6.4 用一次函数解决问题（6个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《一次函数》】 6.4 用一次函数解决问题 （6个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：已知函数经过的象限求参数范围 1 考点讲练2：分配方案问题（一次函数的实际应用） 2 考点讲练3：最大利润问题（一次函数的实际应用） 2 考点讲练4：行程问题（一次函数的实际应用） 3 考点讲练5：几何问题（一次函数的实际应用） 4 考点讲练6：其他问题（一次函数的实际应用） 5 中等题真题汇编练 6 培优题真题汇编练 10 考点讲练1：已知函数经过的象限求参数范围 【精讲题】（24-25九年级上·全国·期末）函数的图象在第一、二、四象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线过点，平面直角坐标系中有，，三点． （1）的值为 ． （2）若直线与三角形有交点，则的取值范围是 ． 【举一反三练2】（2024八年级上·全国·专题练习）一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 考点讲练2：分配方案问题（一次函数的实际应用） 【精讲题】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【举一反三练1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【举一反三练2】（22-23八年级下·河南平顶山·期末）小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是 （填序号） 考点讲练3：最大利润问题（一次函数的实际应用） 【精讲题】（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 【举一反三练1】（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【举一反三练2】（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 考点讲练4：行程问题（一次函数的实际应用） 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期中）已知图书馆到体育馆两地相距，上午时，张辉从出图书馆出发步行到体育馆地，时李丽从体育馆出发骑自行车到图书馆地，张辉和李丽两人离图书馆的距离（）与张辉出发后时间（）之间的函数关系如图所示，李丽到达图书馆地的时间为（ ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·期中）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距千米；乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；乙车出发后小时追上甲车；当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或．其中正确的结论有 ．（直接写出题号） 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，y与x之间的关系如图所示，则C的坐标为 ． 考点讲练5：几何问题（一次函数的实际应用） 【精讲题】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径作交x、y轴于A，B．我们规定：若这个平面内一点P，满足，则点P称为点A，B的关联点，下列各点中，既是A，B的关联点，又在上的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）将一次函数的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，和一次函数图像位于轴及上方的部分组成“”型折线，过点作轴的平行线，直线交“”型折线于点；若线段，则的值是（ ） A．4 B．2 C．－2 D．8 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上运动，当点到两点距离之差的绝对值最大时，点的坐标是 ． 考点讲练6：其他问题（一次函数的实际应用） 【精讲题】（24-25八年级上·河南郑州·期中）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有（    ） ①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力F与重力G成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A．①④ B．①②④ C．①② D．①③④ 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）某水果店销售某种新鲜水果，出售量与销售额（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款 元． 【举一反三练2】（23-24八年级上·河南郑州·期中）一次函数是刻画现实世界变量间关系的一个重要模型，其应用比比皆是．如：某弹簧的自然长度为，在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加，则与之间的关系可表示为，请你在生活中再找一个情境，使得变量和之间的关系满足 ． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）暑假的某一天，同学甲去同学乙家约乙一起去图书馆借书，然后一起回甲家学习，已知同学甲家、同学乙家、图书馆在同一直线上，图中的折线反应了甲离甲家的距离与时间之间的关系，下列说法正确的是（   ） A．乙家离图书馆的距离为 B．甲、乙一起回甲家的速度为 C．甲去乙家等待了 D．甲、乙在图书馆借书用了 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数的图象不经过第二象限，则下列说法中正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（2024八年级上·全国·专题练习）关于的函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则的取值范围是； ④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是． 其中正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 5．