||＝2， ∴四边形OABC为等腰梯形． ∵||＝2，||＝1，||＝2，||＝3， ∴四边形OABC的周长为8. 14．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，)，n＝，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)若b＝1，求△ABC面积的最大值． 解　(1)由于m∥n， 所以2sin(A＋C)×＝cos 2B， 即2sin Bcos B＝cos 2B， 即sin 2B＝cos 2B，tan 2B＝， 由于B是锐角，所以0<B<，0<2B<π， 所以2B＝，B＝. (2)依题意，B＝，b＝1， 由正弦定理得＝＝， 即＝＝， a＝2sin A，c＝2sin C， 所以S△ABC＝acsin B＝sin Asin C ＝sin Asin(A＋B)＝sin Asin ＝sin A ＝sin2A＋sin Acos A ＝×＋×sin 2A ＝sin 2A－cos 2A＋ ＝sin＋， 由于所以<A<， 所以<2A<π，<2A－<， 所以当2A－＝，即A＝时，S△ABC取得最大值为＋＝. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 　第二节　平面向量基本定理及向量线性运算的坐标表示 一、课标要求 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 二、 命题规律及备考策略 平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及其应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题． 三、知识梳理 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [提醒]　(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线的向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． 2.向量的坐标运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 （2） 向量的加减法 ，， （3） 向量的数乘运算 ，则： （4） 向量的模 ，则的模 （5） 相反向量 已知，则；已知 （6） 单位向量 （7） 向量的平行关系 ，， [常用结论] 1．向量共线的充要条件的两种形式 (1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)； (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为 . 四、课堂考点突破 考点一　平面向量基本定理及应用 题型一 用基底表示向量 [例1]　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4CD，点E在线段CB上，且CE＝2EB.设＝a，＝b，则＝（　　） A.a＋b　　B.a＋b C.a＋b　　D.a＋b 题型二　利用基底求参数 [例2]　在△ABC中，＝，若P是直线BN上的一点，且满足＝m ＋，则实数m的值为（　　） A.－4　　　 B.－1 C.1　　　　 D.4 题型三　利用基本定理确定点 [例3]　（多选）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　） A.若＝＋，则点M是边BC的中点 B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C.若＝－－，则点M是△ABC的重心 D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC的面积的 题型训练 1.如图，在△ABC中，D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则＝（　　） A.－－　　B.－－ C.－－　　 D.－－ 2.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，＝3.若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则＝（　　） A.－　　B.－2 C.　　　D.2 3.已知向量，不共线，向量＝x＋y，则下列命题正确的是（　　） A.若x＋y为定值，则A，B，C三点共线 B.若x＝y，则点C在∠AOB的平分线所在直线上 C.若点C为△AOB的重心，则x＋y＝ D.若A，B，C三点共线，则x＋y＝1 考点二　平面向量的坐标运算 题型一　点与向量的坐标表示 [例4]　如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝120°，∠DAC＝30°，AB＝1，AC＝3，AD＝2，＝x＋y，则x＋y＝（　　） A.2　 B.2 C.3　　　D.6 题型二　向量线性运算与共线的坐标表示 [例5]　平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（－1，2），c＝（4，1）. （1）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k； （2）若d满足（d－c）∥（a＋b），且｜d－c｜＝，求d的坐标. 题型训练 4.已知O为坐标原点，＝－2.若P1，P2，则与共线的单位向量为（　　） A. B.或 C.或 D. 5.已知A，B，C，且A，B，C三点共线，则m＝（　　） A.　　　B. C.－　　D.－ 五、课后作业 一、单项选择题 1．下列各组向量中，{e1，e2}不能作为平面的一个基底的是(　　) A．e1＝(2，－1)，e2＝(1，－2) B．e1＝(4，－2)，e2＝(－2,1) C．e1＝(3,3)，e2＝(－1,1) D．e1＝(2,3)，e2＝(－1,3) 2．已知a＝(2,1)，b＝(3x2－1，x)，若a∥b，则x等于(　　) A．1或－ B．－ C.或 D. 3．(2023·洛阳模拟)已知向量a与b的方向相反，b＝(－2,3)，|a|＝2，则a等于(　　) A．(－6,4) B．(－4,6) C．(4，－6) D．(6，－4) 4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为(　　) A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2) 5．(2023·漳州模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝＋，＝λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. 6．(2023·成都模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，以AC为直径的半圆上有一点M，＝λ＋λ(λ≠0)，则λ等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B. C．1 D．－1 8.如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则(　　) A.＋＝ B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ 三、填空题 9．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量的坐标是________． 10．已知向量a＝(－1,4)，b＝(3，－2λ)，若a∥(2a＋b)，则λ＝________. 11.如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________. 12．已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，＝m，＝n (mn≠0)，若∥，则＝________. 四、解答题 13.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，B，C在第一象限，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形OABC的形状，并求出其周长． 14．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，)，n＝，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)若b＝1，求△ABC面积的最大值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$