6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式（5个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《一次函数》】 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 （5个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：已知直线与坐标轴交点求方程的解 1 考点讲练2：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 2 考点讲练3：利用图象法解一元一次方程 2 考点讲练4：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 4 考点讲练5：根据两条直线的交点求不等式的解集 4 中等题真题汇编练 5 培优题真题汇编练 10 考点讲练1：已知直线与坐标轴交点求方程的解 【精讲题】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数的判断，正确的是（       ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．点，点在该函数的图象上，若，则 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·期中）一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程（为常数，且）的解，就是一次函数 的函数值为 时，相应的自变量x的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数 的图象与 轴交点的 坐标． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点A．方程的解是 ． 考点讲练2：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【精讲题】（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·四川成都·期末）在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 考点讲练3：利用图象法解一元一次方程 【精讲题】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有函数和的图象，它们相交于点下列结论： ①； ②； ③当时，则有； ④关于的方程的解是：； 其中正确的有（   ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【举一反三练1】（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【举一反三练2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 考点讲练4：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【精讲题】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【举一反三练1】（23-24八年级下·全国·单元测试）一次函数的图象如图所示，那么不等式的解是 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数的图象与轴交于点，下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象与轴的交点为 C．关于的方程的解是 D．关于的不等式的解集是 考点讲练5：根据两条直线的交点求不等式的解集 【精讲题】（22-23九年级上·福建漳州·自主招生）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【举一反三练2】（22-23九年级下·广东深圳·自主招生）若方程恰有三个解，则所有符合条件的a之和为 ． 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．（13-14八年级上·全国·课后作业）一次函数的图像如图，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A．直线与直线交于点B，与y轴交于点C，点B横坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，直线与坐标轴的交点坐标分别为，，则不等式的解集为（      ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，若一次函数的图象经过、两点．则方程的解为（     ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，、，那么不等式的解集为 ．    7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 8．（22-23八年级下·四川内江·期末）直线与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 9．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图所示，一次函数与的交点坐标为，则不等式的解集为 ． 10．（22-23八年级下·浙江金华·开学考试）如图，经过点)的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 11．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 12．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 13．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)利用图象直接写出：当时，x的取值范围． 培优题真题汇编练 15．（2024八年级上·全国·专题练习）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数的四条性质，其中错误的（    ） A．当时，具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是8 16．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）已知一次函数与的图象如图所示，下列结论： ①；②；③关于x的方程的解是；④当时，． 其中正确的个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 17．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：①，；②随的增大而减小；③关于的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，则m的取值范围为(　　) A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·云南昭通·期末）一次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（   ） A．函数随的增大而增大 B．函数的图象不经过第三象限 C． D． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 21．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 22．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）一次函数的图象经过点，则的值为 ；当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，则的取值范围 ． 23．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程的解为；③的解集是；④．其中正确的有 ．（填序号） 24．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图所示，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2，则不等式的解集是 ． 25．（24-25八年级上·全国·期末）设函数． (1)画出函数的图象． (2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 26．（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数 与正比例函数 的图象交于点 M． (1)求正比例函数和一次函数的表达式． (2)根据图象，写出关于x的不等式的解集． (3)求 的面积． 27．（24-25八年级上·河南郑州·期中）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空：①当时， ． ②当时， ． ③当时， ． (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象 (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有_____个交点，方程有____个解： ②方程有_____个解： ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 28．