6.5 一次函数与二元一次方程（3个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《一次函数》】 6.5 一次函数与二元一次方程 （3个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：两直线的交点与二元一次方程 组的解 1 考点讲练2：图象法解二元一次方程组 2 考点讲练3：求直线围成的图形面积 3 中等题真题汇编练 3 培优题真题汇编练 7 考点讲练1：两直线的交点与二元一次方程 组的解 【精讲题】（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）直线与的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·开学考试）如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 ． 考点讲练2：图象法解二元一次方程组 【精讲题】（24-25八年级上·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 【举一反三练1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【举一反三练2】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 考点讲练3：求直线围成的图形面积 【精讲题】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（，2，3，．．，2023）．则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点） B．与直线平行 C．与坐标轴围成的图形面积为 D．经过y轴的负半轴 【举一反三练2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为 ． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）已知一次函数和的图象如图所示，根据图象可得关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2011·江苏苏州·中考模拟）已知直线和直线交于点，则关于的二元一次方程组的解是 ． 3．（22-23八年级上·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于、的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，函数和的图象相交于点，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，已知一次函数和的图像交于点，则根据图像可得关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．（2024九年级下·辽宁丹东·学业考试）已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ． 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）一次函数与的交点坐标是 ． 8．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于A，两点，已知的面积等于16，则的值为 ． 9．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知函数与函数的图象交于点，则方程组的解是 ． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点M，关于x、y的方程组的解是 ． 11．（19-20八年级上·全国·单元测试）求一次函数和与轴围成三角形的面积 12．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)求这两个函数图象与轴所围成的三角形面积． 14．（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点，直线与x轴交于点C，且与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移4个单位长度得到直线，直线、交于点E，连接，求的面积． 培优题真题汇编练 15．（22-23七年级下·山东泰安·期中）小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象、，如图所示，他解的这个方程组是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，已知函数和图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（    ）. A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程组的解为；③方程的解为；④当时，．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）关于一次函数与，下列说法： ①两函数的图象关于轴对称； ②两函数的图象和轴围成的三角形的面积为24； ③函数（是常数，且）的图象一定过点． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 20．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线：和直线 ：相交于点 B，若直线 上一点M 到直线 的距离是 5 ，则点M 的坐标为 ． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）已知直线，，（），若无论取何值，总取的最小值，则当 时，的值最大．（用含的代数式表示） 22．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点C，直线分别与x轴，y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 23．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知函数，，若无论取何值，总取，，中的最小值，则的最大值为 ． 24．（20-21八年级上·全国·单元测试）若直线和直线的交点坐标为，则 ． 25．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线与直线相交于一点，其坐标为，直线过点， (1)求直线的解析式； (2)求直线，与轴围成的三角形的面积． 26．（21-22八年级上·四川成都·期中）已知，直线与相交于A，交y轴于B，交x轴于C，判断的形状，并证明你的结论． 27．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线经过点，且与直线交于点，直线与，轴分别交于点，，直线交轴于点． (1)求的值及直线的表达式． (2)计算四边形的面积． (3)是直线上一点，若，求点的坐标． 28．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《一次函数》】 6.5 一次函数与二元一次方程 （3个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：两直线的交点与二元一次方程 组的解 1 考点讲练2：图象法解二元一次方程组 3 考点讲练3：求直线围成的图形面积 5 中等题真题汇编练 7 培优题真题汇编练 17 考点讲练1：两直线的交点与二元一次方程 组的解 【精讲题】（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x、y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．