第5章《平面直角坐标系》章节复习（9个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第5章《平面直角坐标系》章节总复习 （9个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：坐标确定位置 1 考点讲练2：点的坐标 2 考点讲练3：坐标与图形性质 2 考点讲练4：两点间的距离公式 3 考点讲练5：关于x轴、y轴对称的点的坐标 3 考点讲练6：坐标与图形变化-对称 3 考点讲练7：坐标与图形变化-平移 3 考点讲练8：关于原点对称的点的坐标 4 考点讲练9：坐标与图形变化-旋转 4 中等题真题汇编练 5 培优题真题汇编练 8 考点讲练1：坐标确定位置 【精讲题】（2024秋•雁塔区校级月考）根据下列表述，不能确定位置的是（　　） A．东经118°，北纬40° B．济宁市洸河路117号 C．北偏东30° D．会议室第2排第6座 【举一反三1】（2024秋•和平区校级月考）如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（3，0），“兵”位于点（﹣1，1），则“帅”所在位置的坐标是 　 　． 【举一反三2】（2024秋•沈阳月考）如图，在中国象棋棋盘上，如果棋子“炮”的坐标是（﹣3，1），棋子“帅”的坐标是（﹣2，﹣2），则棋子“马”的坐标是 　 　． 考点讲练2：点的坐标 【精讲题】（2024秋•市中区校级月考）若点P在第四象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣4，3） C．（4，﹣3） D．（3，﹣4） 【举一反三1】（2024秋•长安区校级月考）已知点P（2a﹣10，2﹣a）到两坐标轴的距离相等，那么a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8或4 D．﹣4或 【举一反三2】（2024秋•宝安区校级月考）已知点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则点P的坐标为 　． 考点讲练3：坐标与图形性质 【精讲题】（2024秋•路北区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO＝BO，∠AOB＝90°则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，3） 【举一反三1】（2024秋•金安区校级月考）已知点A（﹣1，3），AB∥y轴，线段AB＝5，则B点坐标为　 　． 【举一反三2】（2024秋•和平区校级月考）已知，在平面直角坐标系中，点，点，则AB的长等于　　． 考点讲练4：两点间的距离公式 【精讲题】（2024春•城厢区校级月考）在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（﹣3，b），当线段AB最短时，AB的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三1】（2024•益阳一模）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．1 B． C． D．3 【举一反三2】（2023秋•泗洪县期末）已知点P（2x﹣3，3﹣x），点Q（3，2），若PQ∥x轴，则线段PQ的长为 　 　． 考点讲练5：关于x轴、y轴对称的点的坐标 【精讲题】（2024秋•香坊区校级月考）点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5） 【举一反三1】（2024秋•市中区校级月考）在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（a，b）关于x轴对称，则a+b的值为 　 　． 【举一反三2】（2024秋•惠阳区校级月考）已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于y轴对称，则（ab）2的值为 　 　． 考点讲练6：坐标与图形变化-对称 【精讲题】（2023秋•平原县期末）与点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣6，5） D．（4，﹣7） 【举一反三1】（2023秋•孟村县期末）如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称，则a+b的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣5 D．5 【举一反三2】（2024春•崇川区校级月考）若点A（2，1）与B（﹣3，7）关于点C对称，则点C的坐标是 　　． 考点讲练7：坐标与图形变化-平移 【精讲题】（2024秋•包河区月考）将点A（﹣3，2）沿x轴向右平移4个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，则A′的坐标为（　　） A．（﹣7，﹣2） B．（﹣7，6） C．（1，﹣2） D．（1，6） 【举一反三1】（2024•江西）在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 　 　． 【举一反三2】（2024春•金牛区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0）和B（0，3），将线段AB平移到线段CD（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为（4，﹣3），则点D坐标为 　　． 考点讲练8：关于原点对称的点的坐标 【精讲题】（2024秋•凉州区期中）已知点A（a，b）与点B（﹣2，﹣3）是关于原点O的对称点，则（　　） A．A（2，﹣3） B．A（﹣2，3） C．A（2，3） D．A（﹣2，﹣2） 【举一反三1】（2023秋•昭通期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1） 【举一反三2】（2024秋•九台区期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 　　． 考点讲练9：坐标与图形变化-旋转 【精讲题】（2024秋•安次区校级月考）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝6，点B的坐标为（8，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（　　） A． B．（10，4） C． D． 【举一反三1】（2024秋•海安市月考）在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是 　 　． 【举一反三2】（2024秋•南沙区校级月考）如图，等边三角形OAB的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，OA＝2，将等边三角形OAB绕原点顺时针旋转105°至OA′B′的位置，则点B′的坐标为　　 ． 中等题真题汇编练 1．（2023秋•太湖县期末）若点P的坐标为（﹣2023，2024），则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023秋•芝罘区期末）根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　） A．北偏东40° B．某地江滨路 C．光明电影院6排 D．东经116°，北纬42° 3．（2024秋•和平区校级月考）点A（m﹣3，﹣m+1）在第一、三象限的角平分线上，则A的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣2，2） D．（2，2） 4．（2024秋•历城区校级月考）如图，若在象棋盘上规定“马”位于点（2，2），“炮”位于点（﹣1，2），则“兵”位于点（　　） A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2） 5．