（2024·福建福州·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为   (    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）蜡烛高，点燃后平均每小时燃掉，则蜡烛点燃后剩余的高度与燃烧时间t（时）之间的关系式是 7．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）嘉嘉在超市购买橙子所付金额y（元）与一次性购买质量x（千克）之间的函数图象如图所示，若一次性购买6千克橙子，则所付金额为 ． 9．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）一次函数． （1）该函数的图象一定过定点 ； （2）若该函数图象不经过第四象限，则k的取值范围为 ． 10．（22-23九年级上·上海·阶段练习）若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是 ． 11．（24-25八年级上·安徽·期中）王老师准备购买甲品牌乒乓球个，到商场后发现还有乙品牌乒乓球可供选择，如果调整乒乓球的购买品种，每减少购买个甲品牌乒乓球，需增加购买个乙品牌乒乓球．设购买个甲品牌乒乓球，需购买个乙品牌乒乓球． (1)当减少购买个甲品牌乒乓球时，________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)已知甲品牌乒乓球每个元，乙品牌乒乓球每个元，若购进乙品牌乒乓球的数量不少于甲品牌乒乓球数量的倍，王老师应怎样购买才能保证本次购买费用最低？最低费用是多少？ 12．（24-25八年级上·安徽·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有如下关系： (1)请写出弹簧总长与所挂物体质量之间的函数关系式． (2)当挂重千克时弹簧的总长是多少？ (3)画出函数图像 13．（24-25八年级上·全国·期中）画出的图象，根据图象回答下列问题 (1)y的值随x值的增大而 ． (2)图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ． (3)当x 时，y＞0． 14．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图表示甲乙两船沿相同路线从A港出发到B港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题： (1)甲船出发 小时后乙船才出发；乙船的平均速度为 千米/小时． (2)请分别求出表示甲船和乙船行驶过程的函数解析式． (3)问乙船出发多长时间赶上甲船？ 培优题真题汇编练 15．（21-22八年级上·四川成都·期中）已知一次函数，随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）一次函数的图象经过第一、二、四象限，若点在该一次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 17．（24-25八年级上·全国·期末）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（厘米）与观察时间x（天）之间的关系，并画出如图所示的图象（是线段，射线平行于x轴）．现有下列说法：①从开始观察起，60天后该植物停止长高；②直线的函数表达式为；③观察第40天时，该植物的高度为14厘米；④该植物最高为16厘米．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是某蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量把这个空水池注满．则能大致表示水池内水的深度h和进水时间t之间的关系的图象是（） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在长方形中，，，E为边上一点，且，动点从点出发，沿路径运动，则三角形的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为线段上一动点，则的最小值为 ． 21．（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 22．（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 23．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为F，、、满足一定的数量关系．根据积累的经验和方法解决如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，点C在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且，A为，点B到x轴的距离为3，点P为射线上一点，过点P作于E，点P到的距离为1时，则点P的坐标为 ． 24．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示， （1）从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． （2）在 时，两仓库快递相差件（填具体时间，如）． 25．（22-23八年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的平行线，分别交的图象于点，交的图象于点，连接． (1)求与的值； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 26．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是直线在第二象限内的一个动点，在点P的运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在（2）的情况下，当点P运动到什么位置时，的面积为？ 27．（24-25八年级上·安徽·期中）近些年，人们节能环保和健身意识不断增强，绿色交通工具越来越受到人们的喜爱，现有一队山地骑行爱好者准备一同去购买某品牌山地自行车．已知该品牌山地自行车的单价为元，如果一次性购买辆以上，超过辆的部分打八折． 购买数量辆 付款金额元 (1)根据题意，填写表格： (2)设一次性购买该品牌自行车辆，付款金额为元，求关于的函数表达式； (3)若小李一次性购买该品牌自行车花了元，则他购买了几辆？ 28．