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_______，_______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_______时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_______； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《一次函数》】 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 （5个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：已知直线与坐标轴交点求方程的解 1 考点讲练2：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 3 考点讲练3：利用图象法解一元一次方程 5 考点讲练4：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 8 考点讲练5：根据两条直线的交点求不等式的解集 10 中等题真题汇编练 12 培优题真题汇编练 21 考点讲练1：已知直线与坐标轴交点求方程的解 【精讲题】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数的判断，正确的是（       ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．点，点在该函数的图象上，若，则 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性，一次函数的平移等知识，利用一次函数的性质判断选项A；利用一次函数的增减性判断选项B；利用一次函数的平移判断选项C；利用一次函数与一元一次方程的关系判断选项D即可． 【规范解答】解：一次函数中，，则函数图象经过二、四象限，当时，该函数图象与y轴交于负半轴，该函数图象经过二、三、四象限，故选项A错误； 一次函数中，，则y随x的增大而减小，由，得，但是、的值与0的大小不能比较，故选项B错误； 函数的图象向右平移2个单位后，新函数解析式为，由新函数图象经过原点，得，解得，故选项C错误； 若关于的方程的解是，则的图象恒过点，故选项D正确． 故选：D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·期中）一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程（为常数，且）的解，就是一次函数 的函数值为 时，相应的自变量x的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数 的图象与 轴交点的 坐标． 【答案】 横 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图象与一元一次方程的关系是解题的关键． 根据一次函数与一元一次方程的关系填空即可． 【规范解答】解：一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程(为常数，且)的解，就是一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数的图象与轴交点的横坐标． 故答案为：，横． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点A．方程的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【规范解答】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故答案为：． 考点讲练2：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【精讲题】（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【规范解答】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24八年级下·四川成都·期末）在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据题意可得出，当时函数的函数值不小于函数的函数值，据此可解决问题． 【规范解答】解：因为当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值， 所以， 解得． 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，先求出直线的解析式，推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线的解析式，求出E的横坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求得点D的坐标． 【规范解答】解：∵，， ∴，，． 设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； ∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ 设直线的解析式是：， ∵ 代入得： 解得：   ∴直线的解析式为 令，则 ∴D的坐标为 故选A． 考点讲练3：利用图象法解一元一次方程 【精讲题】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有函数和的图象，它们相交于点下列结论： ①； ②； ③当时，则有； ④关于的方程的解是：； 其中正确的有（   ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程，由图象可得：，，，即可判断①②；根据时，正比例函数在一次函数上方即可判断②；由两函数的交点的横坐标为即可判断④，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：由图象可得：，，，故②正确； ∴，故①错误； 当时，则有，故③正确； 当时，， ∴关于的方程的解是：，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【规范解答】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】②④ 【思路点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系，对所给结论依次进行判断即可． 【规范解答】解：由所给函数图象可知，点的纵坐标为2， 则， 解得， 所以点的横坐标为1．故①错误． 因为点坐标为， 所以当时，函数的图象在轴下方，即， 则不等式的解集为．故②正确． 因为函数和函数交点的横坐标为1， 所以方程的解为．故③错误． 由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即， 当时，函数的图象在轴上方，即， 所以关于的不等式组的解集为． 故④正确． 故答案为：②④． 考点讲练4：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【精讲题】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，根据一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【规范解答】解：由图象得： ①当时，，错误； ②关于的方程的解为，正确； ③当时，，正确； ④关于的方程的解为，正确； 故选：C． 【举一反三练1】（23-24八年级下·全国·单元测试）一次函数的图象如图所示，那么不等式的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 【规范解答】根据图象可知，一次函数的图象与x轴的交点为，y随x的增大而增大， 不等式的解集是， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数的图象与轴交于点，下列说法不正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象与轴的交点为 C．关于的方程的解是 D．关于的不等式的解集是 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【规范解答】解：A．∵， ∴随的增大而减小， 原说法正确，但不符合题意； B．∵一次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴图象与轴的交点为， 原说法正确，但不符合题意； C．∵一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的方程的解是， 原说法错误，符合题意； D．∵一次函数的图象与轴交于点， 结合图象可知：关于的不等式的解集是， 原说法正确，但不符合题意； 故选：C． 考点讲练5：根据两条直线的交点求不等式的解集 【精讲题】（22-23九年级上·福建漳州·自主招生）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，以交点横坐标分界，再结合图象即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由不等式得， ∴不等式的解集是指函数的图象在函数的图象下方时，的取值范围， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象下方， ∴不等式的解集为， 故选：． 