第02讲 用样本估计总体(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第02讲 用样本估计总体 1 总体百分位数的估计 ① 第百分位数的概念 一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. ② 计算一组个数据的第百分位数 第一步：按从小到大排列原始数据； 第二步：计算; 第三步：若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. ③ 四分位数的概念 四分位数：包含第百分位数，第百分位数，第百分位数. 中位数相当于第百分位数，第百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 2 总体集中趋势的估计 一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数. 一般地，对数值型数据(如用水量，身高，收入，产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 3 总体离散程度的估计 ① 方差，标准差的概念 (1)假设一组数据是，用 这组数据的方差，为了计算方便也可以用； 标准差是. ② 方差，标准差的意义 方差越大，表明数据波动越大，越不稳定；方差越小，表明数据波动越小，越稳定. 【题型1】 样本的数字特征的计算与应用 角度1 众数、百分位数、平均值、方差的计算 【典题1】 （多选）（2025·全国·专练）已知样本数据，则这组数据的（ ） A．众数为 B．平均数为 C．上四分位数为 D．方差为 【典题2】 （2024·吉林·模拟预测）设样本数据，，…，的平均数为，标准差为，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【巩固练习】 1. （2023·陕西榆林·模拟预测）已知数据，，，，，，的极差和平均数相等，则实数的值为（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 2（多选）（2024·湖北·模拟预测）某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（    ） A．极差是4 B．众数小于平均数 C．方差是1.8 D．数据的80%分位数为4 3（2024·广东广州·模拟预测）已知数据，且满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．极差 D．方差 4（2024·陕西商洛·模拟预测）设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知有4个数据的平均值为5，方差为4，现加入数据6和10，则这6个数据的新方差为（    ） A． B． C．6 D．10 角度2数字特征在实际问题中的应用 【典题1】 （2024·陕西安康·模拟预测）某地区中午到夜里5个时刻的气温如图所示，关于这5个时刻的气温，以下说法错误的是（    ） A．这5个时刻的气温极差为7℃ B．下午17时的气温最高 C．平均气温为5℃ D．气温的中位数为9℃ 【典题2】 （2023·全国·模拟预测）生物实验小组的六位同学（编号分别为1，2，3，4，5，6）在甲、乙两种环境中种植同一种作物，记作物种子的发芽率（其折线图如下，其中左图为甲环境下，右图为乙环境下）的平均数和标准差分别为，和，，则（    ） ①；②；③；④． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【巩固练习】 1. （2023·河南开封·模拟预测）假如你正在筹办一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（    ） A．极差 B．中位数 C．众数 D．平均数 2（2024·四川达州·二模）下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（    ）    A．该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B．该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D．该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 3(2024·四川·模拟预测)甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则( ) A．， B．， C．， D．， 4（2024·陕西咸阳·模拟预测）小张分别在A，B两个地块培育同一种树苗5棵，一周后观察它们的高度如图所示，则（    ） A．B地块树苗高度的众数小于A地块树苗高度的众数 B．B地块树苗高度的方差等于A地块树苗高度的方差 C．B地块树苗高度的平均值大于A地块树苗高度的平均值 D．B地块树苗高度的中位数等于A地块树苗高度的中位数 角度3 有关数字特征的推导 【典题1】 （2023·上海普陀·模拟预测）上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22℃．立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（    ） A．总体均值为25℃，中位数为23℃ B．总体均值为25℃，总体方差大于0℃ C．总体中位数为23℃，众数为25℃ D．总体均值为25℃，总体方差为1℃ 【巩固练习】 1. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.8 2（2011·福建莆田·一模）若某同学连续三次考试的名次（第一名为，第二名为，以此类推，且可以有名次并列的情况）均不超过，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是（　　） A．甲同学：平均数为，中位数为 B．乙同学：平均数为，方差小于 C．丙同学：中位数为，众数为 D．丁同学：众数为，方差大于 3冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（    ） （1）中位数为3，众数为2    （2）均值小于1，中位数为1 （3）均值为3，众数为4    （4）均值为2，标准差为 A．（1）（3） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（4） 【题型2】 频率分布直方图中样本的数字特征 【典题1】（2025·全国·专练）某校举行劳动技能大赛，统计了100名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间内，不低于90分的视为优秀，低于60分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中错误的是（   ） A． B．