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． (1)试确定种类型的店面的数量范围； (2)通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《一次函数》】 6.4 用一次函数解决问题 （6个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：已知函数经过的象限求参数范围 1 考点讲练2：分配方案问题（一次函数的实际应用） 3 考点讲练3：最大利润问题（一次函数的实际应用） 5 考点讲练4：行程问题（一次函数的实际应用） 8 考点讲练5：几何问题（一次函数的实际应用） 11 考点讲练6：其他问题（一次函数的实际应用） 15 中等题真题汇编练 17 培优题真题汇编练 26 考点讲练1：已知函数经过的象限求参数范围 【精讲题】（24-25九年级上·全国·期末）函数的图象在第一、二、四象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质及解一元一次不等式组，根据函数与系数的关系得到，解不等式组即可得出答案 【规范解答】函数的图象在第一、二、四象限， ， 解得， 故答案为：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知直线过点，平面直角坐标系中有，，三点． （1）的值为 ． （2）若直线与三角形有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 2 或 【思路点拨】本题考查一次函数的图象及性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）将点代入直线l的解析式中，即可求解； （2）直线l过定点，分别求出直线l过点A，过点B时k的值，再根据图象即可解答． 【规范解答】解：（1）∵直线过点， ∴． 故答案为：2； （2）由（1）可知直线过定点， 当直线l过点时，如图， 则， 解得； 当直线l过点时，如图， ∴直线l解析式为，即， ∵直线与三角形有交点， ∴或． 故答案为：或 【举一反三练2】（2024八年级上·全国·专题练习）一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象和正比例函数与其系数的关系；根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【规范解答】解：A、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； B、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，故该选项正确，符合题意； C、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； D、没有正比例函数图象，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 考点讲练2：分配方案问题（一次函数的实际应用） 【精讲题】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【规范解答】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【规范解答】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800米， 故选：C． 【举一反三练2】（22-23八年级下·河南平顶山·期末）小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是 （填序号） 【答案】①③④ 【思路点拨】根据题中已知条件，求出，然后和相比较，从而得出正确结论． 【规范解答】①、，正确，符合题意； ②、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对，不符合题意； ③、当时，即，解之得．所以当累计购物超150元时，选择甲商场一定优惠些，符合题意； ④、根据题意，所以，符合题意； 故答案为：①③④． 考点讲练3：最大利润问题（一次函数的实际应用） 【精讲题】（23-24八年级下·河北唐山·期末）某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为 ．(其中) 【答案】9 【思路点拨】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 【规范解答】解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 【举一反三练1】（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【思路点拨】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【规范解答】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 【举一反三练2】（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 【答案】C 【思路点拨】根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 【规范解答】A、根据图①可得第25天的销售量为200件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，日销售利润为（元）； 当时，日销售利润为（元）， ∴第20天和第30天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润为（元）， 当时，日销售利润为（元）． ∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 考点讲练4：行程问题（一次函数的实际应用） 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期中）已知图书馆到体育馆两地相距，上午时，张辉从出图书馆出发步行到体育馆地，时李丽从体育馆出发骑自行车到图书馆地，张辉和李丽两人离图书馆的距离（）与张辉出发后时间（）之间的函数关系如图所示，李丽到达图书馆地的时间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据图象先求出张辉离图书馆的距离与时间的函数关系式，再求出李丽离图书馆的距离与时间的函数关系式，然后令求出即可． 【规范解答】解：依据题意，设张辉离图书馆的距离与时间的函数关系式为， 把，代入，得： ， 解得：， 张辉离图书馆的距离与时间的函数关系式为， 当时，， 设李丽离图书馆的距离与时间的函数关系式为， 把，和，代入，得： ， 解得：， 李丽离图书馆的距离与时间的函数关系式为， 令，于是有： ， 解得：， 李丽到达图书馆地的时间为， 故选：． 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·期中）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距千米；乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；乙车出发后小时追上甲车；当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或．