【举一反三练1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，找到函数的图象在函数的图象下方的部分即可求解； 【规范解答】解：∵当时，函数的图象在函数的图象下方， ∴不等式的解集为， 故答案为： 【举一反三练2】（22-23九年级下·广东深圳·自主招生）若方程恰有三个解，则所有符合条件的a之和为 ． 【答案】50 【思路点拨】此题考查了函数与方程的关系，解题的关键是通过数形结合，正确理解函数的图象与方程的关系．令，分段求出函数解析式，进而画出的大致图象，方程恰有3个解，即可转化为与图象有3个交点，观察图象求解即可． 【规范解答】解：令， ①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， 综上， 由此可画出的大致图象如图所示， 而有3个解， 与有三个交点， 由图象可知或， ∴a的值的和为50； 故答案为：50． 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数与不等式的解集，数形结合是解题的关键．根据图象解答即可． 【规范解答】解：∵直线交坐标轴于， ∴不等式的解集为． 故选D． 2．（13-14八年级上·全国·课后作业）一次函数的图像如图，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在y轴的下面，再写出对应的取值范围即可． 【规范解答】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A．直线与直线交于点B，与y轴交于点C，点B横坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了利用一次函数图象交点求不等式的解集，根据不等式，即为直线的图象在直线图象的下方的的值，根据图象直接解答即可． 【规范解答】解：由图象得，直线与直线交点的横坐标为， 当时，直线的图象在直线图象的下方， ∴不等式的解集为， 故选：D． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，直线与坐标轴的交点坐标分别为，，则不等式的解集为（      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等)，做到数形结合． 从图象上知，直线的函数值随的增大而增大，与轴的交点为，即当时，，由图象可看出，不等式的解集． 【规范解答】解：直线与轴的交点为， 即当时，， 由图象可看出，不等式的解集是． 故选：B． 5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，若一次函数的图象经过、两点．则方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答案即可． 【规范解答】解：如图所示： 不等式的解为：． 故选：A． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，、，那么不等式的解集为 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据函数图像直接写出不等式的解集即可． 【规范解答】解：由函数图像可知：不等式的解集为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 利用函数图象，写出图像在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【规范解答】解：由图象可知，函数的图象与x轴的交点坐标为，且y随x的增大而减小，则关于x的不等式的解集是． 故答案为． 8．（22-23八年级下·四川内江·期末）直线与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】题考查了一次函数与一元一次不等式，根据图象可得，直线与的交点坐标为：，结合图像可得方程组的解和不等式组的解集． 【规范解答】解：根据图象可知：直线与的交点坐标为：， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图所示，一次函数与的交点坐标为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解数形结合思想是解题的关键．根据一次函数与一元一次不等式的关系求解． 【规范解答】解：由图象得：不等式的解集为：， 故答案为：． 10．（22-23八年级下·浙江金华·开学考试）如图，经过点)的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集，此题得解． 【规范解答】∵直线经过点， 将代入，则， ∴与的交点为， 又 ∴观察图形可知，使的x的值为． 故答案为： 11．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路点拨】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【规范解答】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 12．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式， （1）根据图示，时，，结合图象可求解； （2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解； （3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，当时，， ∴的解为； （2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）可得，当时，，当时，， ∴时，． 13．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)利用图象直接写出：当时，x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质等知识点，能熟记一次函数函数图象和性质的内容是解此题的关键，注意数形结合思想的运用． （1）过图象上两个点的坐标画出直线即可； （2）根据点的坐标结合图象得出即可． 【规范解答】（1）解：令，则；令，则； ∴直线经过点，点， 直线如图所示， （2）解：由图象知，当时，． 培优题真题汇编练 15．（2024八年级上·全国·专题练习）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数的四条性质，其中错误的（    ） A．当时，具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是8 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形的面积以及一次函数的图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．画出函数的大致图象，结合函数的性质对各个选项进行一一判断，即可求解． 【规范解答】解：A．当时，原函数为， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为； 当时，原函数为， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为，选项A正确，不符合题意； B．当时，， 解得：或， 描点、连线，画出函数图象，如图所示． 的图象与直线有两个交点， ，选项B正确，不符合题意； C．观察函数图象，可知：当时，，选项C错误，符合题意； D．当时，， 解得：或， 的图象与轴的交点坐标为，， 的图象与轴围成的几何图形的面积，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 16．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）已知一次函数与的图象如图所示，下列结论： ①；②；③关于x的方程的解是；④当时，． 其中正确的个数是（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路点拨】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的图象和性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断． 【规范解答】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴，，故①正确； ∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴，故②错误； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴时，，故③正确； 当时，的图象在图象的上方， ∴，故④正确． 故选：B． 17．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：①，；②随的增大而减小；③关于的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【思路点拨】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图像和性质，利用数形结合的思想解答是解题关键．根据一次函数图像所在象限及与坐标轴的交点可判断①②错误，③正确，根据一次函数图像在轴上方时与轴交点横坐标可判断④正确，综上即可得答案． 【规范解答】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴，，随的增大而增大，故①②错误， ∵一次函数与轴交于点， ∴关于的一元一次方程的解为，当时，，故③④正确， 故选：B． 