优秀学生人数比不及格学生人数少15人 C．该次比赛成绩的平均分约为70.5 D．这次比赛成绩的分位数为78 【典题2】（2025·广东·专练）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.    (1)求出直方图中m的值； (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）； (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本，将该样本进行某项质量指标值测量，下图是测量结果x的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则在下列选项中，关于该样本统计量的叙述不正确的选项是（    ） A．指标值在区间的产品约有33件 B．指标值的极差介于50与70之间 C．指标值的第60百分位数大于205 D．指标值的方差的估计值是150 2（2025·湖北·专练）某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（    ）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表) A．众数约为10 B．中位数约为6.5 C．平均数约为6.76 D．该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6 3（多选）（2024·山东济南·模拟预测）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（    ） A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 4（2024·四川绵阳·模拟预测）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月10日上午闭幕；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日上午闭幕.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计全体居民得分的方差（各组以区间中点值作代表）； (2)为鼓励小区居民学习两会精神，移动公司计划为参与本次活动的居民进行奖励，奖励分为以下两种方案： 方案一：参与两会知识问答的所有居民每人奖励20元话费充值卡； 方案二：问答活动得分低于平均分的居民奖励15元话费充值卡，得分不低于平均分的居民奖励25元话费充值卡. 你认为哪种方案，小区居民所得的奖励更多，请说明理由. 5（2025·全国·专练）人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． (1)求图中a的值； (2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； (3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 【题型3】 用样本数据估计总体的综合应用 【典题1】（2024·全国·模拟预测）某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题： A B C D E 甲车间 100 120 150 180 200 乙车间 50 120 200 150 180 (1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？ (2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率； (3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析． 【巩固练习】 1（2025·山东·专练）某学校高一(1)班和高一(2)班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下： 班级 平均分 众数 中位数 标准差 (1)班 79 70 87 19.8 (2)班 79 70 79 5.2 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！” (2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议． 2（2023·陕西榆林·二模）金华轨道交通金义东线金义段已于今年1月开通试运行，全长58.4公里，从金华站到义乌秦塘站一路经过17座车站．万达广场站是目前客流量最大的站点，某小组在万达广场站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了200名乘客，记录了他们从来源地到万达广场站所花费时间t．得到下表： 时间t（min） 人数（人） 10 60 70 30 20 10 (1)从在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t大于或等于18min的概率； (2)估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数； (3)已知的10人，其平均数和方差分别为2，1；的60人，其平均数和方差分别为9，2，计算样本数据中的平均数和方差． 注：已知的平均数为a，方差为b，的平均数为c，方差为d，的平均数为e，则的方差为． 3（2024·陕西西安·一模）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了份，将成绩进行统计得到以下频数分布表： 成绩 高一学生人数 高二学生人数 试利用样本估计总体的思想，解决下列问题： (1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？ (2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种： 方案一：记学生得分为，当时，奖励该学生元食堂代金券；当时，奖励该学生元食堂代金券；当时，奖励该学生元食堂代金券； 方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励元食堂代金券． 若高一年级组长希望本年级学生获得更多的奖励，则他应该选择哪种方案？ 4（2024·湖北武汉·模拟预测）四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差． (1)求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数） (2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及的值． 