首先将点A的横坐标代入求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解． 【规范解答】解：∵直线与直线交于点， ∴将代入， 得：， ∴， ∴关于x、y的方程组的解为， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）直线与的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【思路点拨】本题考查了两直线相交的问题，联立直线解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【规范解答】解：联立， 解得， 所以，交点坐标为在第二象限． 故选B． 【举一反三练2】（24-25九年级上·全国·开学考试）如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系．由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此所求方程组的解就是两个一次函数图象的交点的横纵坐标． 【规范解答】解：由图知：函数和的图象交于点， 则，同时满足两个函数的解析式， 是二元一次方程组的解． 故答案为：． 考点讲练2：图象法解二元一次方程组 【精讲题】（24-25八年级上·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【规范解答】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 【举一反三练1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【规范解答】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 【举一反三练2】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【规范解答】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 考点讲练3：求直线围成的图形面积 【精讲题】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（，2，3，．．，2023）．则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数（，，为常数）与坐标轴所围成的三角形的面积计算．要学会计算一次函数与坐标轴的交点坐标．同时考查了运用为自然数）进行计算的方法．先求出直线与坐标轴的两交点坐标分别为，；然后计算，再分别计算，，最后把它们相加即可． 【规范解答】解：令，则；令，则；所以直线与坐标轴的两交点坐标分别为，，． 所以，为自然数）， 当，； 当，； ； 当，； 则． 故选：C． 【举一反三练1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．经过点） B．与直线平行 C．与坐标轴围成的图形面积为 D．经过y轴的负半轴 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数图象的性质，根据一次函数自变量与函数值的计算，两直线平行时比例系数的关系，一次函数图象与坐标轴围成图形面积的计算方法，即可求解，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【规范解答】解：当时，，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴一次函数与直线相交，故B选项错误，不符合题意； 令时，；令时，； ∴一次函数与坐标轴围成的图形面积为，故C选项错误，不符合题意； ∵一次函数过， ∴经过y轴的负半轴，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 【举一反三练2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的求法，解题的关键是综合运用相关知识进行推理． 过点B作轴于C，先得出为等腰直角三角形，再推出为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出，的长，继而可得出结果． 【规范解答】解：过点作轴于， ∵点在直线上，设点的坐标为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 又点的坐标为， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的面积=． 故答案为：1 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）已知一次函数和的图象如图所示，根据图象可得关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系．根据函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的方程组的解进行分析解答． 【规范解答】解：由图可得，一次函数和交于点， ∴关于，的方程组的解为， 故选：B． 2．（2011·江苏苏州·中考模拟）已知直线和直线交于点，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的交点问题，根据一次函数的交点坐标即为以一次函数解析式所构成的方程组的解即可求解，掌握一次函数的交点坐标的意义是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线和直线交于点， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于、的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【规范解答】解：一次函数和相交于点， 的解是， 故选：D． 4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，函数和的图象相交于点，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的知识．首先将点的坐标代入正比例函数中求得的值，再结合图象得出方程的解． 【规范解答】解：函数经过点， ， 解得：， 由图象得：方程的解为， 故选：A． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，已知一次函数和的图像交于点，则根据图像可得关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数的图象与性质．根据图象的交点即可得出结论． 【规范解答】解：一次函数和的图像交于点， 即同时满足两个一次函数的解析式， 关于的二元一次方程组的解为． 故选：C． 6．（2024九年级下·辽宁丹东·学业考试）已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，一次函数图象上的点的坐标特征，先求出两直线的交点坐标，从而即可得出答案． 【规范解答】∵直线与的交点的坐标为， ∴把代入中，可得， ∴方程组的解是， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）一次函数与的交点坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组求交点，根据题意，联立方程组求解即可． 