其中正确的结论有 ．（直接写出题号） 【答案】 【思路点拨】本题考查了从函数的图象获取信息，一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，可知当甲、乙两车到达地时就停止行驶了，甲、乙两车行驶路程即值在何值时不再变化，该值即为，两城之间的距离，从而判断； 由轴表示的是时间，结合甲、乙的图象可以判断； 由图象上点的坐标，利用待定系数法求出甲、乙两条直线对应的函数解析式，进而求出两车相遇的时间，从而判断； 分为两车行驶过程中相遇后相距千米，乙到达城，两车相距千米，从而判断，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】解：图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ∴， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得， 解得， ∴， 令可得：，解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故不正确； 当乙追上甲后，令，解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，，解得， ∴当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或．故正确； 综上可知正确的有， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，y与x之间的关系如图所示，则C的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查函数图像的应用，解题的关键是根据函数图像得到实际的含义，再列式求解．由函数图像在B点处可知50秒时甲追上乙，C点为甲到达目的地，D点为乙达到目的地，可设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程组，求出甲、乙的速度，再求出甲到达目的地所用的时间，即可求出点C的横坐标，求出甲到达目的地时，乙行驶的路程，即可求出点C的纵坐标． 【规范解答】解：依题意，设甲的速度为，乙的速度为， 由函数图像可列方程：， 解得：，， ∴甲的速度为， 甲到达目的地行驶的时间为， 此时乙距目的地的距离为： ， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 考点讲练5：几何问题（一次函数的实际应用） 【精讲题】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径作交x、y轴于A，B．我们规定：若这个平面内一点P，满足，则点P称为点A，B的关联点，下列各点中，既是A，B的关联点，又在上的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路点拨】本题考查了坐标与图形、线段垂直平分线的性质、一次函数的应用、勾股定理，由题意可得点在的垂直平分线上，连接，令的中点为，则，求出直线的解析式为，得到在上，作轴于，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【规范解答】解：由题意可得：，，， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 连接，令的中点为，则， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴在上， 作轴于，设，则， 由勾股定理可得， ∵， ∴， 解得：， ∴， 同理可得：， 综上所述，的坐标为，， 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）将一次函数的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，和一次函数图像位于轴及上方的部分组成“”型折线，过点作轴的平行线，直线交“”型折线于点；若线段，则的值是（ ） A．4 B．2 C．－2 D．8 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数与坐标轴交点等知识，结合折叠的性质确定直线的解析式是解题关键．首先确定点、坐标，设翻折后的直线与轴交于点，由折叠的性质可得，利用待定系数法解得直线的解析式，再将代入一次函数与，解得，，结合即可求得的值． 【规范解答】解：如下图， 对于一次函数， 令，，即， 令，可得，解得，即， 根据题意，将一次函数的图像位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方， 设翻折后的直线与轴交于点，由折叠的性质可得， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线交“”型折线于点，且， 可将代入一次函数，， 得，， ∴，即， 解得． 故选：D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上运动，当点到两点距离之差的绝对值最大时，点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形两边之差小于第三边，最短路径的计算，一次函数图象的运用，根据三角形三边数量关系可得，在中，，当点三点共线时，，此时距离之差的绝对值最大，设直线的解析式为，运用待定系数法求出解析式，令即可求解． 【规范解答】解：如图所示， 在中，， ∴当点三点共线时，，此时距离之差的绝对值最大， ∴设直线的解析式为，把点代入得， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 故答案为： ． 考点讲练6：其他问题（一次函数的实际应用） 【精讲题】（24-25八年级上·河南郑州·期中）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有（    ） ①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力F与重力G成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为． A．①④ B．①②④ C．①② D．①③④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用．由函数图象直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把代入函数解析式求值即可判断②． 