参考数据：． 1（2022·全国·高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（    ） A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 2（2024·全国·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 3（多选）（2023·全国·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 4（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 用样本估计总体 1 总体百分位数的估计 ① 第百分位数的概念 一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. ② 计算一组个数据的第百分位数 第一步：按从小到大排列原始数据； 第二步：计算; 第三步：若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. ③ 四分位数的概念 四分位数：包含第百分位数，第百分位数，第百分位数. 中位数相当于第百分位数，第百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 2 总体集中趋势的估计 一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数. 一般地，对数值型数据(如用水量，身高，收入，产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 3 总体离散程度的估计 ① 方差，标准差的概念 (1)假设一组数据是，用 这组数据的方差，为了计算方便也可以用； 标准差是. ② 方差，标准差的意义 方差越大，表明数据波动越大，越不稳定；方差越小，表明数据波动越小，越稳定. 【题型1】 样本的数字特征的计算与应用 角度1 众数、百分位数、平均值、方差的计算 【典题1】 （多选）（2025·全国·专练）已知样本数据，则这组数据的（ ） A．众数为 B．平均数为 C．上四分位数为 D．方差为 【答案】ACD 【分析】利用众数，平均数，方差，上四分位数公式逐个选项分析求解即可. 【详解】首先，我们把数据从小到大排列，得到， 对于A：观察得数据出现的次数最多，所以众数为，故A正确； 对于B：平均数为，故B错误； 对于C：因为一共有个数据，且， 所以上四分位数为第个数，故上四分位数为，故C正确； 对于D：方差为， ，故D正确. 故选：ACD. 【典题2】 （2024·吉林·模拟预测）设样本数据，，…，的平均数为，标准差为，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由平均数、标准差的性质结合已知条件得，从而，由此能求出的最大值． 【详解】样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 依题意有，得， 由，， 所以，即时，的最大值为4. 故选：C. 【巩固练习】 1. （2023·陕西榆林·模拟预测）已知数据，，，，，，的极差和平均数相等，则实数的值为（    ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】B 【分析】根据极差、平均数的定义表示出极差与平均数，从而得到方程，解得即可. 【详解】依题意可得极差为， 平均数为， 所以，解得. 故选：B 2（多选）（2024·湖北·模拟预测）某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（    ） A．极差是4 B．众数小于平均数 C．方差是1.8 D．数据的80%分位数为4 【答案】AC 【分析】由极差的定义计算后判断选项A；由众数和平均数的定义计算后判断选项B；计算数据方差判断选项C；计算80%分位数判断选项D. 【详解】数据从小到大排列为1，1，2，3，3，3，3，4，5，5． 对于A，该组数据的极差为，故A正确； 对于B，众数为3，平均数为，两者相等，故B错误； 对于C，方差为，故C正确； 对于D，，这组数据的分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5，故D错误． 故选：AC． 3（2024·广东广州·模拟预测）已知数据，且满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．极差 D．方差 【答案】A 【分析】根据极差，中位数以及方差的定义即可排除BCD，举反例即可求解A. 【详解】由于，所以原来的极差为，新数据的极差为，故极差变小， 原来和新数据的中位数均为，故中位数不变， 去掉，后，数据波动性变小，故方差变小， 因此可能变大的是平均数，比如，原数据的平均数为6.6，去掉1和12后， 新数据的平均数为，但，故A正确. 故选：A 4（2024·陕西商洛·模拟预测）设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知条件结合方差公式直接求解即可. 【详解】由题意得， 所以数据的方差 . 故选：B 5（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知有4个数据的平均值为5，方差为4，现加入数据6和10，则这6个数据的新方差为（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】C 【分析】设原来的 4 个数依次为 , , , , 再利用平均数和方差的计算公式结合整体法即可. 【详解】设原来的4个数依次为，，，， 原来4个数据的平均值为5，方差为4， ， ， ， ， 现加入数据6和10，则这6个数据的平均数为 ， 则这6个数据的方差为: . 故选：C. 角度2数字特征在实际问题中的应用 【典题1】 （2024·陕西安康·模拟预测）某地区中午到夜里5个时刻的气温如图所示，关于这5个时刻的气温，以下说法错误的是（    ） A．这5个时刻的气温极差为7℃ B．下午17时的气温最高 C．平均气温为5℃ D．气温的中位数为9℃ 【答案】D 【分析】通过观察气温图和极差、平均数、中位数的定义计算即可得解. 【详解】由图可知最高气温是下午17时的9℃，最低气温是晚上23时的2℃，所以气温极差为，故A、B选项正确； 平均气温数值为，故C正确； 数据2,3,4,7,9中位数为4，所以气温的中位数为4℃，故D错误， 故选：D. 【典题2】 （2023·全国·模拟预测）生物实验小组的六位同学（编号分别为1，2，3，4，5，6）在甲、乙两种环境中种植同一种作物，记作物种子的发芽率（其折线图如下，其中左图为甲环境下，右图为乙环境下）的平均数和标准差分别为，和，，则（    ） ①；②；③；④． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据题图数据大小分析，大小，由数据折线的波动幅度分析，大小. 【详解】从题图，甲环境中除第2、6两位同学实验的发芽率与乙环境中的相等（均为40%）之外，其余数据都小于乙，所以． 同时，甲环境下的数据波动幅度明显比乙的更大，所以． 故选：C 【巩固练习】 1. （2023·河南开封·模拟预测）假如你正在筹办一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（    ） A．极差 B．中位数 C．众数 D．平均数 【答案】D 【分析】根据平均数的意义可得结果. 【详解】极差在统计学中把所有数值最大的与最小的差； 中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数； 众数一组数据中出现次数最多的数值； 平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数. 所以选择平均数较理想，即可估计准备多少饮料. 故选：D 2（2024·四川达州·二模）下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（    ）    A．该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B．该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D．该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 【答案】B 【分析】根据中位数、极差的定义即可判断BD；结合图形，分析数据即可判断AC. 【详解】A：由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增，故A正确； B：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为亿元，故B错误； C：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C正确； D：2016-2023年旅游收入的极差是亿元，故D正确. 故选：B. 3（2024·四川·模拟预测）甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义运动员命中环数的集中与分散程度判断即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 故选：A 4（2024·陕西咸阳·模拟预测）小张分别在A，B两个地块培育同一种树苗5棵，一周后观察它们的高度如图所示，则（    ） A．B地块树苗高度的众数小于A地块树苗高度的众数 B．B地块树苗高度的方差等于A地块树苗高度的方差 C．B地块树苗高度的平均值大于A地块树苗高度的平均值 D．B地块树苗高度的中位数等于A地块树苗高度的中位数 【答案】C 【分析】根据图象逐一判断即可. 【详解】观察图象可得， 对于A，地块树苗高度的众数为地块树苗高度的众数为1和2，所以地块树苗高度的众数大于A地块树苗高度的众数，故A错误； 对于B，地块树苗高度波动比较大，A地块树苗高度波动比较小，所以地块树苗高度的方差大于A地块树苗高度的方差，故B错误； 对于C，地块树苗高度在3到6之间变化，A地块树苗高度在1到3之间变化，所以地块树苗高度的平均值大于A地块树苗高度的平均值，故C正确； 对于D，地块树苗高度的中位数接近地块树苗高度的中位数小于3，所以地块树苗高度的中位数大于A地块树苗高度的中位数，故D错误. 故选：C. 角度3 有关数字特征的推导 【典题1】 （2023·上海普陀·模拟预测）上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22℃．立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（    ） A．总体均值为25℃，中位数为23℃ B．总体均值为25℃，总体方差大于0℃ C．总体中位数为23℃，众数为25℃ D．总体均值为25℃，总体方差为1℃ 【答案】D 【分析】对于AB，取连续五天的平均气温为可判断；对于C，取连续五天的平均气温为可判断；对于D，用反证法可验证. 【详解】对于A，如连续五天的平均气温为，满足总体均值为，中位数为，故A不正确； 对于B，如连续五天的平均气温为，满足总体均值为25℃，总体方差大于0℃，故B不正确； 对于C，如连续五天的平均气温为，满足总体中位数为23℃，众数为25℃，故C不正确； 对于D，当总体均值为，总体方差为 ， 若存在有一天气温低于，不妨令， 根据方差公式 ， 可得， 因为方差为1， 所以不可能存在有一天气温低于，故D正确. 故选：D 【巩固练习】 1. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.8 【答案】B 【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故B正确； 对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故D错误； 故选：B． 2（2011·福建莆田·一模）若某同学连续三次考试的名次（第一名为，第二名为，以此类推，且可以有名次并列的情况）均不超过，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是（　　） A．甲同学：平均数为，中位数为 B．乙同学：平均数为，方差小于 C．丙同学：中位数为，众数为 D．丁同学：众数为，方差大于 【答案】D 【分析】根据平均数、众数、中位数及方差的定义，依次对选项判断即可. 【详解】甲同学名次数据的平均数为，说明名次之和为，由中位数为， 得出三次考试名次均不超过，断定甲是尖子生； 乙同学名次数据的平均数为，设乙同学3次考试的名次分别为、、， 由题意可得则方差， 所以， ，则，所以，、、均不超过， 由此可断定乙是尖子生； 丙同学名次数据的中位数为，众数为，说明三次考试中至少有两次名次为，故丙可能是尖子生； 丁同学名次数据的众数为，说明某两次名次为，设另一次名次为， 平均数为，方差为， 即，所以，或或均不满足，故，断定丁一定不是尖子生. 故选：D. 3冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（    ） （1）中位数为3，众数为2    （2）均值小于1，中位数为1 （3）均值为3，众数为4    （4）均值为2，标准差为 A．（1）（3） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（4） 【答案】D 【分析】将7个数据有小到大依次排列，举出反例证明（1）（3）不满足，假设（2）不满足，根据计算得到平均数大于1，矛盾，假设（4）不满足，计算标准差大于，矛盾，得到答案. 