6.3 一次函数的图像（14个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《一次函数》】 6.3 一次函数的图像 （14个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：正比例函数的图象 1 考点讲练2：正比例函数的性质 2 考点讲练3：判断一次函数的图象 2 考点讲练4：根据一次函数解析式判断其经过的象限 3 考点讲练5：已知函数经过的象限求参数范围 3 考点讲练6：一次函数图象与坐标轴的交点问题 4 考点讲练7：画一次函数图象 4 考点讲练8：一次函数图象平移问题 5 考点讲练9：判断一次函数的增减性 5 考点讲练10：根据一次函数增减性求参数 6 考点讲练11：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 6 考点讲练12：比较一次函数值的大小 7 考点讲练13：一次函数的规律探究问题 7 考点讲练14：求一次函数解析式 8 中等题真题汇编练 9 培优题真题汇编练 12 考点讲练1：正比例函数的图象 【精讲题】（23-24八年级上·全国·单元测试）函数中，值随值的增大而增大，则图象经过第 象限． 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限 【举一反三练2】（24-25八年级上·上海·单元测试）已知点、在函数的图象上，那么的值为 ． 考点讲练2：正比例函数的性质 【精讲题】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，则直线经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）若点在正比例函数的图象上，则m的值是（   ） A． B． C．1 D．-1 【举一反三练2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知是正比例函数，若点，都在该函数图象上，则 ．（用“”“”或“”填空） 考点讲练3：判断一次函数的图象 【精讲题】（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥． （1）y随x的增大而增大的有 ；（2）y随x的增大而减小的有 ；（3）图象互相平行的有 ；（4）与x轴交于正半轴的有 ；（5）与y轴交于正半轴的有 ． 考点讲练4：根据一次函数解析式判断其经过的象限 【精讲题】（23-24八年级下·四川广安·期末）一次函数的图象不经过第 象限． 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川达州·期中）关于直线l： ，下列说法不正确的是（      ） A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限 C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·期末）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点讲练5：已知函数经过的象限求参数范围 【精讲题】（23-24八年级下·福建福州·期中）从，0，1这三个数中，选取两个不同的数作为一次函数的系数k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过一、三、四象限．则一次函数为 ． 【举一反三练1】（23-24八年级上·四川成都·期末）一次函数的图象不经过第一象限，且点，在该图象上， 则有 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【举一反三练2】（22-23八年级上·吉林通化·期末）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则下列判断中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点讲练6：一次函数图象与坐标轴的交点问题 【精讲题】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且y随x的增大而增大，则a的值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，则的周长为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数，与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 考点讲练7：画一次函数图象 【精讲题】（23-24八年级上·广东梅州·期中）若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过 象限． 【举一反三练1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论： ①它的图象由直线向下平移2个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【举一反三练2】（23-24九年级上·北京西城·开学考试）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为 ；若m，n分别为方程和的解，则m，n的大小关系是 ．    考点讲练8：一次函数图象平移问题 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期中）对于直线的图象，下列说法正确的是（    ） A．可以由直线沿轴向下平移4个单位得到 B．与直线互相平行 C．与直线的交点为 D．当时， 【举一反三练1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象沿y轴向下平移5个单位，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 考点讲练9：判断一次函数的增减性 【精讲题】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的函数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23八年级下·四川眉山·阶段练习）已知点在直线为常数）上，则 （填“”“ ”或“=”）． 【举一反三练2】（23-24八年级上·陕西榆林·期中）已知一次函数的图象经过点，，则 ．（填“”“”或“”） 考点讲练10：根据一次函数增减性求参数 【精讲题】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知点，是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点讲练11：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【精讲题】（2024·宁夏银川·模拟预测）已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 【举一反三练1】（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知实数x满足：，若函数的最大值为m，最小值为n，则的值等于 ． 