【规范解答】解：根据题意得，， 解得，， ∴交点坐标为， 故答案为： ． 8．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于A，两点，已知的面积等于16，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与坐标轴围成的图形面积，表示出函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 由直线得出交点，，，根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程即可． 【规范解答】解：直线分别与的正半轴、的负半轴相交于，两点， 交点，，， 的面积等于16， ， 解得：， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知函数与函数的图象交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解． 【规范解答】解：∵函数与函数的图象交于点 ∴方程组的解． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点M，关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组．观察图象可得一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，即可求解． 【规范解答】解：观察图象得：一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点， ∴关于x、y的方程组的解是． 故答案为： 11．（19-20八年级上·全国·单元测试）求一次函数和与轴围成三角形的面积 【答案】16 【思路点拨】本题考查了画函数图象，求三角形的面积，先求出两直线与坐标轴交点的坐标，然后画出图象，再根据三角形的面积公式求出所围三角形的面积． 【规范解答】解：直线中，令，则；令，则； 因此直线与坐标轴的交点为； 同理可求得直线与坐标轴的交点为． 如图， 与轴围成三角形的面积． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或； 【思路点拨】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得q，进而代入求得p即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点又在上， ， 又， ， 解得， ∴． （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， 设， ∵， ， ∴， ， 即或， 解得或， ∴或． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)求这两个函数图象与轴所围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）先求出的值，然后根据一次函数的图象经过点、即可求解； （2）求出一次函数与轴的交点，根据三角形面积公式即可求解． 本题考查了两条直线的相交或平行问题，属于基础题，关键是掌握用待定系数法求一次函数的解析式． 【规范解答】（1）解： 的图象过， ， 一次函数的图象经过点、， ， 解得：， ∴； （2）解：一次函数为， 令时，则 ∴ 则交轴于点， 这两个函数图象与轴所围成的三角形面积为：． 14．（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点，直线与x轴交于点C，且与直线交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线向下平移4个单位长度得到直线，直线、交于点E，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)8 【思路点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键． （1）把点代入可得到的值，把点和点的坐标代入解方程组即可得到结论； （2）将直线向下平移4个单位长度得到直线的解析式为，求得，根据即可得到结论． 【规范解答】（1）解：把点代入得，， 点的坐标为， 把点和点代入得： ， ， 直线的表达式为：； （2）解：将直线向下平移4个单位长度得到直线的解析式为， 联立 解得：， ， 在中，令，则，解得， ， 在直线中，令，则，解得， ， ， 的面积． 培优题真题汇编练 15．（22-23七年级下·山东泰安·期中）小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象、，如图所示，他解的这个方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【规范解答】解：由图可知： 直线过，， 设直线的解析式为：， ，解得：， 因此直线的函数解析式为：； 同理：直线过，，因此直线的函数解析式为：； 因此所求的二元一次方程组为； 故选：D． 16．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，已知函数和图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图像与二元一次方程（组），掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标成为解题的关键． 先利用确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可解答． 【规范解答】解：当时，，解得：，即两直线的交点坐标为， 所以关于x,y的方程组的解为． 故选：A． 17．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程组的解为；③方程的解为；④当时，．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数的图像，结合一次函数的性质和图象，逐一判断即可解答，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：①由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势， 所以y的值随着x值的增大而减小，故①正确； ②由函数图象可知，一次函数一次函数与的图象交点坐标为， 所以方程组的解为，故②正确； ③由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为， 所以方程的解为，故③正确； ④由函数图象可知，直线过点， 所以当时，，故④错误； 故选：C． 18．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)， 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【规范解答】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴一次函数与的图象交于点， ∴关于，的方程组的解为， 故选：C． 19．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）关于一次函数与，下列说法： ①两函数的图象关于轴对称； ②两函数的图象和轴围成的三角形的面积为24； ③函数（是常数，且）的图象一定过点． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【思路点拨】此题考查了一次函数的图象和性质，两个一次函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握函数与方程间的关系是解题的关键． 首先画出两个一次函数的图象，然后根据图象即可判断①；然后利用三角形面积公式即可判断②；首先得到，然后将代入求解即可判断③． 【规范解答】一次函数与的图象如图所示， 由图象可得，两函数的图象关于轴对称，故①正确； 的面积，故②错误； 函数 当时， ∴函数（是常数，且）的图象一定过点，故③正确． 综上所述，其中正确的个数是2个． 故选：B． 20．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线：和直线 ：相交于点 B，若直线 上一点M 到直线 的距离是 5 ，则点M 的坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】如图，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，可求，，联立，可求，由，可得是直角三角形，，即，由直线 上一点M 到直线 的距离是 5，可得，设，则，计算求解，进而可求坐标． 【规范解答】解：如图，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 联立， 解得，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∵直线 上一点M 到直线 的距离是 5， ∴， 设，则， 解得，， ∴或， 故答案为：或． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）已知直线，，（），若无论取何值，总取的最小值，则当 时，的值最大．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题关键是结合题意作出函数图像，根据图像分析判断．依据题意求得三条直线的交点，再利用题意求得值，最后利用一次函数的性质解答即可． 【规范解答】解：由题意可知三条直线两两相交， 由，得； 由，得； 由，得， ∴三个交点为，，，如图， 当时，的值最小， ∵无论取何值，总取的最小值， ∴， ∵的值随的增大而增大， ∴当时，的值最大为； 当时，的值最小， ∵无论取何值，总取的最小值， ∴， ∵的值随的增大而减小， ∴当时，y的值最大为． 综上所述，当时，的值最大． 故答案为：． 22．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点C，直线分别与x轴，y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了一次函数，分别求出直线，直线与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【规范解答】解：当时，解得， 当时，解得， ∴， 即最大值与最小值之差为， 故答案为：． 23．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知函数，，若无论取何值，总取，，中的最小值，则的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了两直线相交的问题，根据直线解析式作出图形并利用数形结合的思想成为解题的关键． 先根据题意画出草图，然后根据图象确定取最大值的点，最后联立两直线解析式构建解方程组求解即可． 【规范解答】解：如图：把和联立方程组得：，解得：，可求得交点的坐标为， 把和联立方程组得：，求得交点的坐标为， 把和联立方程组得：，求得交点的坐标为， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 总取，，中的最小值， 的最大值为， 故答案为：2． 24．（20-21八年级上·全国·单元测试）若直线和直线的交点坐标为，则 ． 【答案】16 【思路点拨】本题考查了两直线平行或相交的问题：直线和直线平行，则；若直线和直线相交，则交点坐标满足两函数的解析式．直接把代入两个解析式分别用表示和，然后计算即可． 【规范解答】解：把分别代入和得， 所以，， 所以． 故答案为16． 25．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线与直线相交于一点，其坐标为，直线过点， (1)求直线的解析式； (2)求直线，与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）求得两直线与轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可． 【规范解答】（1）解：设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：由直线可知直线与轴的交点为，，由直线可知直线与轴的交点为， 直线，与轴围成的三角形的面积是：． 26．（21-22八年级上·四川成都·期中）已知，直线与相交于A，交y轴于B，交x轴于C，判断的形状，并证明你的结论． 【答案】是等腰直角三角形，证明见解析． 【思路点拨】本题考查了一次函数和勾股定理的逆定理，熟练掌握函数与方程的关系，解方程和方程组，勾股定理的逆定理判断直角三角形，是解决问题的关键． 将两直线联立组成关于x、y的方程组，求出两直线的交点坐标，再求出直线与y轴的交点坐标，x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理判断的形状即可． 【规范解答】解：是等腰直角三角形． 证明：联立， 解得． ∴． 在中， 当时，． ∴． 当时， ． ∴． ∴，，． ∴． ∴是等腰直角三角形． 27．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线经过点，且与直线交于点，直线与，轴分别交于点，，直线交轴于点． (1)求的值及直线的表达式． (2)计算四边形的面积． (3)是直线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)9 (3)点的坐标为或 【思路点拨】本题主要考查一次函数与几何图形的综合运用， （1）把点在直线上，可得，在运用待定系数法，将，代入直线的表达式为，即可求解； （2）由（1）可得，，，则，根据，代入求值即可； （3）设，根据，，且，分别代入求值即可． 【规范解答】（1）解：∵点在直线上， ∴．即， 设直线的表达式为，将，代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：由（1）可得，， 直线，令，可得， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴． 解得或11， ∴点的坐标为或． 28．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了两直线交点问题．理解题意，熟练掌握两直线交点是解题的关键． （1 ）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2 ）将“亮点”为，代入求得q，进而代入求得p即可． 【规范解答】（1））解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得，， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ∴， 解得， ∵点又在上， ， 又∵， ∴， 解得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$