广东省佛山市顺德区华侨中学2024-2025学年高三上学期数学周测4试题

高三数学周测 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（    ）． A． B．5 C． D．8 3．已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4. 已知和的夹角为，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 5．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6．在等比数列中，则为（ ） A. B. C. D. 7．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与的非负半轴重合，将角的终边按照逆时针方向旋转后，其终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 8．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，满足，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．函数在上有2个零点 11．已知函数，且，则（    ） A．是奇函数 B． C．的值域是 D．在上单调递减 三、填空题 12．的值为 13．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有 14．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为 ． 四、解答题 15．设数列满足：.等比数列的首项，公比为2. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．设函数． (1)求的最小正周期及其图象的对称中心； (2)若且，求的值． 17．已知函数，若的最小值为0， (1)求的值; (2)若，证明:存在唯一的极大值点，且. 18．（本小题满分12分）春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9：20~10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作.例如：10点04分，记作时刻64. （1）估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20~10：00之间通过的车辆数为，求的分布列与数学期望； （3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 参考数据：若，则，，. 19. 约数，又称因数．它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记为，，…，，（）． （1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； （2）当时，若，，…，构成等比数列，求证：； （3）记，求证：． 高三数学周测4参考答案： 1．【答案】B 【详解】，，所以. 2．【答案】A 【详解】因为复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且， 所以，所以． 3．【答案】B 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 4. 【答案】C 【详解】 5．【答案】D 【详解】, ，，即，则. 6.【答案】B 【详解】令的公比为，因为，所以，解得. 根据等比数列的性质可知，数列是公比为首项为的等比数列， 所以. 故选：B. 7．【答案】B 【详解】由题知，角的终边过点， 所以，，， 所以. 8．【答案】D 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如右图所示：   由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.   9．【答案】BC 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，令，则，所以在上单调递增， 因为，所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C正确；     对于D，因为，所以，得，故D错误. 10．【答案】ABD 【详解】易知的最小正周期为，所以也是的周期，则，故A正确； 令，解得：，当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确； 当时，，则函数在上先增后减，故错误； 令，故，在一直角坐标系中分别作出和的大致图像（如图），观察可知，二者有两个交点，故函数在上有2个零点，故D正确.                                                                            11．【答案】BCD 【详解】对于A，函数定义域为，，则函数为偶函数，故A错误； 对于B，, , 所以，故B正确； 对于C，因为且，则，由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的值域是，C正确； 对于D，，当时，，在时小于1， 所以，故在上单调递减，当时，同理可得在上单调递减，故D正确. 12．【答案】A 【详解】. 13．【答案】B 【详解】甲与乙相邻有种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有种不同的排法，再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有种不同的排法，所以共有种不同的排法． 14．【答案】 【详解】分两种情况讨论： （1）第一局甲胜，第二局乙胜： 若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为； （2）第一局乙胜，第二局甲胜： 若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为. 综上所述，甲、乙各胜一局的概率为. 15．【详解】（1）. . . 即. 当时，，满足上式. ， 根据等比数列的首项，公比为2， 可知. （2）由（1）知：. ， . . . 16．【详解】（1）因为 所以的最小正周期为． 令，解得，所以的对称中心为 （2）因为，即，所以， 因为，所以，所以， 所以 ． 17.．【详解】（1）， 当时，，所以在上递减，则没有最小值， 当时，由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得最小值，得成立， 下面证为唯一解， 令，则， 当时，，当时，，所以在上递增，在上递减， 所以，所以方程有且只有唯一解， 综上，； （2）证明:由（1）知， 令， 当时，，当时，，所以在上递减，上递增， 因为， 所以在存在唯一的使得，在存在唯一的零点， 所以当或时，，即， 当时，，即， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 即是唯一的极大值点， ， 由，得， 所以， 因为，所以. 18.．【详解】（1）由题意，这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即10点04分 （2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数， 即，所以的可能取值为0，1，2，3，4 所以， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以. （3）由（1）可得， ，所以. 估计在9：46~10：40这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数， 由， 所以，估计在9：46~10：40这一时间段内通过的车辆数为辆. 19．【小问1详解】 （1）当 时，正整数的4个正约数构成等比数列， 如1，2，4，8为8的所有正约数，即； 或1，3，9，27为27的所有正约数，即； 或1，5，25，125为125的所有正约数，即； （首项为1，公比为质数的等比数列的第四项均可） 【小问2详解】 由题意可知，，，且， 因为，，…，构成等比数列，不妨设其公比为， 则，所以， 化简得：，所以， 又因为，所以，所以公比， 所以， 又因为，，所以， 又因为，所以； 【小问3详解】 由题意知，，，，， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，所以 所以，即． 学科网（北京）股份有限公司 $$