【规范解答】解：由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大， 故①正确； ∵拉力F是重力G的一次函数， ∴设拉力F与重力G的函数解析式为， 则 ， 解得： ， ∴拉力F与重力G的函数解析式为， 当时，， 故②错误； 由图象知，拉力F是重力G的一次函数， 故③错误； ∵时，， 故④正确． 故选：A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）某水果店销售某种新鲜水果，出售量与销售额（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款 元． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出时与之间的函数关系式，再把代入计算可得答案． 【规范解答】解：当时，设与之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ， 当时，， 小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款元， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·河南郑州·期中）一次函数是刻画现实世界变量间关系的一个重要模型，其应用比比皆是．如：某弹簧的自然长度为，在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加，则与之间的关系可表示为，请你在生活中再找一个情境，使得变量和之间的关系满足 ． 【答案】小明家、游乐场、学校依次在一条直线上，游乐场距离学校千米，放学后小明与同学到游乐场玩了一段时间后，以每小时千米的速度快速步行回家，则小明距学校的距离（千米）与离开游乐场的时间（小时）之间的关系可表示为．（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，设置的情境两个变量之间的关系可用表示即可，理解函数的意义是解题的关键． 【规范解答】解：小明家、游乐场、学校依次在一条直线上，游乐场距离学校千米，放学后小明与同学到游乐场玩了一段时间后，以每小时千米的速度快速步行回家，则小明距学校的距离（千米）与离开游乐场的时间（小时）之间的关系可表示为， 故答案为：小明家、游乐场、学校依次在一条直线上，游乐场距离学校千米，放学后小明与同学到游乐场玩了一段时间后，以每小时千米的速度快速步行回家，则小明距学校的距离（千米）与离开游乐场的时间（小时）之间的关系可表示为． 中等题真题汇编练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查一次函数和正比例函数的图象．根据函数的图象经过的象限得到m，n，的取值范围，逐一判断即得． 【规范解答】图中的图象过原点，另一条直线是的图象， A．由函数的图象可得，由函数的图象可得，A正确； B．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，B错误； C．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，C错误； D．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，D错误． 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）暑假的某一天，同学甲去同学乙家约乙一起去图书馆借书，然后一起回甲家学习，已知同学甲家、同学乙家、图书馆在同一直线上，图中的折线反应了甲离甲家的距离与时间之间的关系，下列说法正确的是（   ） A．乙家离图书馆的距离为 B．甲、乙一起回甲家的速度为 C．甲去乙家等待了 D．甲、乙在图书馆借书用了 【答案】D 【思路点拨】本题考查了函数图象与行程问题的综合，根据图示分析进水判定即可求解． 【规范解答】解：A、乙家离图书馆的距离为，故选项错误，不符合题意； B、甲、乙一起回甲家的速度为，故选项错误，不符合题意； C、甲去乙家等待了，故选项错误，不符合题意； D、甲、乙在图书馆借书用了，故选项正确，符合题意； 故选：D ． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数的图象不经过第二象限，则下列说法中正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图象不经过第二象限得出，，求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，， ∴，， 故选：D． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）关于的函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则的取值范围是； ④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是． 其中正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征；①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限，则，，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【规范解答】①根据一次函数定义：当时，， 所以函数为一次函数，故①正确； ②，故函数过，故②正确； ③图象经过二、三、四象限，则，， 解得：，故③正确； ④函数图象与轴的交点始终在正半轴，则， 解得：，故④正确． 综上所述正确结论的序号是①②③④； 故选：D． 5．（2024·福建福州·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为   (    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【思路点拨】由图象经过第一、三、四象限可知求出，再根据不等式的性质得到，即可判断所处象限． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）蜡烛高，点燃后平均每小时燃掉，则蜡烛点燃后剩余的高度与燃烧时间t（时）之间的关系式是 【答案】 【思路点拨】本题主要考查函数关系式，找准等量关系是解题的关键，根据蜡烛点燃后剩余的高度＝蜡烛的高度﹣蜡烛燃烧的高度可列关系式． 【规范解答】解：由题意得蜡烛点燃后剩余的高度与燃烧时间t（时）之间的关系式为． 故答案为： 7．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键，据此求解即可． 【规范解答】解；∵直线经过第二、三、四象限， ∴， ∴， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）嘉嘉在超市购买橙子所付金额y（元）与一次性购买质量x（千克）之间的函数图象如图所示，若一次性购买6千克橙子，则所付金额为 ． 