【举一反三练2】（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 考点讲练12：比较一次函数值的大小 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象上两点，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【举一反三练1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数的图像经过三个点、、，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若，是直线上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 考点讲练13：一次函数的规律探究问题 【精讲题】（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ． 考点讲练14：求一次函数解析式 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期中）小虎在画一次函数的图象时列出了如下表格，小明看到后说后面4个函数值有一个值求错了．这个错误的函数值是（ ） … 0 1 2 … … 8 5 2 … A．2 B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）将一次函数（是常数且）的图象向上平移4个单位长度，平移后的函数图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．或 【举一反三练2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）请写出一个经过点，且随着增大而增大的一次函数： ． 中等题真题汇编练 1．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）已知点都在一次函数的图象上，且，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）在下列叙述中：①正比例函数的图象经过二、四象限；②一次函数中，随的增大而减小；③函数中，当时，函数值；④一次函数的自变量的取值范围是全体实数．正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·全国·期中）点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 4．（24-25八年级上·全国·期中）点，点是一次函数图像的两个点，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时， 6．（24-25八年级上·安徽·期中）直线的图象如图所示，则方程的解为 ． 7．（24-25八年级上·全国·期中）一次函数的图象与正比例函数的图象平行且与直线交于轴上的一点，则这个一次函数的表达式为 ． 8．（24-25八年级上·全国·期末）已知点，都在直线上，则、大小关系是 ． 9．（24-25八年级上·全国·期中）直线与两坐标轴交点如图，则 ， ． 10．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）直线经过点，． （1）若，则的取值范围是 ． （2）若，，，则的取值范围是 ． 11．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)若函数的图象平行直线，求的值； (2)若这个函数是不经过原点的一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围． 12．（24-25八年级上·全国·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)点在直线上，是否存在点使得的面积为？如果存在，求所有满足条件的点的坐标． 13．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知点、点．    (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在直线上有点P，满足点P到x轴的距离等于6，求点P的坐标． 14．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在中，若y是x的正比例函数，求这个函数解析式． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·安徽·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   17．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象过点 B．值随着值增大而减小 C．它的图象经过第二象限 D．当时， 19．（24-25八年级上·全国·期中）正比例函数的图象经过的象限有（  ） A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二，三象限 D．二，三，四象限 20．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形，，，，按如图所示的方式放置，其中点，，，，均在一次函数的图象上，点，，，，均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 21．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ． 22．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线：，直线：分别交y轴于A，B两点，过B作y轴垂线交直线于，过作垂线交于，再过，作垂线交直线于，过作垂线交于，…依次类推，则的坐标是 ． 23．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 ．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为 ． 24．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线L：y＝分别与x、y轴交于M、N两点，若在x轴上存在一点P，使是以为底的等腰三角形，则点P的坐标是 ． 25．（24-25八年级上·全国·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点 (1)求该一次函数的函数表达式； (2)根据（1）的结果，对于，请说明随的变化情况； (3)若一次函数图象上有两点、，，求的值； 26．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标． (2)已知与关于直线对称．若点的坐标为，画出直线并写出直线的函数表达式． 注：点，，及点，，分别是点，，按题中要求变换后对应得到的点． 28．（24-25八年级上·全国·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点 B． (1)直接写出的面积； (2)若C为y轴上一点，且的面积是，求点C的坐标； (3)若P是x轴上一点，且，求P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第6章《一次函数》】 6.3 一次函数的图像 （14个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：正比例函数的图象 1 考点讲练2：正比例函数的性质 3 考点讲练3：判断一次函数的图象 4 考点讲练4：根据一次函数解析式判断其经过的象限 7 考点讲练5：已知函数经过的象限求参数范围 8 考点讲练6：一次函数图象与坐标轴的交点问题 9 考点讲练7：画一次函数图象 11 考点讲练8：一次函数图象平移问题 13 考点讲练9：判断一次函数的增减性 14 考点讲练10：根据一次函数增减性求参数 16 考点讲练11：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 17 考点讲练12：比较一次函数值的大小 19 考点讲练13：一次函数的规律探究问题 20 考点讲练14：求一次函数解析式 23 中等题真题汇编练 25 培优题真题汇编练 33 考点讲练1：正比例函数的图象 【精讲题】（23-24八年级上·全国·单元测试）函数中，值随值的增大而增大，则图象经过第 象限． 