（2024秋•阜阳月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点都在网格点上，将四边形ABCD平移使得点B与点D重合，则点A的对应点的坐标为（　　） A．（0，0） B．（2，﹣2） C．（2，3） D．（﹣2，4） 6．（2024秋•南岗区校级月考）点（﹣2，n）关于x轴的对称点坐标为（m，3），则m+n＝ 　 　． 7．（2024•朔州模拟）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1），B（1，1），则点C坐标为 　 　． 8．（2024秋•历城区校级月考）已知点P的坐标（1+a，a﹣3），且点P为x轴上的一点，则点P的坐标是 　 　． 9．（2024春•岚山区期末）若点A（x，y）的坐标满足等式x+y﹣xy＝0，则称该点A为“和谐点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为3，则该点的坐标为 　 　． 10．（2024秋•金凤区校级月考）点P是第二象限的点且到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标是　 　． 11．（2024秋•淇滨区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点A关于原点的对称点为B． （1）若以AB为一边向上作一个等边三角形ABC，直接写出点C的坐标． （2）求（1）中的三角形ABC的周长和面积． 12．（2024春•江津区校级月考）三角形ABC和三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：A'　 　，B′　 　． （2）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到？ （3）若点P′（x，y）是三角形A′B′C′内部一点，则三角形ABC内部的对应点P的坐标是多少？ （4）求三角形ABC的面积． 13．（2024秋•蚌山区月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　 　； （2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 14．（2024秋•庐阳区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． （1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　． （2）在图中描出点C（1，2）． （3）在（2）的条件下，D为x轴上方的一点，且BC∥AD，BC＝AD，则点D的坐标为 　 　． 培优题真题汇编练 15．（2024秋•凉州区期中）如图，AB＝DB，∠A＝∠D，则下列增加的条件中不能证明△ABE≌△DBC的是（　　） A．BE＝BC B．AE＝DC C．∠ABD＝∠EBC D．∠E＝∠D 16．（2024秋•江岸区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB＝CD＝10，∠DAC+∠BCA＝180°，∠BAC+∠ACD＝90°．四边形ABCD的面积是（　　） A．25 B．40 C．50 D．100 17．（2024春•汕尾期末）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 18．（2024春•西湖区期中）五根小棒，其长度（单位：cm）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 19．（2024秋•凤翔区月考）如图，将一根24cm长的筷子，置于一个底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的值最小为（　　）cm． A．7 B．8 C．16 D．17 20．（2024•湖北模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，AB＝4，D是AC上一点，且CD＝1，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 　 　． 21．（2024秋•凉州区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE＝2，AB＝8，△ABC的面积为14，则BC＝ 　 　． 22．（2024秋•茌平区校级月考）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点为格点，则∠1+∠2＝　 　°． 23．（2024秋•荔湾区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点P为BC边中点，DP＝3，则△BCD的面积为 　 　． 24．（2024秋•宜兴市校级月考）如图，△AOB≌△ADC（∠O和∠D是对应角），∠O＝90°，若∠OAD＝α，∠ABO＝β．当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为 　 　． 25．（2024秋•黄石港区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE＝AD，连接CE，∠BAC＝∠DAE＝108°． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）若DE＝DC，求∠CDE的度数． 26．（2024秋•临沂月考）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD、BE相交于点H，且BH＝AC，DH＝DC．BE与AC有怎样的位置关系？证明你的结论． 27．（2024秋•黄石港区月考）如图，在等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，CD＝BE，AD，CE相交于M． （1）求证：∠CMD＝60°； （2）点F在直线CE上，且∠CFB＝30°，AM＝5，CM＝3，求CF的长． 28．（2024春•金湾区期末）计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第5章《平面直角坐标系》章节总复习 （9个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：坐标确定位置 1 考点讲练2：点的坐标 3 考点讲练3：坐标与图形性质 4 考点讲练4：两点间的距离公式 6 考点讲练5：关于x轴、y轴对称的点的坐标 7 考点讲练6：坐标与图形变化-对称 8 考点讲练7：坐标与图形变化-平移 9 考点讲练8：关于原点对称的点的坐标 10 考点讲练9：坐标与图形变化-旋转 11 中等题真题汇编练 14 培优题真题汇编练 22 考点讲练1：坐标确定位置 【精讲题】（2024秋•雁塔区校级月考）根据下列表述，不能确定位置的是（　　） A．东经118°，北纬40° B．济宁市洸河路117号 C．北偏东30° D．会议室第2排第6座 【思路点拨】根据在平面内，要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置，即可得答案． 【规范解答】解：A．东经118°，北纬40°，能确定准确位置，故该选项不符合题意； B．济宁市洸河路117号，能确定准确位置，故该选项不符合题意； C．北偏东30°，不能确定准备位置，故该选项符合题意； D．会议室第2排第6座，能确定准确位置，故该选项不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了坐标位置的确定，有序数对可以确定一个具体位置，即确定一个位置需要两个条件，二者缺一不可． 【举一反三1】（2024秋•和平区校级月考）如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（3，0），“兵”位于点（﹣1，1），则“帅”所在位置的坐标是 　（1，﹣2）　． 