【答案】28元 【思路点拨】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出函数图象的解析式，再将x的值代入即可求解． 【规范解答】解：如图， 设所在直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所在直线的解析式为， 当时，， 若一次性购买6千克橙子，则所付金额为28元， 故答案为：28元． 9．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）一次函数． （1）该函数的图象一定过定点 ； （2）若该函数图象不经过第四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象与性质，以及函数图象与系数的关系，对于与y轴交于，若函数图象不经过第四象限，则，，根据相关性质求解即可． 【规范解答】解：（1）， 当时，， 该函数的图象一定过定点； （2）该函数图象不经过第四象限， ， ， 故答案为：；． 10．（22-23九年级上·上海·阶段练习）若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查一次函数图像与系数的关系、解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据题意得到，解之即可求出答案． 【规范解答】解：一次函数的图像不经过第二象限， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·安徽·期中）王老师准备购买甲品牌乒乓球个，到商场后发现还有乙品牌乒乓球可供选择，如果调整乒乓球的购买品种，每减少购买个甲品牌乒乓球，需增加购买个乙品牌乒乓球．设购买个甲品牌乒乓球，需购买个乙品牌乒乓球． (1)当减少购买个甲品牌乒乓球时，________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)已知甲品牌乒乓球每个元，乙品牌乒乓球每个元，若购进乙品牌乒乓球的数量不少于甲品牌乒乓球数量的倍，王老师应怎样购买才能保证本次购买费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)， (2)； (3)王老师购买甲品牌乒乓球个，乙品牌乒乓球，购买费用最低，最低费用为元 【思路点拨】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据“每减少购买个甲品牌乒乓球，需增加购买个乙品牌乒乓球”可直接列出函数关系式； （3）根据（2）中函数关系式可得，然后根据题意可进行求解 【规范解答】（1）解：由题意得：当减少购买个甲品牌乒乓球时，； 故答案为98；4； （2）解：由题意，， 与之间的函数表达式； （3）解：设王老师购买这两种品牌乒乓球要花费元， 则； ， ． ，随着的增大而减小， 当时，． 答：王老师购买甲品牌乒乓球个，乙品牌乒乓球，购买费用最低，最低费用为元． 12．（24-25八年级上·安徽·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有如下关系： (1)请写出弹簧总长与所挂物体质量之间的函数关系式． (2)当挂重千克时弹簧的总长是多少？ (3)画出函数图像 【答案】(1) (2)弹簧总长为 (3)见解析 【思路点拨】本题考查一次函数实际应用，已知自变量值求函数值，画函数图象等． （1）通过表中数值可求得为常量，也为常量，继而写出本题答案； （2）将挂重千克数值代入（1）中求得的函数解析式即可求出本题答案； （3）利用表中数值，描点连线即可作出图象． 【规范解答】（1）解：由表可知：， ， ， ， ， ， 为常量，也为常量． 弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式为： ； （2）解：当时，代入， 解得， 即弹簧总长为； （3）解：将表中点在平面直角坐标系中标出，如下图所示： ． 13．（24-25八年级上·全国·期中）画出的图象，根据图象回答下列问题 (1)y的值随x值的增大而 ． (2)图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ． (3)当x 时，y＞0． 【答案】(1)减小 (2)， (3) 【思路点拨】令，；令，，得到直线上的两点坐标，，描出这两点，然后连接这两个点得到函数的图象，再根据图象直接判断出答案． 【规范解答】（1）解：令，；令，，得到，，描出并连接这两个点，如图， 由图象可得图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小； 故答案为：减小 （2）解：由图象可得图象与轴的交点坐标是，与轴交点的坐标是； 故答案为：， （3）解：观察图象得，当时，． 故答案为： 14．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图表示甲乙两船沿相同路线从A港出发到B港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题： (1)甲船出发 小时后乙船才出发；乙船的平均速度为 千米/小时． (2)请分别求出表示甲船和乙船行驶过程的函数解析式． (3)问乙船出发多长时间赶上甲船？ 【答案】(1)2， (2)甲船行驶过程的函数解析式为，乙船行驶过程的解析式为 (3)乙船出发小时赶上甲船． 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据可以计算出甲船和乙船的速度； （2）待定系数法求解析式即可求解； （3）设乙船出发小时赶上甲船，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：由图象知，甲船出发2小时后乙船才出发； 甲船的速度为：千米/小时，乙船的速度为：千米/小时， 故答案为：2，； （2）解：设表示甲船行驶过程的解析式为， 将点代入得，， ∴甲船行驶过程的函数解析式为：， 设表示乙船行驶过程的解析式为：，将代入得， ， 解得： ∴乙船行驶过程的解析式为：； （3）解：设乙船出发小时赶上甲船， ， 得， 答：乙船出发小时赶上甲船． 培优题真题汇编练 15．（21-22八年级上·四川成都·期中）已知一次函数，随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质和解一元一次不等式组，根据题意列出不等式组，求解即可得出答案． 【规范解答】解：∵一次函数，函数值y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 16．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）一次函数的图象经过第一、二、四象限，若点在该一次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和系数的关系以及增减性是解题关键．