【答案】一、三 【思路点拨】本题主要考查了正比例函数的图像和性质，由已知条件了得出，且函数经过点，结合正比例函数的图像和性质即可得出答案． 【规范解答】解：∵函数中，值随值的增大而增大， ∴，且函数经过点， ∴图象经过第一、三象限， 故答案为：一、三． 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数的图象如图所示，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【思路点拨】本题考查一次函数的性质，根据一次函数，函数值随自变量的增大而增大，可以得到，再根据图像可以得到，即可得出，然后根据正比例函数的性质，即可得到函数的图象经过哪几个象限． 【规范解答】解：一次函数，函数值随自变量的增大而增大， ， 交y轴负半轴， ， ∴ 函数的图象经过二、四象限， 故选：B． 【举一反三练2】（24-25八年级上·上海·单元测试）已知点、在函数的图象上，那么的值为 ． 【答案】 【思路点拨】先把，两点的坐标代入函数，求出的值，进而可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【规范解答】解：点、在函数的图象上， ，， ， ． 故答案为：． 考点讲练2：正比例函数的性质 【精讲题】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，则直线经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，根据正比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】∵， ∴， ∴正比例函数图象的经过第一、三象限， 故选：． 【举一反三练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）若点在正比例函数的图象上，则m的值是（   ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是正比例函数的性质，把代入，从而可得答案． 【规范解答】解：把代入， 得 故选C． 【举一反三练2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知是正比例函数，若点，都在该函数图象上，则 ．（用“”“”或“”填空） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了正比例函数的性质，依据题意，先由是正比例函数，求出，从而，再利用正比例函数的性质，可得出随的增大而减小，最后结合，即可得出． 【规范解答】解：∵是正比例函数， ，且． ． ． 正比例函数的函数值随的增大而减小， 又点，都在正比例函数的图象上，且， ． 故答案为：． 考点讲练3：判断一次函数的图象 【精讲题】（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【规范解答】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意； 故选：． 【举一反三练1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【规范解答】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥． （1）y随x的增大而增大的有 ；（2）y随x的增大而减小的有 ；（3）图象互相平行的有 ；（4）与x轴交于正半轴的有 ；（5）与y轴交于正半轴的有 ． 【答案】 ②③⑥ ①④⑤ ②⑥ ①② ①③ 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大；反之，y随x的增大而减小．当时，与y轴交于正半轴，反之与y轴交于负半轴．根据一次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【规范解答】解：①， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ② ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ③， ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ④， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ⑤， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴该函数经过原点； ⑥， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴该函数经过原点； ∵和的k值相等， ∴和互相平行； （1）y随x的增大而增大的有②③⑥； （2）y随x的增大而减小的有①④⑤； （3）图象互相平行的有②⑥； （4）与x轴交于正半轴的有①②； （5）与y轴交于正半轴的有①③． 故答案为：②③⑥；①④⑤；②⑥；①②；①③． 考点讲练4：根据一次函数解析式判断其经过的象限 【精讲题】（23-24八年级下·四川广安·期末）一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数中，，得出一次函数的图象经过第一、二、三象限，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴一次函数的图象不经过第四象限， 故答案为：四． 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川达州·期中）关于直线l： ，下列说法不正确的是（      ） A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限 C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 对于A，C两选项，根据函数图象上的点一定满足函数解析式，分别将两点的横坐标代入解析式，计算y值看是否等于纵坐标，即可； 再利用一次函数的k值的正负决定图象经过的象限及增减性，即可判断B、D的正误． 【规范解答】解：A、当时，，即点在l上，故A正确，不符合题意； B、当时，经过第一、二、三象限，故B不正确，符合题意； C、当时，，即经过定点，故C正确，不符合题意； D、当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【举一反三练2】（24-25八年级上·全国·期末）一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是一次函数的性质，先根据一次函数中，判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论． 