4.3 实数（5个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第4章《实数》】 4.3 实数 （11个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：实数概念理解 1 考点讲练2：实数的分类 2 考点讲练3：实数的性质 2 考点讲练4：实数的大小比较 2 考点讲练5：无理数的大小估算 3 考点讲练6：无理数整数部分的有关计算 3 考点讲练7：实数的混合运算 3 考点讲练8：程序设计与实数运算 4 考点讲练9：新定义下的实数运算 4 考点讲练10：实数运算的实际应用 5 考点讲练11：与实数运算相关的规律题 6 中等题真题汇编练 6 培优题真题汇编练 8 考点讲练1：实数概念理解 【精讲题】（2024八年级上·江苏·专题练习）实数2023的相反数是（　　） A． B． C． D．2023 【举一反三练1】（22-23八年级上·上海·阶段练习）在实数范围内因式分解： 【举一反三练2】（22-23七年级下·福建龙岩·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 考点讲练2：实数的分类 【精讲题】（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）在下列四个数中：，0，，0.101001中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．0.101001 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川达州·期中）下列各数：，3.141592，，0.16，，，3.010010001…（相邻两个 1 之间 0  的个数逐次加 1），是无理数的有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三练2】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ；属于负分数集合的有 ；属于无理数的有 ． 考点讲练3：实数的性质 【精讲题】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）的相反数是 ，的绝对值是 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）的相反数是 ；的算术平方根为 ． 考点讲练4：实数的大小比较 【精讲题】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【举一反三练2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列四个实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 考点讲练5：无理数的大小估算 【精讲题】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）估算的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【举一反三练1】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）无理数的大小在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【举一反三练2】（2024八年级上·北京·专题练习）大于且小于的所有整数有： ． 考点讲练6：无理数整数部分的有关计算 【精讲题】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）设n为正整数，且，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三练1】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 考点讲练7：实数的混合运算 【精讲题】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．带根号的数一定是无理数 B．两个无理数的和一定是无理数 C．一个正数有两个平方根且互为相反数 D．数轴上的点表示的都是有理数 【举一反三练1】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）的值 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ． 考点讲练8：程序设计与实数运算 【精讲题】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）有一个数值转换器，流程如图所示： 当输入x的值为64时，输出y的值是（   ） A．2 B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图是一个数值转换器，当输入为64时，输出的值是 ． 考点讲练9：新定义下的实数运算 【精讲题】（24-25七年级上·重庆·开学考试）规定运算“☆”为：若，则；若，则；若，则．那么， ． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）定义一种新的运算：对于任意实数，有，则)的值是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）对于不相等的两个实数 、，定义一种运算 @ ： ，如   则 ． 考点讲练10：实数运算的实际应用 【精讲题】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【举一反三练1】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【举一反三练2】（23-24八年级上·上海长宁·期中）在实数范围内因式分解： ． 考点讲练11：与实数运算相关的规律题 【精讲题】（22-23八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）一组有规律的数则第个数是 ． 【举一反三练2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）下列说法中：①立方根等于本身的是，0， 1 ；②两个无理数的和一定是无理数；③实数与数轴上的点是一一对应的是负分数；⑤两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是(      ) A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算 ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）估计的值在整数（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）估算的范围正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·全国·期中）写出一个比大，且比3小的无理数 ． 7．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）写出一个比6大的无理数： ． 8．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ． 9．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）比较大小： （填“”“”“”） 11．（24-25八年级上·全国·期末）阅读下列材料，回答问题． 如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，这个数就叫做a的n次方根．换句话说，如果，那么x叫做a的n次方根． 例如：因为，，所以2和叫做16的4次方根．即，，所以 ． 又如：因为，所以叫做 的5次方根．即：． (1)64的6次方根是 ，的5次方根是 ．（直接写出结果） (2)______； (3)归纳一个数的n次方根的情况． 12．