【详解】将 7 个数由小到大依次记为、、 、、、、. 对于（1）选项，反例：、、、、、、，满足中位数为3，众数为2，与题意矛盾，（1）选项不合乎要求； 对于（2）选项， 假设，即该公司发生了群体性发热，因中位数为1，则 ，平均数为 ，矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（2）选项合乎要求； 对于（3）选项，反例：、、 、 、、、，满足众数为4，均值为3，与题意矛盾，（3）选项不合乎要求； 对于（4）选项， 假设，即该公司发生群体性发热，若均值为2 ，则方差为，即，与（4）选项矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（4）选项合乎要求. 故选：D 【题型2】 频率分布直方图中样本的数字特征 【典题1】（2025·全国·专练）某校举行劳动技能大赛，统计了100名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间内，不低于90分的视为优秀，低于60分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中错误的是（   ） A． B．优秀学生人数比不及格学生人数少15人 C．该次比赛成绩的平均分约为70.5 D．这次比赛成绩的分位数为78 【答案】A 【分析】根据频率分布直方图的性质特点，利用平均分的法则和百分位数的定义即可求解. 【详解】对于A项，由题意，所以，故A错误； 对于B项，优秀学生人数为，不及格学生人数， 优秀学生人数比不及格学生人数少15人，故B正确； 对于C项，平均分，故C正确； 对于D项，设百分位数为，则有，所以，故D正确. 故选：A 【典题2】（2025·广东·专练）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.    (1)求出直方图中m的值； (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）； (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 【答案】(1) (2)平均数为71，中位数为73.33 (3) 【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出方程求解，即可得出答案； （2）根据平均数公式计算即可得出平均数；根据已知得出质量指标值位于、之间的频率，然后列出方程，求解即可得出答案； （3）先根据已知得出一等、二等品口罩的个数，求出抽样比，得出各品级口罩应抽取的数目.进而列举得出所有可能的样本点以及事件“这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品”包含的样本点个数，根据古典概型公式，即可得出答案. 【详解】（1）由， 得. （2）平均数为. 设中位数为， 质量指标值位于之间的频率为0.4，位于之间的频率为0.7， 所以，， 且， 解得. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知，质量指标小于70的频率为0.4，大于70的频率为0.6， 所以100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个. 又抽样比为， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个、二等品有个. 记这3个一等品为，2个二等品为， 则从5个口罩中抽取2个，所以可能的样本点的有：，，，，，，，，，，共10个等可能的样本点， 其中恰有1个口罩为一等品包含的样本点有：，，，，，，共6种. 根据古典概型可知，这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为. 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本，将该样本进行某项质量指标值测量，下图是测量结果x的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则在下列选项中，关于该样本统计量的叙述不正确的选项是（    ） A．指标值在区间的产品约有33件 B．指标值的极差介于50与70之间 C．指标值的第60百分位数大于205 D．指标值的方差的估计值是150 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图求各组的频率.对于A：根据频率即可求频数；对于B：根据极差的定义分析判断；对于C：根据百分位数的定义分析判断；对于D：以每组区间的中点值为参考，结合平均数、方差的计算公式运算即可. 【详解】由直方图可得出，从第一组至第七组的频率依次是， 对于选项A：指标值在区间的产品约有件，A选项正确； 对于选项B：指标值的最大极差为，最小极差为，B选项正确； 对于选项C：因为，， 所以指标值的第百分位数在内，小于，C选项不正确； 对于选项D：抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差的估计值分别为： ， ， D选项正确； 综合以上分析，该样本统计量的叙述不正确的选项是C． 故选：C. 2（2025·湖北·专练）某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（    ）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表) A．众数约为10 B．中位数约为6.5 C．平均数约为6.76 D．该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图可依次计算众数，中位数，平均数可判断A，B，C；利用百分位数的定义求解判断D. 【详解】对于A，由图可知众数在内，所以众数是6，故A错误； 对于B，由图，中位数在内，所以，解得 ，故B错误； 对于C，平均数为，故C错误； 对于D，由图，该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为，故D正确. 故选：D. 3（多选）（2024·山东济南·模拟预测）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（    ） A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】BCD 【分析】A项，由各组频率之和为求参数；B项可由频率分布直方图面积与比较，估计中位数所在区间，利用面积关系建方程求解可得；C项，两组求加权平均数可得；D项，由分别两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可. 