【规范解答】解：∵一次函数中，， ∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 考点讲练5：已知函数经过的象限求参数范围 【精讲题】（23-24八年级下·福建福州·期中）从，0，1这三个数中，选取两个不同的数作为一次函数的系数k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过一、三、四象限．则一次函数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与其系数之间的关系，对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此求解即可． 【规范解答】解：∵一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过一、三、四象限， ∴， ∴一次函数为， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24八年级上·四川成都·期末）一次函数的图象不经过第一象限，且点，在该图象上， 则有 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【思路点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质．由一次函数的图象不经过第一象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出，，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【规范解答】解：一次函数的图象不经过第一象限， 即一次函数的图象经过第二、三、四象限或一次函数的图象经过第二、四象限， ，， 随的增大而减小， 又点，在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 【举一反三练2】（22-23八年级上·吉林通化·期末）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则下列判断中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据图象在坐标平面内的位置确定k，b的取值范围即可解题． 【规范解答】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴，， 故选B． 考点讲练6：一次函数图象与坐标轴的交点问题 【精讲题】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且y随x的增大而增大，则a的值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象的性质，解不等式组，根据增减性可得一次项系数大于0，根据图象与y轴的负半轴相交可得常数项小于0，则，解不等式组即可得到答案． 【规范解答】解：∵一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴四个选项中只有B选项中的值符合题意， 故选：B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，则的周长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，掌握求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 先令求出x的值，令求出y的值，得出A、B两点的坐标，再分别求出、、的长，将它们相加即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴当时，，则A的坐标， 当时，，则B的坐标， ∴，，， ∴的周长． 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数，与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，与x轴的交点，则，把代入函数表达式，即可求得交点坐标． 【规范解答】解：当时，即， 解得：， ∴一次函数，与x轴的交点坐标为， 故选：D． 考点讲练7：画一次函数图象 【精讲题】（23-24八年级上·广东梅州·期中）若一次函数的图象经过和点，则这个函数的图象不经过 象限． 【答案】四 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象．在函数中运用数形结合的思想是解题的关键． 根据一次函数图象过、，在平面直角坐标系中作一次函数图象，然后作答即可． 【规范解答】解：如图， ∵一次函数的图象经过利点， ∴函数的图象不经过第四象限， 故答案为：四． 【举一反三练1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论： ①它的图象由直线向下平移2个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数图象性质以及应用，根据当时，则；当，则，作图，运用数形结合思想得出的图象是分段函数，判断①，当时，y随着x的增大而减小．当时，y随着x的增大而增大，判断②③，结合图象，即可判断④，进行作答． 【规范解答】解： 当时，则； 当时，则； 如图： ∴的图象是分段函数，不是由直线向下平移2个单位所得． 故①是错误的； 结合图象，当时，y随着x的增大而减小． 当时，y随着x的增大而增大． 故②是错误的， 故③是正确的； 结合图象，函数有最小值． 故④是正确的； 故选：D． 【举一反三练2】（23-24九年级上·北京西城·开学考试）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为 ；若m，n分别为方程和的解，则m，n的大小关系是 ．    【答案】 3 【思路点拨】利用函数和的图象交点个数判断方程的解的个数，作出直线，然后通过比较直线与函数和的图象的交点位置判断m、n的大小． 【规范解答】解：由函数图象可知，函数和的图象有三个交点， 所以方程的解的个数为3； 作直线，如图，函数的图象与直线的交点在的图象与直线的交点的右侧， 则． 故答案为3；．    考点讲练8：一次函数图象平移问题 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期中）对于直线的图象，下列说法正确的是（    ） A．可以由直线沿轴向下平移4个单位得到 B．与直线互相平行 C．与直线的交点为 D．当时， 【答案】D 【思路点拨】本题考查一次函数的性质，两条直线平行的条件等知识．利用一次函数的性质一一判断即可． 【规范解答】解：A选项的说法错误，应该是可以由直线沿轴向上平移4个单位得到； B选项的说法错误．的值不同，两直线不平行； C选项的说法错误．联立得，解得，则， 与直线的交点为； D选项的说法正确． 故选：D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的平移，正比例函数的定义，根据平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”可得平移后的函数图形，再根据正比例函数的定义及一般式“”即可求解． 【规范解答】解：将一次函数的图象向上平移个单位长度后的函数解析式为， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象沿y轴向下平移5个单位，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数图象的平移，难度不大，要注意上下平移后k值不变．根据平移的规律 “上加下减，左加右减”进行解答即可． 【规范解答】解：一次函数的图象沿y轴向下平移5个单位， 所得图象的函数解析式为：， 故选：B． 