4.1 平方根（12个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第4章《实数》】 4.1 平方根 （12个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：求一个数的算术平方根 1 考点讲练2：利用算术平方根的非负性解题 2 考点讲练3：估计算术平方根的取值范围 2 考点讲练4：求算术平方根的整数部分和小数部分 2 考点讲练5：与算术平方根有关的规律探索题 2 考点讲练6：算术平方根的实际应用 3 考点讲练7：平方根概念理解 4 考点讲练8：求一个数的平方根 4 考点讲练9：求代数式的平方根 4 考点讲练10：已知一个数的平方根，求这个数 5 考点讲练11：利用平方根解方程 5 考点讲练12：平方根的应用 5 中等题真题汇编练 6 培优题真题汇编练 7 考点讲练1：求一个数的算术平方根 【精讲题】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（    ） A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．8，15，17 D．3，4， 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，且，则 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 考点讲练2：利用算术平方根的非负性解题 【精讲题】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知a， b， c满足则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【举一反三练1】（2024七年级下·北京·专题练习）已知，，分别为中，，的对边，，和满足，则c的长为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若， ，则 的值为 ． 考点讲练3：估计算术平方根的取值范围 【精讲题】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【举一反三练1】（23-24七年级下·吉林·期中）若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ． 【举一反三练2】（2024·江苏扬州·一模）估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 考点讲练4：求算术平方根的整数部分和小数部分 【精讲题】（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【举一反三练1】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 考点讲练5：与算术平方根有关的规律探索题 【精讲题】（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 【举一反三练2】（2024七年级上·全国·专题练习）借助计算器可求得，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想（    ） A． B． C． D． 考点讲练6：算术平方根的实际应用 【精讲题】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为（    ）    A．0.414 B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间满足关系：．当一个用电器的电阻为，功率为，则它两端电压是 V． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）一个正方形的面积扩大2倍，它的边长扩大为原来的 倍． 考点讲练7：平方根概念理解 【精讲题】（24-25八年级上·四川达州·期中）若一个正数的平方根分别是与，则m为（       ） A． B．3 C．2 D．或 3 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东德州·开学考试）一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知某正实数的平方根是和，那么这个正实数是 ． 考点讲练8：求一个数的平方根 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期中）的相反数是 ，的倒数是 ，3的平方根是 ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 考点讲练9：求代数式的平方根 【精讲题】（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【举一反三练2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则 ． 考点讲练10：已知一个数的平方根，求这个数 【精讲题】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和．则这个正数为（   ） A．4 B．36 C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的值是 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）若一个数的平方根为和，则这个数是 ． 考点讲练11：利用平方根解方程 【精讲题】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）满足方程中的x的值为 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 考点讲练12：平方根的应用 【精讲题】（23-24七年级下·河南周口·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图是用两个边长是1的小正方形拼成一个大正方形，以数轴的原点为圆心，大正方形的边长为半径画圆，与数轴的正半轴的交点表示的数是 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·四川成都·开学考试）一个正数的平方根分别是和，则这个正数是 ． 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）若，则的平方根为（    ） A．1 B． C．5 D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．的平方根为 D．负数没有平方根 3．（24-25八年级上·贵州·期中）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中：无理数的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 5．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）的平方根是（   ） A．0 B．或4 C．2 D．2或 6．（24-25八年级上·全国·期中）某园林里有两棵相距8米的树，一棵高8米，另一棵高2米．若有一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少要飞 米． 7．（24-25八年级上·全国·期中）若，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 10．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若，则 ． 11．（24-25八年级上·贵州·期中）解方程： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在图中画图确定表示的点M．（保留作图痕迹，不写作法） 13．（24-25八年级上·全国·期中）计算：． 14．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，小明在距离水面高度为12米的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为20米．若小明收绳5米后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？ 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·全国·期中）已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 16．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（    ） A．2 B．4 C． D． 17．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．5 B． C．4 D．5或 18．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 19．