【思路点拨】本题主要考查坐标确定位置，根据“马”位于点（3，0）建立平面直角坐标系即可得出结论． 【规范解答】解：如图所示：“帅”所在位置的坐标是（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）． 【考点评析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 【举一反三2】（2024秋•沈阳月考）如图，在中国象棋棋盘上，如果棋子“炮”的坐标是（﹣3，1），棋子“帅”的坐标是（﹣2，﹣2），则棋子“马”的坐标是 　（2，﹣2）　． 【思路点拨】根据“炮”，“帅”的点坐标可确定直角坐标系的原点，建立平面直角坐标系即可求解． 【规范解答】解：如图所示， ∴“马”的坐标为（2，﹣2）， 故答案为：（2，﹣2）． 【考点评析】本题考查了运用坐标表示地理位置，掌握平面直角坐标的确定方法是解题的关键． 考点讲练2：点的坐标 【精讲题】（2024秋•市中区校级月考）若点P在第四象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是（　　） A．（3，4） B．（﹣4，3） C．（4，﹣3） D．（3，﹣4） 【思路点拨】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案． 【规范解答】解：由点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，得|y|＝3，|x|＝4， 由点P位于第四象限，得y＝﹣3，x＝4， 点P的坐标为（4，﹣3）， 故选：C． 【考点评析】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键． 【举一反三1】（2024秋•长安区校级月考）已知点P（2a﹣10，2﹣a）到两坐标轴的距离相等，那么a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8或4 D．﹣4或 【思路点拨】根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，列出绝对值方程，进行计算即可． 【规范解答】解：由题意可知：|2a﹣10|＝|2﹣a|， 解得：a＝4或a＝8； 故选：C． 【考点评析】本题考查点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离是关键． 【举一反三2】（2024秋•宝安区校级月考）已知点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则点P的坐标为 　（﹣4，2）　． 【思路点拨】根据第二象限内点的横坐标时负数，纵坐标是正数，即可求出答案． 【规范解答】解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4， ∴点P的坐标为（﹣4，2）， 故答案为：（﹣4，2）． 【考点评析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度． 考点讲练3：坐标与图形性质 【精讲题】（2024秋•路北区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO＝BO，∠AOB＝90°则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，3） 【思路点拨】过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．证明△AOC和△BOD全等，那么B的横坐标就是OD长的相反数，B的纵坐标就是OC长的绝对值，由此可得出B的坐标． 【规范解答】解：作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D． 则∠ACO＝∠ODB＝90°， ∴∠AOC+∠OAC＝90°． 又∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90° ∴∠OAC＝∠BOD． 在△ACO和△ODB中， ， ∴△ACO≌△ODB（AAS）， ∴OD＝AC＝3，DB＝OC＝2， ∴点B的坐标为（﹣3，2）， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【举一反三1】（2024秋•金安区校级月考）已知点A（﹣1，3），AB∥y轴，线段AB＝5，则B点坐标为　（﹣1，8）或（﹣1，﹣2）　． 【思路点拨】AB与y轴平行，可知A、B两点的横坐标相同，又AB＝5，于是得到其纵坐标，即可求解． 【规范解答】解：∵AB与y轴平行， ∴A、B两点的横坐标相同， 又AB＝5， ∴A点纵坐标为：3+5＝8，或3﹣5＝﹣2， ∴A点的坐标为：（﹣1，8）或（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，8）或（﹣1，﹣2）． 【考点评析】本题考查了坐标与图形性质，掌握坐标与图形性质是解题的关键． 【举一反三2】（2024秋•和平区校级月考）已知，在平面直角坐标系中，点，点，则AB的长等于　　． 【思路点拨】先根据点，点，得出AB∥y轴，然后求出AB的长即可． 【规范解答】解：∵，， ∴A，B两点的横坐标相同，都是， ∴AB∥y轴， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了平面直角坐标系中两点间距离，涉及到点坐标，二次根式加减运算，根据题意A，B两点的横坐标相同，得到AB与y轴平行是解题的关键． 考点讲练4：两点间的距离公式 【精讲题】（2024春•城厢区校级月考）在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（﹣3，b），当线段AB最短时，AB的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】先判断点B的位置，再根据垂线段最短可得答案． 【规范解答】解：由题可知，点B在过（﹣3，0）且垂直于x轴的直线上， 根据垂线段最短，可得当b＝2时，AB有最小值，最小值为|1﹣（﹣3）|＝4． 故选：C． 【考点评析】本题考查图形与坐标、勾股定理，根据垂线段最短即可求得b的值是解题的关键． 【举一反三1】（2024•益阳一模）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．1 B． C． D．3 【思路点拨】点（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，然后根据勾股定理，计算到原点的距离为． 【规范解答】解：点到原点的距离为， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了点的坐标意义、勾股定理，利用勾股定理计算点到原点的距离是解题关键． 【举一反三2】（2023秋•泗洪县期末）已知点P（2x﹣3，3﹣x），点Q（3，2），若PQ∥x轴，则线段PQ的长为 　4　． 【思路点拨】根据平行于x轴的直线上点的特征可得点P与点Q的纵坐标相等，求得x＝1，P（﹣1，2），即可求解． 【规范解答】解：∵PQ∥x， ∴点P与点Q的纵坐标相等， ∴3﹣x＝2， 解得：x＝1， ∴P（﹣1，2）， ∴PQ＝3﹣（﹣1）＝4， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了两点间的距离公式，点的坐标特征，熟练运用平行于x轴的直线上点的特征求得点P的坐标是解题的关键． 考点讲练5：关于x轴、y轴对称的点的坐标 【精讲题】（2024秋•香坊区校级月考）点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5） 【思路点拨】根据“点的坐标关于坐标轴对称，关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”，进而问题可求解． 