考点讲练9：判断一次函数的增减性 【精讲题】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数图象的性质，根据一次函数中，当时，y的值随x值的增大而减小，由此即可求解． 【规范解答】解：在一次函数中，当时，y的值随x值的增大而减小， ∴符合题意可得只有D选项， 故选：D ． 【举一反三练1】（22-23八年级下·四川眉山·阶段练习）已知点在直线为常数）上，则 （填“”“ ”或“=”）． 【答案】 【思路点拨】先根据一次函数中判断出函数的增减性，再根据进行解答即可． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 【规范解答】解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·陕西榆林·期中）已知一次函数的图象经过点，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数解析式得到随的增大而增大，即可判断与的大小． 【规范解答】解：一次函数的图象经过点，， 又，， ， 故答案为：． 考点讲练10：根据一次函数增减性求参数 【精讲题】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由且，可得出y随x的增大而减小，结合一次函数的性质可得出求解即可． 【规范解答】解：∵点、点在一次函数图象上，，， ∴y随x的增大而减小， ∴，解得：， ∴m的取值范围是． 故选A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为 【答案】6或/或6 【思路点拨】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键．结合一次函数的性质，对m分类讨论，当时，一次函数y随x增大而增大，此时，；当时，一次函数y随x增大而减小，此时，；据此利用待定系数法求解即可． 【规范解答】解：当时，一次函数y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得， 当时，一次函数y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得，符合题意． 综上可知，m的值为6或． 故答案为：6或． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知点，是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握点与解析式的关系是解题的关键．将，代入函数，求出，再表示出，由即可求解． 【规范解答】点，是一次函数图象上不同的两个点， ， ， ， ， 即， ， 故选：D． 考点讲练11：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【精讲题】（2024·宁夏银川·模拟预测）已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数与坐标轴交点问题等知识点，灵活运用一次函数性质成为解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知实数x满足：，若函数的最大值为m，最小值为n，则的值等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查解不等式和去绝对值、一次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用，先解得不等式的解，再结合不等式求得各自的最大值和最小值，即可求得答案． 【规范解答】解：， 去分母得，， 去括号合并同类项得，，解得， 当，，此时最大值为，最小值为， 当，， 则函数的最大值为，最小值为，， 故答案为：． 【举一反三练2】（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 【答案】< 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【规范解答】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 考点讲练12：比较一次函数值的大小 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象上两点，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，牢记“随的增大而增大；随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，可求出． 【规范解答】解：∵， ∴随的增大而减小， 又， ， 故选：A． 【举一反三练1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数的图像经过三个点、、，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图像的性质，即：当时，y的值随着x的值增大而减小；当时，y的值随着x的值增大而增大，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据，可得y的值随着x的值增大而减小，然后进行比较即可． 【规范解答】解：∵， ∴y的值随着x的值增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若，是直线上的两点，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，熟知上述性质是解题的关键．根据一次函数的性质，即可解答． 【规范解答】解：， 直线上的点，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 考点讲练13：一次函数的规律探究问题 【精讲题】（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标． 【规范解答】解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点，可知点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，的坐标为， 点与点关于直线对称．故同理可得点的坐标为，的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，，点的坐标为，． 的坐标，， 故答案为：，． 【举一反三练1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、、等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【规范解答】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，， ∴，，，（n为自然数）， ∵， 点的坐标为，即． 故选：C． 【举一反三练2】（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，数字类的规律性问题，解题的关键在于能够求出．先利用一次函数与坐标轴交点的求解方法求出（，0），（0，），则，，从而得到，由此求解即可． 【规范解答】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 考点讲练14：求一次函数解析式 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期中）小虎在画一次函数的图象时列出了如下表格，小明看到后说后面4个函数值有一个值求错了．