【详解】A项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1， 则，解得，故A错误； 项，前两个矩形的面积之和为 前三个矩形的面积之和为. 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B正确； C项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； D项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确. 故选：BCD. 4（2024·四川绵阳·模拟预测）2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月10日上午闭幕；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日上午闭幕.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计全体居民得分的方差（各组以区间中点值作代表）； (2)为鼓励小区居民学习两会精神，移动公司计划为参与本次活动的居民进行奖励，奖励分为以下两种方案： 方案一：参与两会知识问答的所有居民每人奖励20元话费充值卡； 方案二：问答活动得分低于平均分的居民奖励15元话费充值卡，得分不低于平均分的居民奖励25元话费充值卡. 你认为哪种方案，小区居民所得的奖励更多，请说明理由. 【答案】(1)129； (2)方案一小区居民所得的奖励更多，理由见解析. 【分析】（1）根据直方图先求平均数，然后再根据方差公式计算即可； （2）先根据直方图求得分低于平均数的频率，然后根据频率计算方案二所需费用，再计算出方案一所需费用即可得结论. 【详解】（1）依题意，得分平均数为. 所以方差 （2）得分低于74的频率为，得分高于74分的频率为0.48. 因此，方案一所需充值费用为：元； 方案二所需充值费用为：元. 所以方案一小区居民所得的奖励更多. 5（2025·全国·专练）人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． (1)求图中a的值； (2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； (3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 【答案】(1) (2)79.3 (3)7次 【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解. （2）先确认频率分布直方图中频率为0.5的位置，再结合中位数定义求解即可. （3）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解. 【详解】（1）因为各组频率之和为1，组距为10， 所以， 解得. （2）因为， 所以中位数位于第三组中， 设中位数为x，则， 解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3. （3）由题红灯等待时间低于85秒的频率为， 故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次. 【题型3】 用样本数据估计总体的综合应用 【典题1】（2024·全国·模拟预测）某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题： A B C D E 甲车间 100 120 150 180 200 乙车间 50 120 200 150 180 (1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？ (2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率； (3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析． 【答案】(1)甲车间的平均数150，乙车间的平均数140，甲车间的方差1360，乙车间的方差2760，甲车间工作效率比较稳定 (2)0.1978 (3)答案见解析 【分析】（1）计算甲车间该日生产订单的平均数，乙车间该日生产订单的平均数，甲车间该日生产订单的方差，乙车间该日生产订单的方差； （2）计算甲、乙2个车间都不合格的概率； （3）比较2个车间的平均数、方差和合格率. 【详解】（1）甲车间该日生产订单的平均数为， 乙车间该日生产订单的平均数为， 甲车间该日生产订单的方差为， 乙车间该日生产订单的方差为， 因为甲车间该日生产订单的方差小于乙车间该日生产订单的方差， 所以甲车间工作效率比较稳定； （2）甲、乙2个车间都不合格的概率为； （3）平均数上甲车间的该日生产订单更大，方差更小，乙车间合格率更大，但是差别并不大，所以甲车间工作效率更高. 【巩固练习】 1（2025·山东·专练）某学校高一(1)班和高一(2)班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下： 班级 平均分 众数 中位数 标准差 (1)班 79 70 87 19.8 (2)班 79 70 79 5.2 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！” (2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议． 【答案】见解析 【详解】(1)由于(1)班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游． 但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游． (2)①班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助． ②班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率． 考点：中位数、众数、平均数、标准差. 2（2023·陕西榆林·二模）金华轨道交通金义东线金义段已于今年1月开通试运行，全长58.4公里，从金华站到义乌秦塘站一路经过17座车站．万达广场站是目前客流量最大的站点，某小组在万达广场站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了200名乘客，记录了他们从来源地到万达广场站所花费时间t．