【规范解答】解：根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点P（3，﹣5）关于y轴对称点的坐标是（﹣3，﹣5）， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题是解题的关键． 【举一反三1】（2024秋•市中区校级月考）在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（a，b）关于x轴对称，则a+b的值为 　﹣1　． 【思路点拨】根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案． 【规范解答】解：∵点A（3，4）与点B（a，b）关于x轴对称， ∴横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴a＝3，b＝﹣4， 则a+b＝3+（﹣4）＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【考点评析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键． 【举一反三2】（2024秋•惠阳区校级月考）已知P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于y轴对称，则（ab）2的值为 　36　． 【思路点拨】直接利用关于y轴对称点的性质，求出a，b的值，即可得出答案． 【规范解答】解：∵P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于y轴对称， ∴a﹣1+2＝0，b﹣1＝5， ∴a＝﹣1，b＝6， ∴（ab）2＝（﹣6）2＝36． 故答案为：36． 【考点评析】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称，代数式求值，熟练掌握关于轴对称的点的性质是解答本题的关键． 考点讲练6：坐标与图形变化-对称 【精讲题】（2023秋•平原县期末）与点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣6，5） D．（4，﹣7） 【思路点拨】点（4，5）与关于直线x＝﹣1对称的点纵坐标不变，两点到x＝﹣1的距离相等，据此可得其横坐标． 【规范解答】解：点（4，5）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标是（﹣6，5）． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查坐标与图形的变化，掌握①关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．②关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．③关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b），④关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）是解题的关键． 【举一反三1】（2023秋•孟村县期末）如果点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称，则a+b的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣5 D．5 【思路点拨】利用轴对称的性质构建方程组求出a，b即可． 【规范解答】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于直线x＝1对称， ∴， ∴， ∴a+b＝﹣3， 故选：A． 【考点评析】本题考查坐标与同时变化﹣对称，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 【举一反三2】（2024春•崇川区校级月考）若点A（2，1）与B（﹣3，7）关于点C对称，则点C的坐标是 　（）　． 【思路点拨】根据点A和点B关于点C对称，得出点C为AB的中点，据此可解决问题． 【规范解答】解：因为点A坐标为（2，1），点B坐标为（﹣3，7），且点A与点B关于点C对称， 所以点C是AB的中点， 所以， 则点C的坐标为（）． 故答案为：（）． 【考点评析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称，熟知图形对称的性质是解题的关键． 考点讲练7：坐标与图形变化-平移 【精讲题】（2024秋•包河区月考）将点A（﹣3，2）沿x轴向右平移4个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，则A′的坐标为（　　） A．（﹣7，﹣2） B．（﹣7，6） C．（1，﹣2） D．（1，6） 【思路点拨】根据平移中点的变化规律即可解答． 【规范解答】解：点A′的坐标为（﹣3+4，2﹣4），即（1，﹣2）． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了平移中点的变化规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【举一反三1】（2024•江西）在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 　（3，4）　． 【思路点拨】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可． 【规范解答】解：将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B， 则点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）． 故答案为：（3，4）． 【考点评析】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【举一反三2】（2024春•金牛区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0）和B（0，3），将线段AB平移到线段CD（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为（4，﹣3），则点D坐标为 　（6，0）　． 【思路点拨】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【规范解答】解：∵点A（﹣2，0）的对应点C的坐标为（4，﹣3）， ∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴B（0，3）的对应点D的坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． 【考点评析】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 考点讲练8：关于原点对称的点的坐标 【精讲题】（2024秋•凉州区期中）已知点A（a，b）与点B（﹣2，﹣3）是关于原点O的对称点，则（　　） A．A（2，﹣3） B．A（﹣2，3） C．A（2，3） D．A（﹣2，﹣2） 【思路点拨】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【规范解答】解：∵关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反，点A（a，b）与点B（﹣2，﹣3）是关于原点O的对称点， ∴a＝2，b＝3， ∴A（2，3）， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了关于原点对称的点的特点，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）是解题的关键． 