这个错误的函数值是（ ） … 0 1 2 … … 8 5 2 … A．2 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，设一次函数解析式为，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再分别代入，求出y值，比较后即可得出结论． 【规范解答】解：设一次函数的表达式为：，由题意表中前面2组值是正确的， 得：，解得：， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 这个错误的函数值为， 故选：B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）将一次函数（是常数且）的图象向上平移4个单位长度，平移后的函数图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．或 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式，然后代入点根据待定系数法即可求得． 【规范解答】解：一次函数（是常数且）的图象向上平移4个单位长度，则函数解析式变成：， ∵平移后的函数图象经过点， ∴， 解得：． 故选：B． 【举一反三练2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）请写出一个经过点，且随着增大而增大的一次函数： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的性质以及求一次函数解析式，解题关键是掌握待定系数法求一次函数解析式的方法．设一次函数解析式为，结合随着增大而增大，易知，取，将点代入求解，即可获得答案． 【规范解答】解：设一次函数解析式为， ∵随着增大而增大， ∴， ∵一次函数的图像经过点，取， ∴，解得， ∴一次函数的解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 中等题真题汇编练 1．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）已知点都在一次函数的图象上，且，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】因为一次函数的，得出随的增大而减小，结合，得出，据此即可作答．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出，的值是解题的关键． 【规范解答】解：依题意，一次函数的， 随的增大而减小， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）在下列叙述中：①正比例函数的图象经过二、四象限；②一次函数中，随的增大而减小；③函数中，当时，函数值；④一次函数的自变量的取值范围是全体实数．正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟记一次函数图象上的坐标特征，一次函数图象的性质是解题的关键． ①利用正比例函数的性质判断即可； ②利用一次函数的性质判断即可； ③将代入中，计算即可； ④利用一次函数的性质判断即可． 【规范解答】解：①正比例函数的图象经过一、三象限，故①错误； ②一次函数中，随的增大而增大，故②错误； ③函数中，当时，函数值为，故③正确； ④一次函数的自变量的取值范围是全体实数，故④正确． 则正确的个数为2个． 故选：B． 3．（24-25八年级上·全国·期中）点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由得到随的增大而减小，由即可求解． 【规范解答】解：一次函数的， 随的增大而减小， ，点，在一次函数的图象上， ， 故选：A． 4．（24-25八年级上·全国·期中）点，点是一次函数图像的两个点，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查一次函数的性质；由于一次函数，可知y随x的增大而增大，即可求解． 【规范解答】解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【思路点拨】本题考查一次函数的图象性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据一次函数图象与系数的关系可对进行判断，根据一次函数图象上点的坐标特征可对进行判断，根据一次函数的性质可对、进行判断． 【规范解答】解：A、∵一次函数， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，故选项错误，不符合题意； B、当，则图象与轴交于点，故选项错误，不符合题意； C、由得函数值随自变量的增大而增大，故选项错误，不符合题意； D、当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级上·安徽·期中）直线的图象如图所示，则方程的解为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一元一次方程的解法，求出一次函数的值是解答关键． 根据直线的图象经过点，代入解析式求出，再把的值代入方程中求解． 【规范解答】解：直线的图象经过点， ， ， 变形为， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·全国·期中）一次函数的图象与正比例函数的图象平行且与直线交于轴上的一点，则这个一次函数的表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式的一般方法，两条直线平行问题．因为一次函数的图象与正比例函数的图象平行，可知，进而求出直线与轴交于点，将点代入一次函数中求即可． 【规范解答】解：一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ， 又在直线中，当， 图象与轴交于点， 将点代入一次函数中，得， 解得， 一次函数解析式为：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期末）已知点，都在直线上，则、大小关系是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据已知函数的解析式得出y随x的增大而减小，再比较即可． 【规范解答】解：∵， ∴随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·全国·期中）直线与两坐标轴交点如图，则 ， ． 【答案】 2 2 【思路点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，由图象与y轴的交点坐标可直接得到b，然后把代入解析式可求出a． 【规范解答】解：由图像知，直线与坐标轴交点的坐标为，， ∴ 把代入，得 ∴， ∴． 故答案为：2，2． 10．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）直线经过点，． （1）若，则的取值范围是 ． （2）若，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，不等式的性质的运用， （1）直线经过点，，可得，由此，即可求解； （2）由（1）可得，，，可得则，则，由此即可求解． 【规范解答】解：（1）直线经过点，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）由（1）可得，，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：①；② ． 