（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）在实数，，，，，（两个之间依次多一个）中，无理数的个数是（   ）． A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）若，则 ． 21．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，那么的值为 ． 22．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 23．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）若a，b，c为的三条边，且满足，则是 三角形． 24．（2023八年级上·甘肃白银·学业考试）已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 25．（24-25八年级上·全国·期末）阅读下列材料： 已知求a、b的值． 解：，，且， ，， ，， 根据上述材料回答问题： 已知 的三边a、b、c满足，，判断 的形状，并说明理由． 26．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）先仔细阅读下列例题，再解答问题． 已知，求m和n的值． 解：把等式左边变形， 得， 即． 因为， 所以， 即． 仿照以上解法，解答下列问题 (1)已知的三边长分别为，且，则为_______三角形． (2)已知，求x和y的值． 27．（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图，是一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的x值为16时，求输出的y值； (2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． (3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 ． 28．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第4章《实数》】 4.1 平方根 （12个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：求一个数的算术平方根 1 考点讲练2：利用算术平方根的非负性解题 2 考点讲练3：估计算术平方根的取值范围 4 考点讲练4：求算术平方根的整数部分和小数部分 5 考点讲练5：与算术平方根有关的规律探索题 6 考点讲练6：算术平方根的实际应用 7 考点讲练7：平方根概念理解 9 考点讲练8：求一个数的平方根 10 考点讲练9：求代数式的平方根 12 考点讲练10：已知一个数的平方根，求这个数 13 考点讲练11：利用平方根解方程 14 考点讲练12：平方根的应用 15 中等题真题汇编练 17 培优题真题汇编练 22 考点讲练1：求一个数的算术平方根 【精讲题】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（    ） A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．8，15，17 D．3，4， 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股数的概念，三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可． 【规范解答】解：A、因为，不是勾股数，此选项不符合题意； B、因为，不是正整数，不是勾股数，此选项不符合题意； C、因为，是勾股数，此选项符合题意； D、因为，不是正整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查算术平方根的定义及绝对值的定义，比较简单根据，求出a、b的值，又，说明a、b异号，确定最终a、b的值，然后代入计算即可． 【规范解答】∵，， ∴，， ∵， ∴a、b异号， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【规范解答】解：， ∴的平方根是， 故选：D． 考点讲练2：利用算术平方根的非负性解题 【精讲题】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知a， b， c满足则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式、算术平方根，熟记完全平方公式是解题关键． 先将已知等式利用完全平方公式变形为，再根据偶次方的非负性、绝对值的非负性，算术平方根的性质可求出的值，代入计算即可得． 【规范解答】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【举一反三练1】（2024七年级下·北京·专题练习）已知，，分别为中，，的对边，，和满足，则c的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查偶次方和算术平方根的非负性以及勾股定理的运用．首先利用算术平方根以及任意一个数的偶次方的非负性，当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0求出和的值，再利用勾股定理可求出的值． 【规范解答】解：， ， 解得：， 在中，，，，分别为，，的对边， ， 的长为． 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若， ，则 的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查算术平方根的非负性，代入求值，先根据算术平方根的非负性得到，然后计算出m，n的值，代入计算即可． 【规范解答】解：由题可得，解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 考点讲练3：估计算术平方根的取值范围 【精讲题】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴值是在6和7之间， 故选：D 【举一反三练1】（23-24七年级下·吉林·期中）若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查无理数的概念，根据算术平方根的性质先确定的取值范围即可解．解题的关键是掌握无理数的概念：无限不循环小数． 【规范解答】解：∵是一个无理数，且， ∴， ∴可以取． 故答案为：（答案不唯一）． 【举一反三练2】（2024·江苏扬州·一模）估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系． 根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案． 【规范解答】解：由，得， 即， 故选：D． 考点讲练4：求算术平方根的整数部分和小数部分 【精讲题】（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 【举一反三练1】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【规范解答】解：∵， ∴，， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【思路点拨】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【规范解答】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 考点讲练5：与算术平方根有关的规律探索题 【精讲题】（23-24七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【规范解答】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）有一列数按一定规律排列：，，，，，……，则第个数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查规律探索问题，根据题干中的数据总结规律可知第n个数的符号为，分母为，分子为，即可得出答案． 【规范解答】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； ， 第个数是； 故答案为：． 【举一反三练2】（2024七年级上·全国·专题练习）借助计算器可求得，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据规律，解答即可． 本题考查了算术平方根的规律，正确发现规律是解题的关键． 【规范解答】解：， ， ， ． 故选：D． 考点讲练6：算术平方根的实际应用 【精讲题】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为（    ）    A．0.414 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：面积为2的正方形的顶点在数轴上， ， ， 点在数轴上，且表示的数为， 数轴上的点所表示的数为， 故选：D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间满足关系：．当一个用电器的电阻为，功率为，则它两端电压是 V． 