【举一反三1】（2023秋•昭通期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1） 【思路点拨】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 【规范解答】解：点（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，2）， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 【举一反三2】（2024秋•九台区期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 　　． 【思路点拨】根据关于原点对称的点的坐标特点即可求得． 【规范解答】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点关于原点中心对称的点的坐标是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 考点讲练9：坐标与图形变化-旋转 【精讲题】（2024秋•安次区校级月考）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝6，点B的坐标为（8，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（　　） A． B．（10，4） C． D． 【思路点拨】证明△AOC是等边三角形，则OC＝OA＝6，∠ACO＝60°，∠DCB＝180°﹣∠ACO﹣∠ACD＝60°，如图，过D作DE⊥x轴于E，则∠DEC＝90°，∠CDE＝180°﹣∠DCB﹣∠DEC＝30°，则，OE＝OC+CE＝10，由勾股定理得，，进而可求点D的坐标． 【规范解答】解：由旋转的性质可知，∠ACD＝∠AOB＝60°，AC＝AO＝6，CD＝OB＝8， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝OA＝6，∠ACO＝60°， ∴∠DCB＝180°﹣∠ACO﹣∠ACD＝60°， 过D作DE垂直于x轴，垂足为E， ∵∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣∠DCB﹣∠DEC＝30°， ∴，OE＝OC+CE＝10， 在Rt△DCE中，， ∴点D的坐标为， 故选：A． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理，点坐标等知识．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理，点坐标是解题的关键． 【举一反三1】（2024秋•海安市月考）在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是 　（4，﹣3）　． 【思路点拨】根据题意画出示意图，借助于全等三角形的判定与性质及旋转的性质即可解决问题． 【规范解答】解：如图所示，过点A和点A′分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， AO＝A′O，∠AOA′＝90°， ∴∠AOM+∠A＝∠AOM+∠NOA′＝90°， ∴∠A＝∠NOA′． ∵AM⊥x轴，A′N⊥x轴， ∴∠AMO＝∠A′NO＝90°． 在△AOM和△OA′N中， ， ∴△AOM≌△OA′N（ASA） ∴ON＝AM，A′N＝OM． ∵点A的坐标为（3，4）， ∴ON＝AM＝4，A′N＝OM＝3， ∴点A′的坐标为（4，﹣3）． 故答案为：（4，﹣3）． 【考点评析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及全等三角形的判定与性质，熟知旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【举一反三2】（2024秋•南沙区校级月考）如图，等边三角形OAB的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，OA＝2，将等边三角形OAB绕原点顺时针旋转105°至OA′B′的位置，则点B′的坐标为　（，﹣）　． 【思路点拨】过B作BE⊥OA于E，则∠BEO＝90°，根据等边求出OB＝OA＝2，∠BOA＝60°，根据旋转得出∠AOA′＝105°，∠A′OB′＝∠AOB＝60°，求出∠AOB′＝45°，解直角三角形求出B′E和OE即可． 【规范解答】解： 过B作BE⊥OA于E，则∠BEO＝90°， ∵△OAB是等边三角形，A（2，0）， ∴OB＝OA＝2，∠BOA＝60°， ∵等边三角形OAB绕原点顺时针旋转105°至OA′B′的位置，旋转角为105°， ∴∠AOA′＝105°，∠A′OB′＝∠AOB＝60°，OB＝OB′＝2， ∴∠AOB′＝105°﹣60°＝45°， 在Rt△B′EO中，B′E＝OE＝OB′＝， 即点B′的坐标为（，﹣）， 故答案为：（，﹣）． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，能构造直角三角形是解此题的关键． 中等题真题汇编练 1．（2023秋•太湖县期末）若点P的坐标为（﹣2023，2024），则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】根据平面直角坐标系各象限点的坐标特点即可求解，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 【规范解答】解：点P的坐标为（﹣2023，2024），则点P在第二象限． 故选：B． 【考点评析】此题考查的点的坐标，熟知四个象限点的坐标的符号特点是解题关键． 2．（2023秋•芝罘区期末）根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　） A．北偏东40° B．某地江滨路 C．光明电影院6排 D．东经116°，北纬42° 【思路点拨】根据各个选项中的语句可以判断哪个选项是正确的，本题得以解决． 【规范解答】解：根据题意可得， 北偏东40°无法确定位置，故选项A错误； 某地江滨路无法确定位置，故选项B错误； 光明电影院6排无法确定位置，故选项C错误； 东经116°，北纬42°可以确定一点的位置，故选项D正确， 故选：D． 【考点评析】本题考查坐标位置的确定，解题的关键是明确题意，可以判断选项中的各个语句哪一个可以确定一点的位置． 3．（2024秋•和平区校级月考）点A（m﹣3，﹣m+1）在第一、三象限的角平分线上，则A的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣2，2） D．（2，2） 【思路点拨】根据第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据m的值，可得点A的坐标． 【规范解答】解：由A（m﹣3，﹣m+1）在第一、三象限的角平分线上， 得m﹣3＝﹣m+1， 解得m＝2， m﹣3＝﹣1，﹣m+1＝﹣1， A的坐标为（﹣1，﹣1）． 故选：A． 【考点评析】本题考查了点的坐标，掌握第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相等是解题关键． 4．（2024秋•历城区校级月考）如图，若在象棋盘上规定“马”位于点（2，2），“炮”位于点（﹣1，2），则“兵”位于点（　　） A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2） 【思路点拨】直接利用“马”位于点（2，2），得出原点的位置，进而得出答案． 【规范解答】解：如图所示：“兵”所在位置的坐标为：（﹣2，3）． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 5．（2024秋•阜阳月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点都在网格点上，将四边形ABCD平移使得点B与点D重合，则点A的对应点的坐标为（　　） A．