微专题32 指数运算6种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题32 指数运算6种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 根式的概念及辨析 题型2 根式的性质化简或求值 题型3 根式与指数幂的互化 题型4 利用指数幂运算性质化简 题型5 解简单的指数方程 题型6 整体换元法解决条件求值 1、整数指数幂 （1）正整数指数幂的定义：，其中， （2）正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 2、根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 注：与()n的区别 1.是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 2.()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.　　　 3、分式指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 4、有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 5、无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 6、指数幂的运算中常用的乘法公式 （1）完全平方公式：；； （2）平方差公式：； （3）立方差公式：； （4）立方和公式：； （5）完全立方公式：；． 7、指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 8、根式化简的步骤 (1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算性质求解. 9、利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 10、条件求值问题的解题思路 （1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； （2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； （3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁． 题型1 根式的概念及辨析 【例1】若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】【多选】若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，求 【变式4】若代数式有意义，则 . 题型2 根式的性质化简或求值 【例2】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】【多选】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则化简的结果是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式3】求下列各式的值；； 【变式4】【多选】若，化简的结果可能（    ） A． B．. C． D． 【变式5】化简 . 题型3 根式与指数幂的互化 【例3】下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】【多选】下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式2】【多选】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】【多选】下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式4】用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤. (1)； (2) 题型4 利用指数幂运算性质化简 【例4】下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则化为（    ） A． B． C．m D．1 【变式2】化简（式中各字母均为正数）： (1)； (2)； (3)． 【变式3】化简或计算下列各式． (1)； (2)． 【变式4】若，则 . 【变式5】计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【变式6】计算下列各式的值. (1) (2) (3) (4)； (5). (6)计算：； (7)（，）. (4)100(5)4(6)；(7). 题型5 解简单的指数方程 【例5】方程的解为（    ） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【变式1】关于的方程的解为 ． 【变式2】关于的方程的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式3】方程的解为 ． 题型6 整体换元法解决条件求值 【例6】已知，求下列各式的值． (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3) 【变式1】已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】已知，则的值为 ． 【变式3】已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式4】已知，计算：. 【变式5】【多选】已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题32 指数运算6种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 根式的概念及辨析 题型2 根式的性质化简或求值 题型3 根式与指数幂的互化 题型4 利用指数幂运算性质化简 题型5 解简单的指数方程 题型6 整体换元法解决条件求值 1、整数指数幂 （1）正整数指数幂的定义：，其中， （2）正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 2、根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 注：与()n的区别 1.是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 2.()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.　　　 3、分式指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 4、有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 5、无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 6、指数幂的运算中常用的乘法公式 （1）完全平方公式：；； （2）平方差公式：； （3）立方差公式：； （4）立方和公式：； （5）完全立方公式：；． 7、指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 8、根式化简的步骤 (1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算性质求解. 9、利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 10、条件求值问题的解题思路 （1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； （2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； （3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁． 题型1 根式的概念及辨析 【例1】若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A. 式子对于有意义； B.式子对于有意义； C. 式子对于有意义； D. 式子对于无意义；故选：D 【变式1】【多选】若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确； 取，则，所以无意义，B错误； 因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确； 若，则，所以无意义，D错误. 故选：AC 【变式2】若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是.故选：B 【变式3】已知，求 【答案】 【解析】因为，所以，解得，所以， 故答案为：． 【变式4】若代数式有意义，则 . 【答案】8 【解析】因为代数式有意义，所以且，故， 所以， 故答案为：8. 题型2 根式的性质化简或求值 【例2】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，当时成立，故D错误；故选：C. 【变式1】【多选】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】当n为偶数时，故A，C选项中的式子不正确； 当n为奇数时，则，故B，D选项中的式子正确. 故选：BD. 【变式2】若，则化简的结果是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】. 因为，所以异号，，所以， 所以，.故选：B. 【变式3】求下列各式的值；； 【答案】 【解析】由题意可得：= ． 【变式4】【多选】若，化简的结果可能（    ） A． B．. C． D． 【答案】AC 【解析】由化简可得， 所以， 所以或， 又， 所以， 当时，， 当时，， 故选：AC. 【变式5】化简 . 【答案】6 【解析】.故答案为：. 题型3 根式与指数幂的互化 【例3】下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，A正确，B，C错误； ，由于无意义，D错误，故选：A 【变式1】【多选】下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BD 【解析】当时，，，故A错误． （），故B正确． （），故C错误． （），故D正确． 故选：  BD 【变式2】【多选】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误.故选：AC 【变式3】【多选】下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误；故选：BC 【变式4】用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤. (1)； (2) 【答案】(1)；(2)1 【解析】（1）. （2）. 题型4 利用指数幂运算性质化简 【例4】下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确；故选：D 【变式1】已知，则化为（    ） A． B． C．m D．1 【答案】C 【分析】把根式化为分数指数幂进行运算． 【详解】，. 故选：C． 【变式2】化简（式中各字母均为正数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）原式. （2）原式. （3）方法一（从里向外化） ． 方法二（从外向里化） 【变式3】化简或计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）原式. （2）原式. 【变式4】若，则 . 【答案】 【解析】由题意，，所以， 又， 所以原式. 故答案为：. 【变式5】计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)100 (3) 【解析】（1）原式=1+=1+= （2）原式===100 【变式6】计算下列各式的值. (1) (2) (3) (4)； (5). (6)计算：； (7)（，）. 【答案】(1)(2)2(3)18(4)100(5)4(6)；(7). 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式. （4）解： . （5）解： （6）原式 . （7）原式. 题型5 解简单的指数方程 【例5】方程的解为（    ） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【答案】C 【解析】∵，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1．故选：C． 【变式1】关于的方程的解为 ． 【答案】 【解析】由可得，即， 因为，可得，故. 所以，方程关于的方程的解为. 故答案为：. 【变式2】关于的方程的解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】解：原方程即，化简可得， 令，可得，该方程有且只有一个正根， 由于单调递增，所以与一一对应，即原方程只有一个解.故选：. 【变式3】方程的解为 ． 【答案】或 【解析】由题意可得， 所以，即，解得或， 故答案为：或 题型6 整体换元法解决条件求值 【例6】已知，求下列各式的值． (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）将两边平方，可得，解得. （2）将两边平方，可得，解得. （3） 【变式1】已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】，所以.故选：A. 【变式2】已知，则的值为 ． 【答案】6 【解析】因为，所以，即，所以， 所以 ， 所以． 【变式3】已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)3 【解析】（1）将两边平方，得，即； （2）将两边平方，得，即； , 所以． 【变式4】已知，计算：. 【答案】4 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以. 【变式5】【多选】已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用指数运算结合完全平方判断AB,D利用立方和公式逐项C,判断 【详解】易知x>0 ，A正确； ，B正确； ，C错误； ,D错误 故选：AB $$