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，，于是可用来表示的小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知的平方根是，的立方根是1，c是的整数部分，求的算术平方根 14．（2024八年级上·全国·专题练习）将下列各数分别填入相应的大括号里： (1)正数集合{___________}； (2)负整数集合{___________}； (3)无理数集合{___________}； 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·全国·期中）下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）下列数中是无理数的为（   ） A．0 B． C． D．（相邻两个1之间有一个0） 17．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 18．（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·辽宁丹东·阶段练习）若，且、是两个连续整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习） ， ， ． 21．（2024八年级上·北京·专题练习）的整数部分是 ，小数部分是 ． 22．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，方格中阴影正方形的边长的整数部分是 ． 23．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，若x的整数部分为a，y的小数部分为b，则的平方根是 ． 24．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）比较大小： （填“”或“”） 25．（24-25八年级上·全国·期中）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 26．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 27．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 28．（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）化简与计算： (1)先化简，再求值． ，其中，，． (2)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第4章《实数》】 4.3 实数 （11个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：实数概念理解 1 考点讲练2：实数的分类 2 考点讲练3：实数的性质 3 考点讲练4：实数的大小比较 4 考点讲练5：无理数的大小估算 5 考点讲练6：无理数整数部分的有关计算 6 考点讲练7：实数的混合运算 8 考点讲练8：程序设计与实数运算 9 考点讲练9：新定义下的实数运算 11 考点讲练10：实数运算的实际应用 12 考点讲练11：与实数运算相关的规律题 14 中等题真题汇编练 16 培优题真题汇编练 23 考点讲练1：实数概念理解 【精讲题】（2024八年级上·江苏·专题练习）实数2023的相反数是（　　） A． B． C． D．2023 【答案】A 【思路点拨】本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数为正数，0的相反数是0，根据相反数的定义即可解答． 【规范解答】解：实数2023的相反数是， 故选：A． 【举一反三练1】（22-23八年级上·上海·阶段练习）在实数范围内因式分解： 【答案】 【思路点拨】根据公式法可进行因式分解． 【规范解答】解： ； 故答案为． 【举一反三练2】（22-23七年级下·福建龙岩·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【答案】256 【思路点拨】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 【规范解答】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 考点讲练2：实数的分类 【精讲题】（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）在下列四个数中：，0，，0.101001中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．0.101001 【答案】C 【思路点拨】本题考查无理数的识别，整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【规范解答】解：在数，0，，0.101001中，属于无理数的是． 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川达州·期中）下列各数：，3.141592，，0.16，，，3.010010001…（相邻两个 1 之间 0  的个数逐次加 1），是无理数的有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数就是无限不循环小数．初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0）． 【规范解答】解：，3.141592， 0.16，是有理数； ，，，3.010010001…（相邻两个 1 之间 0  的个数逐次加 1），是无理数； ∴无理数一共有4个， 故选：B． 【举一反三练2】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ；属于负分数集合的有 ；属于无理数的有 ． 【答案】 6，0 ， ，（每两个9之间依次多一个0） 【思路点拨】本题考查实数的分类及定义，根据实数的分类及定义即可求得答案． 【规范解答】解：属于整数集合的有6，0； 属于负分数集合的有，； 属于无理数的有，（每两个9之间依次多一个0）； 故答案为：6，0；，，（每两个9之间依次多一个0）． 考点讲练3：实数的性质 【精讲题】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【规范解答】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）的相反数是 ，的绝对值是 【答案】 / 2 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的绝对值和相反数，求一个数的立方根，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得第一空的答案；先计算立方根，再根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可得到第二空的答案． 【规范解答】解：的相反数是，的绝对值是 故答案为：；． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）的相反数是 ；的算术平方根为 ． 【答案】 3 【思路点拨】本题考查了实数的性质，算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键． 根据相反数的定义可求出的相反数；先把化简，再求的算术平方根． 【规范解答】解：的相反数是； 因为， 所以的算术平方根为． 故答案为：，3． 考点讲练4：实数的大小比较 【精讲题】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得，据此逐一判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知，， ∴， ∴四个选项中，只有C选项结论正确，符合题意， 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数比较大小．比较的方法是：两个负数，绝对值大的，其值反而小． 