（0，0） B．（2，﹣2） C．（2，3） D．（﹣2，4） 【思路点拨】首先由点B平移至点D，可得先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，再根据平移方法可得A平移后的坐标． 【规范解答】解：由点B平移至点D，可得先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∵A的坐标是（﹣2，﹣1）， ∴点A的对应点的坐标为（﹣2+4，﹣1﹣1），即（2，﹣2）． 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了坐标与图形的变化——平移，关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6．（2024秋•南岗区校级月考）点（﹣2，n）关于x轴的对称点坐标为（m，3），则m+n＝ 　﹣5　． 【思路点拨】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得m，n的值，进而可得答案． 【规范解答】解：∵点（﹣2，n）关于x轴的对称点坐标为（m，3）， ∴m＝﹣2，n＝﹣3， ∴m+n＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【考点评析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 7．（2024•朔州模拟）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1），B（1，1），则点C坐标为 　（3，2）　． 【思路点拨】根据已知点的坐标，找出原点，建立平面直角坐标系，然后根据点C的位置，写出点C的坐标． 【规范解答】解：如图所示，根据点A（2，﹣1），B（1，1），建立坐标系，如图所示： ∴点C坐标为：（3，2）， 故答案为：（3，2）． 【考点评析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握根据已知点的坐标，找出坐标原点． 8．（2024秋•历城区校级月考）已知点P的坐标（1+a，a﹣3），且点P为x轴上的一点，则点P的坐标是 　（4，0）　． 【思路点拨】根据x轴上点的纵坐标为0，列出关于a的方程，解方程求出a，从而求出点P的坐标即可． 【规范解答】解：∵点P的坐标（1+a，a﹣3），且点P为x轴上的一点， ∴a﹣3＝0， 解得：a＝3， ∴1+a＝1+3＝4，a﹣3＝3﹣3＝0， ∴点P的坐标是：（4，0）， 故答案为：（4，0）． 【考点评析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握x轴上点的坐标特征． 9．（2024春•岚山区期末）若点A（x，y）的坐标满足等式x+y﹣xy＝0，则称该点A为“和谐点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为3，则该点的坐标为 　（，3）或（﹣，﹣3）　． 【思路点拨】根据到x轴的距离为3，求出y的值，然后分别代入等式，计算求解，进而可表示出该点的坐标． 【规范解答】解：∵到x轴的距离为3， ∴y＝3或y＝﹣3， 当y＝3时，x+y﹣xy＝3+x﹣3x＝0， 解得x＝， ∴该点的坐标为（，3）， 当y＝﹣3时，x+y﹣xy＝x﹣3+3x＝0， 解得x＝， ∴该点的坐标为（，﹣3）． 故答案为：（，3）或（，﹣3）． 【考点评析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键． 10．（2024秋•金凤区校级月考）点P是第二象限的点且到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标是　（﹣4，3）　． 【思路点拨】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【规范解答】解：根据题意可知，点P到y轴的距离为4， ∴点P的横坐标是﹣4， 点P到x轴的距离为3， ∴点P的纵坐标是3， ∴点P的坐标为（﹣4，3）． 故答案为：（﹣4，3）． 【考点评析】本题考查了点的坐标，掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 11．（2024秋•淇滨区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点A关于原点的对称点为B． （1）若以AB为一边向上作一个等边三角形ABC，直接写出点C的坐标． （2）求（1）中的三角形ABC的周长和面积． 【思路点拨】（1）由对称可得，得到，由等边三角形的性质可得点C在y轴的正半轴上，，利用勾股定理求出CO即可得到点C的坐标； （2）根据（1）中所求即可求解． 【规范解答】解：（1）∵点A的坐标，点A关于原点的对称点为B， ∴， ∴， ∵点C在y轴的正半轴上，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）△ABC的周长为， ． 【考点评析】本题考查了中心对称的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，正确求出点C坐标是解题的关键． 12．（2024春•江津区校级月考）三角形ABC和三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：A'　（﹣3，1）　，B′　（﹣2，﹣2）　． （2）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到？ （3）若点P′（x，y）是三角形A′B′C′内部一点，则三角形ABC内部的对应点P的坐标是多少？ （4）求三角形ABC的面积． 【思路点拨】（1）由图可得答案． （2）根据平移的性质可知，三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到的． （3）根据平移的性质可知，点P的坐标是（x+4，y+2）． （4）利用割补法求三角形的面积即可． 【规范解答】解：（1）由图可得，A'（﹣3，1），B'（﹣2，﹣2）． 故答案为：（﹣3，1）；（﹣2，﹣2）． （2）由图可得，三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度得到的． （3）由题意得，点P的坐标是（x+4，y+2）． （4）三角形ABC的面积为＝＝2． 【考点评析】本题考查坐标与图形变化﹣平移、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 13．（2024秋•蚌山区月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　5　； （2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“角平分线点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可． 【规范解答】解：（1）∵点A（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5； （2）∵点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”， ∴|4﹣2a|＝|﹣2|， ∴4﹣2a＝2或4﹣2a＝﹣2， 解得a＝1或a＝3； （3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内， ∴3b﹣2＝4，解得b＝2， ∴9﹣2b＝5， ∴点D的坐标为（5，﹣5）， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点D是“角平分线点”． 【考点评析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． 14．