【答案】150 【思路点拨】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识．根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴它两端电压是． 故答案为：150． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）一个正方形的面积扩大2倍，它的边长扩大为原来的 倍． 【答案】 【思路点拨】此题考查了运用算术平方根解决图形问题的能力，关键是能准确理解问题间的数量关系运用算术平方根知识列式求解． 设该正方形的边长为a，求出变化后正方形的边长，根据算术平方根的概念进行求解． 【规范解答】解：设该正方形的边长为a，则其面积是，其面积的2倍是， ∴变化后正方形的边长为 ∴ ∴它的边长扩大为原来的倍． 故答案为：． 考点讲练7：平方根概念理解 【精讲题】（24-25八年级上·四川达州·期中）若一个正数的平方根分别是与，则m为（       ） A． B．3 C．2 D．或 3 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平方根的定义以及解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题关键．根据平方根的定义可得，求解即可获得答案． 【规范解答】解：根据题意，一个正数的两个平方根分别是与， 则有， 解得． 故选：B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东德州·开学考试）一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此求出，再根据平方根的概念求解即可． 【规范解答】解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴这个正数是49， 故选：C． 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知某正实数的平方根是和，那么这个正实数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则，进而可得，若两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此可求出这个正实数． 【规范解答】解：∵一个正实数的平方根是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个数为， 故答案为：． 考点讲练8：求一个数的平方根 【精讲题】（24-25八年级上·全国·期中）的相反数是 ，的倒数是 ，3的平方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相反数、倒数、平方根的定义．分别根据相反数、倒数、平方根的定义解题即可． 【规范解答】解：的相反数是； 的倒数是； 3的平方根是． 故答案为：，，． 【举一反三练1】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是 ． 【答案】①②③ 【思路点拨】本题主题考查了勾股定理的证明，完全平方公式变形求值．根据所给图形，用含x和y的代数式分别表示出图中各部分图形的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题． 【规范解答】解：∵大正方形的面积为49， ∴大正方形的边长为7， 则由勾股定理得，． 故①正确． ∵小正方形的面积为4， ∴小正方形的边长为2， ∴； 故②正确． ∵， ∴， ∴． 故③正确． ∵， ∴（舍负值）． 故④错误． 故答案为：①②③． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查平方根与算术平方根，解题的关键是掌握：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的平方根（或二次方根）；一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（或二次方根）．据此解答即可． 【规范解答】解：∵，的平方根为， ∴的平方根是． 故选：D． 考点讲练9：求代数式的平方根 【精讲题】（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【规范解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是．若，，，则c的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【规范解答】解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三练2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】利用完全平方公式变形计算即可． 【规范解答】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 考点讲练10：已知一个数的平方根，求这个数 【精讲题】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和．则这个正数为（   ） A．4 B．36 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，则，再根据平方根的定义即可求出答案． 【规范解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数为， 故选：B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的值是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了算术平方根与平方根的定义，熟练掌握平方根及算术平方根的性质和定义是解决本题的关键．根据平方根的概念及算术平方根的概念求出a和b的值，然后再代入中求解即可． 【规范解答】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴，将代入， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）若一个数的平方根为和，则这个数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方根的概念， 根据平方根的概念分得和互为相反数，据此即可列出方程求得的值，熟练掌握平方根的概念是解题的关键． 【规范解答】解：∵一个数的平方根为和， ∴和互为相反数， 即，解得， 则这个数是； 故答案为：． 考点讲练11：利用平方根解方程 【精讲题】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了利用平方根解方程，应当注意到在解方程时，要先看方程是否有解，再选择适当方法解题．因为在中，左边是一个平方式，总是大于等于0，所以必须大于等于0． 【规范解答】解：， ， 利用平方根性质解方程时，被开方数必须为非负数，方程才有实数根． 即． 得． 故选A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）满足方程中的x的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平方根的定义．根据平方根的性质求解方程即可． 【规范解答】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，利用平方根的含义解方程，直接利用完全平方公式的变形进行计算即可； 【规范解答】解：∵，， ∴ ； ∴； 故选B 考点讲练12：平方根的应用 【精讲题】（23-24七年级下·河南周口·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根定义，正数有两个平方根，它们是互为相反数，即可求出的值，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【规范解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴，解得：， 故选：． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图是用两个边长是1的小正方形拼成一个大正方形，以数轴的原点为圆心，大正方形的边长为半径画圆，与数轴的正半轴的交点表示的数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数轴和实数．根据大正方形的面积为2可以得出其边长为，再在数轴上找到对应的点表示的数即可． 【规范解答】解：∵小正方形的面积为1， ∴两个小正方形拼成的大正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为， ∴与数轴的正半轴的交点表示的数是， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·四川成都·开学考试）一个正数的平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，理解平方根的定义是解题的关键． 【规范解答】解：由题意知，， 解得， ， 这个正数为， 故答案为：1． 