【规范解答】解：，，， ， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）下列四个实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握比较实数大小的方法，是解题的关键．根据正数大于0，负数小于0，根据平方根，立方根的性质化简，再比较四个数的大小关系，即可得出结论． 【规范解答】，，，， ， 故最大的数为， 故选择：D 考点讲练5：无理数的大小估算 【精讲题】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）估算的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】A 【思路点拨】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【规范解答】解：∵， ∴，，即， ∴的运算结果应在4到5之间， 故选：A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）无理数的大小在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查无理数的估算，灵活运用算术平方根进行估算是解题的关键． 利用算术平方根进行估算即可解答． 【规范解答】解：∵ ∴ ∴的大小在3和4之间． 故选：B． 【举一反三练2】（2024八年级上·北京·专题练习）大于且小于的所有整数有： ． 【答案】，0，1，2 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，对无理数正确估算是解题的关键：分别估算出、的范围，则可得的范围，从而确定大于且小于的所有整数． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， ∴大于且小于的所有整数有，0，1，2． 答案：，0，1，2． 考点讲练6：无理数整数部分的有关计算 【精讲题】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）设n为正整数，且，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法．用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了估计无理数的大小，确定x、y的值是解题的关键． 根据，可得，可得x和y值，代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，有理数的加减混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据的定义，分别求出的值，再代入计算即可． 【规范解答】， ， ， ， ， ，， 至的值均为1，至的值均为2，至的值均为3，至的值均为4，至的值均为5，至的值均为6， ． 故选：A． 考点讲练7：实数的混合运算 【精讲题】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．带根号的数一定是无理数 B．两个无理数的和一定是无理数 C．一个正数有两个平方根且互为相反数 D．数轴上的点表示的都是有理数 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了无理数的定义，平方根的概念，实数与数轴，根据无理数的定义可判断A；根据实数的运算法则可判断B；根据平方根的概念可判断C；根据实数与数轴一一对应可判断D． 【规范解答】解：A、带根号的数不一定是无理数，例如是有理数，原说法错误，不符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，例如是有理数，原说法错误，不符合题意； C、一个正数有两个平方根且互为相反数，原说法正确，符合题意； D、数轴上的点表示的都是实数，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）的值 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了算术平方根、立方根、有理数的加减运算，掌握算术平方根的定义、立方根的定义是解决此题的关键．本题先依次计算36的算术平方根、27的立方根、的算术平方根，再将结果加减即可. 【规范解答】解：原式 ； 故答案为：5 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查算术平方根的应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【规范解答】解：∵在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为：， ∴，， ∴空白部分的面积为； 故答案为：． 考点讲练8：程序设计与实数运算 【精讲题】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）有一个数值转换器，流程如图所示： 当输入x的值为64时，输出y的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是算术平方根的概念和性质，一个正数的平方根有两个，正的平方根是这个数的算术平方根；注意有理数和无理数的区别，把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可． 【规范解答】∵=8，是有理数， ∴继续转换， ∵=2，是有理数， ∴继续转换， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，先根据程序得出，再求它的算术平方根，接着判断是否为无理数，是就输出结果，否则就继续算它的算术平方根，即可作答． 【规范解答】解：∵输入的x为64， ∴， ∴， ∵2是有理数， ∴2的算术平方根是，是无理数， 则输出的y是， 故选：C． 【举一反三练2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图是一个数值转换器，当输入为64时，输出的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查程序流程图与实数的运算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【规范解答】解：当为64时，是有理数， 当时，为无理数，输出， 故答案为：． 考点讲练9：新定义下的实数运算 【精讲题】（24-25七年级上·重庆·开学考试）规定运算“☆”为：若，则；若，则；若，则．那么， ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了新定义，根据新定义分别计算出的结果，再求和即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）定义一种新的运算：对于任意实数，有，则)的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ， 故选：D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）对于不相等的两个实数 、，定义一种运算 @ ： ，如   则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握题中的新定义的运算法则是解本题的关键．根据题中的新定义的运算法则计算即可． 【规范解答】解：， 故 答 案 为 ：． 考点讲练10：实数运算的实际应用 【精讲题】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与宽，理解图示，掌握乘法公式，实数的混合运算是解题的关键． 由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【规范解答】解：正方形的面积为，正方形的面积为， ，，解得：，， ， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：． 