（2024秋•庐阳区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． （1）点A的坐标为 　（﹣3，﹣1）　，点B的坐标为 　（1，0）　． （2）在图中描出点C（1，2）． （3）在（2）的条件下，D为x轴上方的一点，且BC∥AD，BC＝AD，则点D的坐标为 　（﹣3，1）　． 【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系即可写出点A，B的坐标； （2）根据平面直角坐标系作出点C； （3）根据平面直角坐标系即可求出点D的坐标． 【规范解答】解：（1）点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣1）； （1，0）； 故答案为：（﹣3，﹣1）； （1，0）； （2）如图，点C即为所求： （3）根据D为x轴上方的一点，且BC∥AD，BC＝AD， 可以判断出点D的坐标为：（﹣3，1）． 故答案为：（﹣3，1）． 【考点评析】本题考查平面直角坐标系，掌握平面直角坐标系内点坐标的特点是解题的关键． 培优题真题汇编练 15．（2024秋•凉州区期中）如图，AB＝DB，∠A＝∠D，则下列增加的条件中不能证明△ABE≌△DBC的是（　　） A．BE＝BC B．AE＝DC C．∠ABD＝∠EBC D．∠E＝∠D 【思路点拨】全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL． 【规范解答】解：由于AB＝DB，∠A＝∠D， A、添加条件BE＝BC，不能证明△ABE≌△DBC，故本选项符合题意； B、添加条件AE＝DC，可以利用SAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意； C、添加条件∠ABD＝∠EBC，可得∠ABE＝∠DBC，可以利用ASA证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意； D、添加条件∠E＝∠D，可以利用AAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意； 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 16．（2024秋•江岸区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB＝CD＝10，∠DAC+∠BCA＝180°，∠BAC+∠ACD＝90°．四边形ABCD的面积是（　　） A．25 B．40 C．50 D．100 【思路点拨】延长BC到点E，使得CE＝AD，可证△ADC≌△CEA（SAS），根据全等三角形的性质可得．∠ACD＝∠CAE，CD＝AE，S△ACE＝S△ACD进一步可知△ABE是等腰直角三角形，S四边形ABCD＝S△BAE，可得结论． 【规范解答】解：延长BC到点E，使得CE＝AD，如图所示： ∵∠DAC+∠BCA＝180°，∠ACE+∠BCA＝180°， ∴∠DAC＝∠ECA， 在△ADC和△CEA中， ， ∴△ADC≌△CEA（SAS）， ∴∠ACD＝∠CAE，CD＝AE，S△ACE＝S△ACD， 又∵∠BAC+∠ACD＝90°， ∴∠BAC+∠CAE＝90°，即∠BAE＝90°， ∵AB＝CD＝10， ∵AB＝AE， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴S四边形ABCD＝S△BAE＝×10×10＝50． 故选：C． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．（2024春•汕尾期末）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 【思路点拨】为了验证勾股定理，梯形面积等于3个三角形面积之和解答即可． 【规范解答】解：根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD． 故选：B． 【考点评析】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果． 18．（2024春•西湖区期中）五根小棒，其长度（单位：cm）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可． 【规范解答】解：∵2＝225，252＝625， ∴72+242＝252，152+202＝252， ∴C正确，符合题意； 72+202≠242，A错误，不符合题意； 152+202≠242，B错误，不符合题意； 72+202≠252，242+152≠252，D错误，不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方． 19．（2024秋•凤翔区月考）如图，将一根24cm长的筷子，置于一个底面直径为15cm，高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的值最小为（　　）cm． A．7 B．8 C．16 D．17 【思路点拨】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结论． 【规范解答】解：如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm， ∴AB＝＝＝17（cm）， ∴此时h最小＝24﹣17＝7（cm）， 即h的值最小为7cm， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20．（2024•湖北模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，AB＝4，D是AC上一点，且CD＝1，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 　2　． 【思路点拨】据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆．即可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小．由勾股定理可求出BC的长，设BF＝x，则BD＝x+1，在Rt△BCD中，利用勾股定理解出x，即求出BF的最小值． 【规范解答】解：根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆， 由点F的运动轨迹可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小，如图： ∴CD＝DF＝1， 在Rt△ABC中， ∴BC＝＝＝2． 设BF＝x，则BD＝BF+DF＝x+1， 在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2，即（x+1）2＝（2）2+12， ∴x1＝2，x2＝﹣4（舍去）． 故BF的最小值为2． 故答案为：2． 【考点评析】本题主要考查了折叠的性质，圆的基本性质，勾股定理以及解一元二次方程，理解当B、F、D三点共线时，BF的值最小是解答本题的关键． 21．（2024秋•凉州区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE＝2，AB＝8，△ABC的面积为14，则BC＝ 　6　． 【思路点拨】过点D作DF上BC于点F，得到DF＝DE＝2，再根据三角形面积公式即可计算． 【规范解答】解：过点D作DF⊥BC于点F， ∵BD平分∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DE＝2， ∴DF＝DE＝2， ∵S△CDB＝S△ABC﹣S△ABD，△ABC的面积为14，AB＝8， ∴， 解得BC＝6， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 22．（2024秋•茌平区校级月考）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点为格点，则∠1+∠2＝　90　°． 