根据一次函数图象经过的象限，得出，再利用一次函数的增减性，即可判断出函数值的大小． 【规范解答】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 17．（24-25八年级上·全国·期末）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（厘米）与观察时间x（天）之间的关系，并画出如图所示的图象（是线段，射线平行于x轴）．现有下列说法：①从开始观察起，60天后该植物停止长高；②直线的函数表达式为；③观察第40天时，该植物的高度为14厘米；④该植物最高为16厘米．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查一次函数图象与实际问题的综合运用，掌握从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题的关键．根据题意，设所在直线的解析式为，从函数图象中可得，，运用待定系数法求出解析式，当时，当时，分别求出对应点的函数值，由此即可求解． 【规范解答】解：根据题意，设所在直线的解析式为，且点，， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， 当时，；当时，，即； ∵射线平行于轴， ∴， ∴结论①，从开始观察起，天后该植物停止长高，故结论①错误； 结论②，所在直线的函数表达式为，故结论②正确； 结论③，观察第天时，即当时，，该植物的高度为厘米，故结论③正确； 结论④，当时，，该植物最高为厘米，故结论④正确； 综上所述，正确的有②③④，共个， 故选：C． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是某蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量把这个空水池注满．则能大致表示水池内水的深度h和进水时间t之间的关系的图象是（） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象与实际应用相结合，首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故与的关系变为先快后慢，能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型，再结合实际意义得到正确结论是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的深度与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：B． 19．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在长方形中，，，E为边上一点，且，动点从点出发，沿路径运动，则三角形的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点P的位置的不同分三段列式求出y与x的关系式是解题的关键． 求出的长，然后分三种情况讨论：①点P在上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式；②点P在上运动时，根据式整理得到y与x的关系式；③点P在上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系，根据解析式即可得到函数的图象． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 当点P在上运动，即时，， ， ∴（）， 当点P在上运动，即时， ，， ∴ ， ∴（） 当点P在上运动，即时，， ， ∴， ∴（）， 综上所述， 的面积与点经过的路径长之间的函数关系式为， ∴当时，； 当时，； 当时，． ∴选项D的图象符合题意． 故选：D 20．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 【规范解答】解：作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 设直线的解析式为，代入点，，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由可设直线的解析式为，代入点得： ，即， 直线的解析式为， 由， 解得， ， ， ∴根据中点坐标公式可得：点E的横坐标为，纵坐标为， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【思路点拨】本题考查一次函数的性质，先一次函数的图象过第一，三，四象限得到，然后根据一次函数图象的性质求解即可． 【规范解答】解：∵直线经过第一，三，四象限， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 22．（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，灵活应用轴对称的性质，勾股定理解题是关键． 分两种情况讨论：当A点落在y轴正半轴上处时，在中，，求出m；当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 在中， ，求出m；即可求解． 【规范解答】解：∵， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 如图1，当A点落在y轴正半轴上处时，连结， ∵A与关于对称， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图2，当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 由对称可得，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； 综上所述：C点坐标为或， 故答案为：或． 23．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为F，、、满足一定的数量关系．根据积累的经验和方法解决如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，点C在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且，A为，点B到x轴的距离为3，点P为射线上一点，过点P作于E，点P到的距离为1时，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】待定系数法求出直线的解析式为，再分两种情况：当点在线段上时，过点作于，当点在线段的延长线上时，过点作于，结合三角形面积公式计算即可得解． 