11．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)若函数的图象平行直线，求的值； (2)若这个函数是不经过原点的一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了两直线相交与平行，一次函数的定义与性质，熟记平行直线的解析式的k值相等是解题的关键， (1)根据互相平行的两条直线比例系数相等求出m的值即可； (2)这个函数不经过原点，排除，时，根据一次函数的性质，时，y随着x的增大而减小，常数项不等于0，求出m的取值范围． 【规范解答】（1）函数的图象与直线平行， ， 解得； （2）当函数的图象不经过原点， 即当时，， ∴， 这个函数是一次函数，且随着的增大而减小， ，解得． ∴且， 即 12．（24-25八年级上·全国·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)点在直线上，是否存在点使得的面积为？如果存在，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【思路点拨】本题考查了待定系数法的应用，三角形面积计算，坐标与图形性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的纵坐标为，根据三角形面积公式列式求出，然后分情况写出点P的坐标即可． 【规范解答】（1）解：设直线的表达式为， 将点代入得， 将代入，得， 解得， 所以直线的表达式为：； （2）解：设点的纵坐标为，因为， 所以， 所以， 所以或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上可知满足条件的点的坐标为或． 13．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知点、点．    (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在直线上有点P，满足点P到x轴的距离等于6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值，点到坐标轴的距离： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值得到点P的纵坐标为6或，再求出一次函数值分别为6和时自变量的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设直线解析式为， 把、代入中得：， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵点P到x轴的距离等于6， ∴点P的纵坐标的绝对值为6， ∴点P的纵坐标为6或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 14．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在中，若y是x的正比例函数，求这个函数解析式． 【答案】 【思路点拨】此题考查正比例函数的定义，根据比例函数的定义可得出且，求出k的值，进而可得出这个函数解析式． 【规范解答】解：∵y是x的正比例函数， ∴且， 解得：， ∴这个正比例函数的解析式为：． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点的坐标是解题关键．先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得． 【规范解答】解：∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，顶点的坐标为， ∴， 又∵直角三角形的两直角边与轴平行，且， ∴， 设这个正比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得， 则这个正比例函数的表达式为， 故选：A． 16．（24-25八年级上·安徽·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象，依据正比例函数的图象从左往右下降，则，进而得到一次函数的图象与轴交于负半轴，故A选项正确． 【规范解答】解：A、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象与轴交于负半轴，故A选项符合题意； B、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象应该与轴交于负半轴，故B选项不符合题意； C、若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数 的图象与应该轴交于正半轴，且从左往右上升，故C选项不符合题意； D、正比例函数的图象应该要过原点，明显D选项不符合题意． 故选：A． 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，对和进行分类讨论，分别求出对应的函数解析式即可解决问题． 【规范解答】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是， ∴当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ∴只有D选项符合题意． 故选：D． 18．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）对于函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象过点 B．值随着值增大而减小 C．它的图象经过第二象限 D．当时， 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】解：、∵，当时，， ∴它的图象不经过点，故选项说法错误，不合题意； 、∵， ∴值随着值增大而增大，故选项说法错误，不合题意； 、∵，， ∴它的图象经过一、三、四象限，故选项说法错误，不合题意； 、当时，， ∵值随着值增大而增大， ∴当时，，故选项说法正确，符合题意； 故选：． 19．（24-25八年级上·全国·期中）正比例函数的图象经过的象限有（  ） A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二，三象限 D．二，三，四象限 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的图像，当时，正比例函数的图象经过第二、四象限；当时，正比例函数的图象经过第一、三象限． 根据一次函数图像的性质即可解答． 【规范解答】解：∵在正比例函数中，， ∴图象经过第一、三象限． 故选：A． 20．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形，，，，按如图所示的方式放置，其中点，，，，均在一次函数的图象上，点，，，，均在轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．根据等腰直角三角形的性质求得点、的坐标；然后将点、的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点的坐标即可得出答案． 【规范解答】解：点的坐标为，点的坐标为， ，，则． 是等腰直角三角形，， ． 点的坐标是． 同理，在等腰直角中，，，则． 点、均在一次函数的图象上， ， 解得， 该直线方程是． 点，的横坐标相同，都是3， 当时，，即，则， ． 