【思路点拨】通过证明△ABE≌△DCE（SAS），得出∠1＝∠DCE，即可解答． 【规范解答】解：如图，BE＝CE，AE＝DE， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴∠1＝∠DCE， ∴∠1+∠2＝∠DCE+∠2＝90°， 故答案为：90． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 23．（2024秋•荔湾区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，点P为BC边中点，DP＝3，则△BCD的面积为 　6　． 【思路点拨】过D作DE⊥BC于E，由角平分线的性质得DE＝DA＝3，再由直角三角形斜边上的中线性质得BC＝2DP＝8，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【规范解答】解：如图，过D作DE⊥BC于E， ∵∠A＝90°， ∴DA⊥BA， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DA＝2， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∵点P为BC边中点，DP＝3， ∴BC＝2DP＝6， ∴S△BCD＝BC•DE＝×6×2＝6， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 24．（2024秋•宜兴市校级月考）如图，△AOB≌△ADC（∠O和∠D是对应角），∠O＝90°，若∠OAD＝α，∠ABO＝β．当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为 　α＝2β　． 【思路点拨】根据△AOB≌△ADC，∠O＝90°，∠ABO＝β，可知AB＝AC，∠CAD＝∠OAB＝90°﹣β，结合BC∥OA和等腰三角形性质可得∠CAD＝∠OAB＝∠ABC＝∠ACB＝90°﹣β，∠OAC+∠ACB＝180°，将∠OAC+∠ACB展开为∠OAD+∠ACB+∠CAD即可解答． 【规范解答】解：∵△AOB≌△ADC，∠O＝90°，∠ABO＝β， ∴AB＝AC，∠CAD＝∠OAB＝90°﹣β， ∴∠ACB＝∠ABC， ∵BC∥OA， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠OAB＝∠CAD＝90°﹣β，∠OAC+∠ACB＝180°， ∴∠OAC+∠ACB＝∠OAD+∠ACB+∠CAD＝α+2（90°﹣β）＝180°， ∴α＝2β． 故答案为：α＝2β． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质等知识点，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 25．（2024秋•黄石港区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE＝AD，连接CE，∠BAC＝∠DAE＝108°． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）若DE＝DC，求∠CDE的度数． 【思路点拨】（1）根据SAS证明三角形全等即可． （2）证明∠B＝∠ACB＝∠ACE＝36°，推出∠DCE＝72°，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可． 【规范解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝108°，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°， ∴∠B＝∠ACB＝36°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠B＝∠ACE＝36°， ∴∠DCE＝∠BCA+∠ACE＝36°+36°＝72°， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝72°， ∴∠EDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°， 答：∠CDE的度数为36°． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 26．（2024秋•临沂月考）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD、BE相交于点H，且BH＝AC，DH＝DC．BE与AC有怎样的位置关系？证明你的结论． 【思路点拨】先证明Rt△BDH和Rt△ADC全等得∠CAD＝∠HBD，再根据∠HBD+∠BHD＝90°得∠CAD+∠BHD＝90°，然后根据∠AHE＝∠BHD得∠CAD+∠AHE＝90°，进而可求出∠AEH＝90°，由此可得BE与AC有怎样的位置关系． 【规范解答】解：BE与AC有怎样的位置关系是BE⊥AC，理由如下： ∵AD⊥BC， ∴∠BDH＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDH和Rt△ADC中， ， ∴Rt△BDH≌Rt△ADC（HL）， ∴∠CAD＝∠HBD， ∵∠ADB＝90°， ∴∠HBD+∠BHD＝90°， ∴∠CAD+∠BHD＝90°， ∵∠AHE＝∠BHD， ∴∠CAD+∠AHE＝90°， ∴在△AHE中，∠AEH＝180°﹣（∠CAD+∠AHE）＝90°， ∴BE⊥AC． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质是解决问题的关键． 27．（2024秋•黄石港区月考）如图，在等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，CD＝BE，AD，CE相交于M． （1）求证：∠CMD＝60°； （2）点F在直线CE上，且∠CFB＝30°，AM＝5，CM＝3，求CF的长． 【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质，可得AC＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，证明△ACD≌△CBE（SAS）得出∠CAD＝∠BCE，进而根据三角形的外角的性质得出∠CMD＝60°； （2）过点C作CN⊥CF交AD的延长线于点N，则∠MCN＝90°，根据含30度角的直角三角形的性质得出MN＝6，进而可得AN＝11，证明△BCF≌△CAN（AAS），即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°， 在△ACD，△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵∠CMD＝∠CAD+∠ACM， ∴∠CMD＝∠BCE+∠ACM＝∠ACB， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠CMD＝60°； （2）解：如图所示，过点C作CN⊥CF交AD的延长线于点N，则∠MCN＝90°， 由（1）得，∠CMD＝60°， ∴∠N＝90°﹣∠CMD＝90°﹣60°＝30°， ∴MN＝2CM＝2×3＝6， ∵AM＝5， ∴AN＝AM+MN＝5+6＝11， ∵∠CFB＝30°，∠N＝30°， ∴∠CFB＝∠N， 在△BCF，△CAN中， ， ∴△BCF≌△CAN（AAS）， ∴CF＝AN＝11． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．（2024春•金湾区期末）计算：． 【思路点拨】首先计算乘方、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【规范解答】解：原式＝4+2﹣ ＝4﹣． 【考点评析】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$