得到下表： 时间t（min） 人数（人） 10 60 70 30 20 10 (1)从在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t大于或等于18min的概率； (2)估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数； (3)已知的10人，其平均数和方差分别为2，1；的60人，其平均数和方差分别为9，2，计算样本数据中的平均数和方差． 注：已知的平均数为a，方差为b，的平均数为c，方差为d，的平均数为e，则的方差为． 【答案】(1)0.3； (2)； (3)平均数为8，方差为. 【分析】（1）根据给定r 数表，利用古典概率公式计算即得. （2）利用频率分布表估算中位数的方法，求出中位数. （3）利用分层抽样的平均数、方差的求法计算得解.. 【详解】（1）花费时间t大于或等于18min的乘客人数为60， 所以该乘客花费时间t大于或等于18min的概率. （2）由表格数据知：花费时间小于分钟的频率为，花费时间小于分钟的频率为， 因此花费时间t的中位数，，解得：， 所以估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数为. （3）样本数据中的平均数； 方差. 3（2024·陕西西安·一模）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了份，将成绩进行统计得到以下频数分布表： 成绩 高一学生人数 高二学生人数 试利用样本估计总体的思想，解决下列问题： (1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？ (2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种： 方案一：记学生得分为，当时，奖励该学生元食堂代金券；当时，奖励该学生元食堂代金券；当时，奖励该学生元食堂代金券； 方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励元食堂代金券． 若高一年级组长希望本年级学生获得更多的奖励，则他应该选择哪种方案？ 【答案】(1)高二学生这次竞赛成绩更好 (2)选择方案一 【分析】（1）根据频数分布表估计平均数和方差的方法分别计算出样本的平均数和方差，进而得到结论； （2）计算出每个方案中本年级学生所获奖励金额的平均数，从而确定结论. 【详解】（1）样本中，高一学生竞赛平均成绩为：， 方差； 样本中，高二学生竞赛平均成绩为：， 方差． ，， 样本中平均成绩一样，但高二学生的成绩更稳定． 利用样本估计总体的思想可以认为，高二学生这次竞赛成绩更好． （2）设选择方案一时一位学生获得的奖金为元， 则的可能取值为，其对应的频率分别为， 获得奖励的平均数：（元）； 设选择方案二时一位学生获得的奖励为元，则获得奖金的平均数： （元）． ，从统计角度看，高一年级组长应该选择方案一． 4（2024·湖北武汉·模拟预测）四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差． (1)求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数） (2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及的值． 参考数据：． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用平均数的计算公式求得，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解； （2）先根据题意得到的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解. 【详解】（1）根据题意，得， 因为 ， 同理， 所以 所以总样本的平均数为，方差． （2）依题意可知，的所有可能取值为， 设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件， “第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件， 且，则，， 所以， ， ， 则的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望． 1（2022·全国·高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（    ） A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 【答案】B 【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解. 【详解】讲座前中位数为,所以错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对； 讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错； 讲座后问卷答题的正确率的极差为， 讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错. 故选:B. 2（2024·全国·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 3（多选）（2023·全国·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：因为是最小值，是最大值， 则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差， 例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差， 显然，即；故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 4（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【答案】(1) (2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 (3)方差克，平均数克，预估平均质量为克 【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案； （2）利用分层抽样的定义进行求解； （3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量. 【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； （2）因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； （3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$