同理，， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查一次函数的规律题，解题的关键是找到点的坐标规律． 由题意易得，设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依此代入即可求解． 【规范解答】解：在直线， ∴ ， ， 设，，，，， 则有， ， ， 又∵，，，…都是等腰直角三角形， ， ， ， 将点坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 22．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线：，直线：分别交y轴于A，B两点，过B作y轴垂线交直线于，过作垂线交于，再过，作垂线交直线于，过作垂线交于，…依次类推，则的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了一次函数的图象及一次函数图象上点的坐标，先求出点，点，由轴，得点的纵坐标为，进而得点的横坐标为，再由得点的横坐标为，进而得点的纵坐标为同理：点的纵坐标为，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标为点的纵坐标为，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标为依次类推，的纵坐标为，则的纵坐标为然后根据点在直线上即可求出点的坐标，准确地找出点的纵坐标为是解决问题的关键． 【规范解答】解：对于当时， ∴点的坐标为， 对于当时， ∴点的坐标为， 轴， ∴点的纵坐标为， 对于当时， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 对于当时， ∴点的纵坐标为 同理：点的纵坐标为，横坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为 点的纵坐标为，横坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为 依次类推，的纵坐标为 的纵坐标为 ∵点在直线上， ∴当时， 解得： ∴点的坐标为， 故答案为：． 23．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 ．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为 ． 【答案】 3 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质．理解题意，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知当时，；当时，；由边界值的定义可求函数的边界值；由（，）边界值是5，，函数的最大值是5，可知当时，；可求，当时，；则，计算求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴当时，； 当时，； ∴由边界值的定义可知，函数的边界值为3； ∵（，）边界值是5，，函数的最大值是5， ∴当时，； 解得，， 当时，； ∴， 解得，， 故答案为：3，． 24．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线L：y＝分别与x、y轴交于M、N两点，若在x轴上存在一点P，使是以为底的等腰三角形，则点P的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，根据是以为底的等腰三角形，得到，利用勾股定理求得，进而求得，即可得到的坐标，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：如图： ∵直线：分别与、轴交于、两点， 令，得， 解得：， 令，得， ∴， ， 是以为底的等腰三角形， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 25．（24-25八年级上·全国·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点 (1)求该一次函数的函数表达式； (2)根据（1）的结果，对于，请说明随的变化情况； (3)若一次函数图象上有两点、，，求的值； 【答案】(1)； (2)随的增大而增大； (3)． 【思路点拨】此题考查两直线平行问题，关键是根据两直线平行的特点解答． （1）根据两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，即可确定k的值，把的坐标代入求得b，求出即可． （2）根据一次函数的性质解答即可； （3）联立方程组解答即可． 【规范解答】（1）因为一次函数的图象与直线平行， 所以； 又因为一次函数的图象与轴交于点； 所以有，即可得； 该一次函数的函数表达式为． （2）∵中,∴随的增大而增大； （3）因为点、在函数图象上， 所以有，   两式相减，得， 所以． 26．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，或 【思路点拨】（1）分别令，可求得；令，可求得，根据，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得，可求，进而可求点坐标． 【规范解答】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的长为5； （2）解：由折叠的性质可知，，， ∴，即； 设，则，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得，， ∴存在，点坐标为或． 27．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)作出向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标． (2)已知与关于直线对称．若点的坐标为，画出直线并写出直线的函数表达式． 注：点，，及点，，分别是点，，按题中要求变换后对应得到的点． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【思路点拨】（1）利用网格特点和平移的性质得到点、、的对应点、、的坐标，然后描点得到； （2）根据题意可知直线垂直平分直线，连接交直线于点，求得点坐标，结合，得到点在直线上，即可得出解析式． 【规范解答】（1）解：将，，分别向左平移4个单位得到，，，依次连接得到， 如图所示，即为所求， 点的坐标为． （2）解：，，与关于直线对称 直线垂直平分线段 连接交直线于点，不妨设点 那么有， 解得， 点的坐标为 连接，，根据网格性质可知 点在直线上 设直线的解析式为，代入 则，即 直线的函数解析式为 故如图所示，直线即为所求， 28．（24-25八年级上·全国·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点 B． (1)直接写出的面积； (2)若C为y轴上一点，且的面积是，求点C的坐标； (3)若P是x轴上一点，且，求P的坐标． 【答案】(1)9 (2)点C的坐标为或 (3)点或 【思路点拨】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积公式可求解； （2）由三角形的面积公式可求解； （3）由勾股定理可求的长，即可求解． 【规范解答】（1）解：直线与轴相交于点，与轴相交于点， 点，点， ，， 的面积； （2）解：设点， 的面积是12， ， ， ，， 点坐标为或； （3）解：，， ， ， 点或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$