【举一反三练1】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【思路点拨】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 【举一反三练2】（23-24八年级上·上海长宁·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数内的因式分解、综合运用平方差公式和完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算公式是解题关键．利用配方法将原式整理为，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 考点讲练11：与实数运算相关的规律题 【精讲题】（22-23八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【规范解答】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）一组有规律的数则第个数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察前几个数可知，被开方数的数值为序号的平方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正，据此规律求解即可． 【规范解答】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， 以此类推，可知被开方数的数值为序号的平方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正， ∴第个数是， 故答案为： ． 【举一反三练2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）下列说法中：①立方根等于本身的是，0， 1 ；②两个无理数的和一定是无理数；③实数与数轴上的点是一一对应的是负分数；⑤两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是(      ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查立方根的性质，无理数的性质，解题的关键是熟练掌握这些概念．根据立方根的性质，以及无理数的性质判断选项的正确性． 【规范解答】解：立方根等于本身的数有：，1，0，故①正确； 两个无理数的和不一定是无理数，比如和的和是0，是有理数，故②错误； 实数与数轴上的点一一对应，故③正确； 是无理数，不是分数，故④错误； 从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑤正确． 正确的有：①③⑤，共3个． 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的性质，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键；先根据实数的大小比较判断的正负，再根据绝对值化简即可． 【规范解答】解：， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）估计的值在整数（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小用夹逼法是解答此题的关键． 根据夹逼法得出的范围，继而得出的范围． 【规范解答】， ， ， 的值在整数4到5之间． 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）估算的范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．根据无理数的估算方法进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了实数的分类．无限不循环小数是无理数，据此进行判断即可． 【规范解答】解：A. 是有限小数，属于有理数，选项不符合题意； B. 是分数，属于有理数，选项不符合题意； C. 是无理数，选项符合题意； D. 是负整数，属于有理数，选项不符合题意； 故选：C 6．（24-25八年级上·全国·期中）写出一个比大，且比3小的无理数 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．根据算术平方根的定义有，这样就可得到满足条件的无理数． 【规范解答】解：∵， ∵一个比大且比3小的无理数， ∴只要满足即可； ∴如，⋯； 故答案为：（答案不唯一） 7．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）写出一个比6大的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了无理数、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．根据无理数、实数的大小比较法则即可得． 【规范解答】解：， ，即， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题主要考查了无理数的估算，先根据可得的小数部分，进而得出的小数部分与的小数部分相同，然后确定与的小数部分相同，可得a，b，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴的小数部分是． ∵的小数部分与的小数部分相同， ∴． ∵的小数部分与的小数部分相同， ∴， ∴ ． 故答案为：5． 9．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【规范解答】解：由题可得： 64的立方根为4，4的算术平方根为2，2的立方根是； 故答案为． 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）比较大小： （填“”“”“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查的是无理数的估算，实数大小比较，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．由可得再得到从而可得结论． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 11．（24-25八年级上·全国·期末）阅读下列材料，回答问题． 如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，这个数就叫做a的n次方根．换句话说，如果，那么x叫做a的n次方根． 例如：因为，，所以2和叫做16的4次方根．即，，所以 ． 又如：因为，所以叫做 的5次方根．即：． (1)64的6次方根是 ，的5次方根是 ．（直接写出结果） (2)______； (3)归纳一个数的n次方根的情况． 【答案】(1)； (2)100 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查了开方运算，解题的关键是理解题意，掌握提供中提供的信息． （1）根据，得出64的6次方根是；根据，得出的5次方根是； （2）根据得出； （3）根据题干中提供的信息，归纳一个数的n次方根的情况即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴64的6次方根是； ∵， ∴的5次方根是； （2）解：∵， ∴； （3）解：当n为偶数时，一个负数没有n次方根，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个；0的n次方根是0． 12．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，，于是可用来表示的小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小： （1）根据题目中的解法可得到取值范围，进而得到结果； （2）根据题意得到小数部分以及整数部分，计算即可得到结果． 【规范解答】（1）解：， ， 的整数部分是，小数部分是：， 故答案为：；； （2）解：， ， 的小数部分为a， ， ， ， ， ． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知的平方根是，的立方根是1，c是的整数部分，求的算术平方根 【答案】 【思路点拨】直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出的值进而得出答案． 【规范解答】解：∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是1， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）将下列各数分别填入相应的大括号里： (1)正数集合{___________}； (2)负整数集合{___________}； (3)无理数集合{___________}； 【答案】(1)； (2)； (3) 【思路点拨】本题主要考查了实数的分类， 对于（1），根据正数的定义进行判断即可； 对于（2），根据负整数的定义进行判断即可； 对于（3），根据无理数的定义进行判断即可． 【规范解答】（1）解：正数集合：； （2）解：由，负整数集合：； （3）解：无理数集合：． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·全国·期中）下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了实数的基本知识，属于基础题目，熟练掌握基本概念是解题的关键． 根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数，逐项判断即得答案． 【规范解答】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、是有理数，故本选项不符合题意； D、是有理数，故本选项不符合题意． 故选：B． 16．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）下列数中是无理数的为（   ） A．0 B． C． D．（相邻两个1之间有一个0） 【答案】B 【思路点拨】此题考查了实数数的分类．无理数是无限不循环小数，整数和分数统称有理数，根据无理数和有理数的定义分别进行判断即可． 【规范解答】解：A. 0是有理数，故选项不符合题意；     B. 是无理数，故选项符合题意； C. 是分数，属于有理数，故选项不符合题意；     D. （相邻两个1之间有一个0）是无限循环小数，属于有理数，故选项不符合题意． 故选：B 17．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 【答案】C 【思路点拨】本题考查了实数的相反数，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可． 【规范解答】解：A、由，得3和不互为相反数，故A选项不符合题意； B、由，得和不互为相反数，故B选项不符合题意； C、由，得和3互为相反数，故C选项符合题意； D、由，得和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：C． 18．（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了实数与数轴、数轴上两点的距离、轴对称，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点所对应的实数是，根据和数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【规范解答】解：设点所对应的实数是， 由题意得：， 解得， 故选：D． 19．（24-25八年级上·辽宁丹东·阶段练习）若，且、是两个连续整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，代数式求值，利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， 又∵，且、是两个连续整数， ∴，， ∴， 故选：． 20．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习） ， ， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查绝对值、无理数的大小比较、去括号法则，先确定出，从而确定，，再根据绝对值的代数意义进行化简；解题的关键是确定，理解：绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ， ． 故答案为：；；． 21．（2024八年级上·北京·专题练习）的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查估算无理数的大小，解题的关键是根据完全平方数和算术平方根的定义得到，即可得出的整数部分和小数部分． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是：． 故答案为：；． 22．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，方格中阴影正方形的边长的整数部分是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了勾股定理及无理数的估值的知识，解题的关键是了解勾股定理的内容，难度较小．利用勾股定理确定边长，然后确定整数部分即可． 【规范解答】解：由勾股定理得：， ， 正方形的边长的整数部分是2， 故答案为：2． 23．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，若x的整数部分为a，y的小数部分为b，则的平方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了无理数的估算、平方根，先估算出，再结合题意得出，，求出的值，再根据平方根的定义求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵x的整数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）比较大小： （填“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数的大小比较．先求出两个数的差，然后根据求出的差的正负，即可求解． 【规范解答】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（24-25八年级上·全国·期中）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）1 【思路点拨】此题考查了实数的运算，代数式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值； （2）先把代数式进行化简，然后整体代入进行计算即可． 【规范解答】解：（1）原式． （2）∵， ∴， ∴原式． 26．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了实数运算相关的规律的探究． （1）利用题中等式的计算规律得到的结果为； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和； （3）根据规律得到，，，，，相加即可求解． 【规范解答】（1）解：的结果为； 故答案为：； （2）解：∵①； ②； ③， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴ ． 27．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 28．（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段练习）化简与计算： (1)先化简，再求值． ，其中，，． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查整式的化简求值，实数的混合运算； （1）先根据单项式乘多项式，多项式乘多项式展开，再合并同类项化简，最后代入求值即可； （2）先根据算术平方根化简，再计算即可． 【规范解答】（1）解： ； 当，时，原式； （2）解：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$