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值，则m的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数的性质，属于基础题．先求得时，，当直线与直线的交点在的下方时，正比例函数的值都小于一次函数的值，据此求解即可． 【规范解答】解：当时，， ∵当时，对于x的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值， ∴，解得． 当时，正比例函数和一次函数的图像平行，符合题意． 综上可知，m的取值范围为． 故选C． 19．（23-24八年级下·云南昭通·期末）一次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（   ） A．函数随的增大而增大 B．函数的图象不经过第三象限 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查一次函数的图象和性质，从函数图象获取信息，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由图象可知：函数随的增大而增大，函数的图象不经过第三象限，故选项A，B正确； 当时，， 当时，， ∴，故选项C正确； ∵两条直线的交点的横坐标为，当时，， ∴当时，，即：；故选项D错误； 故选D． 20．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】如图，作轴于，证明，则，，，，待定系数法求直线的解析式为，当时，，可求，进而可得． 【规范解答】解：如图，作轴于， 由题意知，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 故答案为：． 21．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键，先把点A的坐标代入中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解． 【规范解答】解：把代入． 得． 解得． 即A点坐标为． ∵当时，， ∴． ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 22．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）一次函数的图象经过点，则的值为 ；当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，则的取值范围 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据一次函数图象上的点满足函数解析式得到，解方程即可；求出函数的图象过定点，当时，，若函数的图象过，此时，则，结合和的图象即可得到答案． 【规范解答】解：一次函数的图象经过点， ， ； 当时，， ∴函数的图象过定点， 当时，， 若函数的图象过， 则， 此时，则此时， 如图， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 的取值范围是． 故答案为：， 23．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程的解为；③的解集是；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】根据一次函数，得到图象分布在第四、三、二象限，与y轴交于负半轴，与x轴交点坐标为，y随x的增大而减小，当时，，判断即可． 本题考查了一次函数的性质应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：由图可得一次函数，与y轴交于负半轴，与x轴交点坐标为，在图象在第四、三、二象限， y随x的增大而减小， ∴关于x的方程的解为 根据题意，当时，． 故①②④正确； ③错误， 故答案为：①②④． 24．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图所示，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2，则不等式的解集是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据函数图象找到所求的解集．解法一：观察图象即可求解．解法二：将、两点代入一次函数，解得，，解得一次函数解析式；将点代入正比例函数，解得，易得正比例函数的解析式，再运用解一元一次不等式的过程解出的取值范围． 【规范解答】解：解法一： ∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2 由图象可得：当时，则 ∴不等式的解集为， 解法二：将，代入 得： 解得： 一次函数的解析式为： 把代入 解得： 点的坐标为 把代入得： 正比例函数的解析式为： 不等式的解集即为的解集 ∴ 故答案为：． 25．（24-25八年级上·全国·期末）设函数． (1)画出函数的图象． (2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了函数的图象以及一次函数与一元一次不等式的关系，属于基础题； （1）利用绝对值的意义化简得出，画出函数的图象． （2）不等式恒成立，即的最小值，结合图象即可得解； 【规范解答】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，函数， 与是与x轴平行的射线， 是经过点的一条线段（不含端点）， 所以其图象如图： （2）解：若关于x的不等式|恒成立， 则的最小值， 由(1)知， ∴ ∴， ∴， 解得. 26．（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数 与正比例函数 的图象交于点 M． (1)求正比例函数和一次函数的表达式． (2)根据图象，写出关于x的不等式的解集． (3)求 的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，正比例函数解析式为 (2) (3)1 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式． （1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后根据待定系数法求出正比例函数解析式； （2）结合图象写出正比例函数图象在直线的上方所对应的自变量的范围即可； （3）先利用一次函数解析式求出P点坐标，然后利用三角形面积公式． 【规范解答】（1）解：∵经过和， ∴ 解得， ∴一次函数表达式为． ∵ 点 M 在该一次函数图象上， ∴，则M点坐标为， 又∵M在函数图象上， ∴， 解得， ∴正比例函数的表达式为． （2）解：由图象可知，时，． （3）解：当时，，解得，则， 所以，． 27．（24-25八年级上·河南郑州·期中）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空：①当时， ． ②当时， ． ③当时， ． (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象 (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有_____个交点，方程有____个解： ②方程有_____个解： ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)①；②；③ (2)见解析 (3)①2，2；②1；③ 【思路点拨】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数函数解析式，即可画出图象； （3）直接利用函数图象得出答案． 【规范解答】（1）解：①当时，； ②当时，； ③当时，； 故答案为：；，； （2）解：函数的图象，如图所示： （3）解：从函数图象得到： ①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解； ②方程有1个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是． 故答案为：2，2；1；． 28．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_______，_______； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_______时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_______； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②；③存在最小值，最小值是 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象，注意数形结合； （1）把与的值分别代入函数式中即可求得对应a与b的值； （2）描点、连线即可画出函数图象； （3）①观察函数图象上升时自变量的取值范围即可； ②观察当时函数图象，即可确定的取值范围； ②观察函数图象是否存在最低点，则判断是否有最小值，若有，最低点的纵坐标是最小值． 【规范解答】（1）解：当时，；当时，； 故答案为：； （2）解：描点、连线得到的函数图象如下： （3）解：①由图象知，当时，图象是上升的，即函数值随自变量的增大而增大； 故答案为：； ②当时，即， 解得：或； ∴当时，由图象知，； 故答案为：； ③观察图象知，函数图象存在最低点，其纵坐标为， ∴函数存在最小值，最小值是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$