【规范解答】解：∵A为， ∴， ∵点B到x轴的距离为3，点B在y轴正半轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点C在x轴正半轴上， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，当点在线段上时，过点作于， ， ∵， ∴， ∵，点P到的距离为1时， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得，此时； 当点在线段的延长线上时，过点作于， ∵， ∴， ∵，点P到的距离为1时， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得，此时； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 24．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示， （1）从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． （2）在 时，两仓库快递相差件（填具体时间，如）． 【答案】 或 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）待定系数法求甲的函数解析式为；乙的函数解析式为，令，计算求解即可； （2）由题意知，分当时，当时，两种情况求解作答即可． 【规范解答】（1）解：设甲的函数解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴甲的函数解析式为； 同理，乙的函数解析式为， 令， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意知，当时， 解得，； 当时， 解得，； ∴在或时，两仓库快递相差件， 故答案为：或． 25．（22-23八年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象相交于点，过点作轴的平行线，分别交的图象于点，交的图象于点，连接． (1)求与的值； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，掌握一次函数的图像和性质是解题的关键是； （1）先把点A的坐标代入一次函数解析式进行求解，然后再代入正比例函数解析式进行求解即可； （2）由点的坐标可得出点、的坐标，进而可得出的长度，由的长度结合三角形的面积公式即可求出的面积； （3）假设存在，当点在轴上时，设点的坐标为，，分及两种情况考虑，根据两点间的距离公式结合等腰三角形的性质，即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：把点代入一次函数得， 解得：， ∴， 把代入正比例函数得， ∴； （2）解：轴，， 把代入中， 解得：， ， 把代入中， 解得：， ， ， 又， ， ， （3）假设存在，当点在轴上时，设点的坐标为， ， ， 是以为腰的等腰三角形， 分及两种情况考虑； 当时，有， 解得：， 点的坐标为或 当时，有， 解得：，（舍去）， 点的坐标为或或 26．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是直线在第二象限内的一个动点，在点P的运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在（2）的情况下，当点P运动到什么位置时，的面积为？ 【答案】(1) (2) (3)点P运动到点处时，的面积为 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得直线的解析式为，则P点的坐标为，在中，边上的高是，当点P在第二象限时，，再求出，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （3）利用（2）的结论，列出方程即可解决问题． 【规范解答】（1）解：直线与轴交于点， ， ； （2）解：， 直线的解析式为， 点P在直线上， P点的坐标为， ∴在中，边上的高是， 当点P在第二象限时，， 点A的坐标为， ． ． （3）解：由（2）得， 当时，， 解得，符合题意， 当时，， 故点P运动到点处时，的面积为． 27．（24-25八年级上·安徽·期中）近些年，人们节能环保和健身意识不断增强，绿色交通工具越来越受到人们的喜爱，现有一队山地骑行爱好者准备一同去购买某品牌山地自行车．已知该品牌山地自行车的单价为元，如果一次性购买辆以上，超过辆的部分打八折． 购买数量辆 付款金额元 (1)根据题意，填写表格： (2)设一次性购买该品牌自行车辆，付款金额为元，求关于的函数表达式； (3)若小李一次性购买该品牌自行车花了元，则他购买了几辆？ 【答案】(1)； (2) (3)他购买了辆该品牌自行车 【思路点拨】本题是一次函数实际应用问题，考查了列出分段函数的关系式和经过分段讨论求自变量的值． （1）根据题意按规则计算即可； （2）以为临界点分段表示y关于x的函数表达式； （3）确定8320为购买两辆以上自行车，根据函数取值范围构造方程． 【规范解答】（1）2辆山地自行车的付款为：元； 4辆车山地自行车的付款为：． 故答案为：3200；5760； （2）解：当时，； 当时，， ； （3）解：设小李一次性购买了辆该品牌自行车， ， ， 解得， 答：他购买了辆该品牌自行车． 28．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． (1)试确定种类型的店面的数量范围； (2)通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金． 【答案】(1)种类型店面的数量为，且为整数 (2)应建造种类型的店面40间，最高租金24960 【思路点拨】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及所求量的等量关系．注意本题的不等关系为：建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的；并会根据函数的单调性求最值问题． （1）关键描述语为：全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的．关系式为：种类型店面面积种类型店面面积；种类型店面面积种类型店面面积，进而列出不等式组求解即可； （2）店面的月租费种类型店面间数种类型店面间数，然后按取值范围来求解． 【规范解答】（1）解：设种类型店面的数量为间，则种类型店面的数量为间， 根据题意得， 解之得， 种类型店面的数量为，且为整数； （2）设应建造种类型的店面间，则店面的月租费为 ， 又， ∴时，W最大为． 为使店面的月租费最高，应建造种类型的店面40间，最高租金24960． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$