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）若，则的平方根为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【思路点拨】根据绝对值和算术平方根的非负性得到，解出，即可的平方根． 【规范解答】解：∵，， ∴当， 则， 解得：， ∴， ∴其平方根为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．的平方根为 D．负数没有平方根 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【规范解答】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·贵州·期中）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中：无理数的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此作答即可． 【规范解答】解：这些实数中无理数的是，，（两个1之间依次多一个6），共3个， 故选：． 4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 【答案】C 【思路点拨】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，即可求得，的值，再代数求值． 【规范解答】解：， ，， 解得，， 故， 故选：C． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）的平方根是（   ） A．0 B．或4 C．2 D．2或 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴的平方根为2或， 故选：D． 6．（24-25八年级上·全国·期中）某园林里有两棵相距8米的树，一棵高8米，另一棵高2米．若有一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少要飞 米． 【答案】10 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ，，，米，米， 米，米， （米）． 故答案为：10． 7．（24-25八年级上·全国·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了非负数的性质，根据算术平方根的非负性，偶数次方的非负性求出a、b的值，然后代入求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，求平方根；由非负数的性质求得的值，然后代入求解即可． 【规范解答】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根为±2． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了算术平方根，零指数幂，先化简各式，然后再进行加法计算即可解答． 【规范解答】解：， 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查非负性，根据非负性求出的值，代入代数式进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 11．（24-25八年级上·贵州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键； （1）系数化为1可得，再开平方求解即可； （2）移项可得，再开平方求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 或． 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在图中画图确定表示的点M．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，是无理数，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理进行求解． 【规范解答】解：如图，点M即为所求．     ∵ ∴作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是． 13．（24-25八年级上·全国·期中）计算：． 【答案】 【思路点拨】先化简绝对值、零次幂、算术平方根、乘方，再运算加减法，即可作答．本题考查了化简绝对值，零次幂、算术平方根、乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】解： ． 14．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，小明在距离水面高度为12米的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为20米．若小明收绳5米后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？ 【答案】7米 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先求出米，再用根据勾股定理求出、的长度，即可得出答案． 【规范解答】解：小明收绳5米后，船到达D处， （米），由题可知， （米）， 在中，，米，米， 米， （米）， ∴船向岸A移动了7米． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·全国·期中）已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【思路点拨】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出a，b，c的值，并正确运用勾股定理的逆定理． 根据非负数的性质可知a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形． 【规范解答】解： ， ，，， ，，， ，， ， 三角形的形状是直角三角形， 故选：D． 16．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查求一个数的算术平方根，无理数，根据流程图依次计算即可． 【规范解答】解：输入的时，取算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是无理数，输出； 故选：D． 17．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．5 B． C．4 D．5或 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理等知识，首先利用非负数的性质得，，再分为直角边或为斜边两种情形，分别利用勾股定理计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， 当为直角边时，第三边长为， 当为斜边时，第三边长为， 故选：D． 18．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的定义对各选项分析判断即可得解． 【规范解答】A、，所以是16的平方根，说法正确，不符合题意； B、0的平方根是0，说法正确，不符合题意； C、，所以的平方根是，说法错误，符合题意； D、的算术平方根是，所以，说法正确，不符合题意； 故选：C． 19．（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）在实数，，，，，（两个之间依次多一个）中，无理数的个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了无理数，根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵ ∴在实数，，，，，（两个之间依次多一个）中，无理数有，，（两个之间依次多一个），共个， 故选：． 20．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）若，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）算术平方根．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【规范解答】解：， ，， ，， ， 故答案为：1． 21．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，那么的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，先根据非负数的性质可得，，求出、的值，再代入计算即可得解，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 【答案】 是 【思路点拨】①根据“和谐组合”的定义求解即可； ②根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可； 本题考查了新定义问题，算术平方根，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． 【规范解答】解：①∵，，， ∴三个数是“和谐组合”， 故答案为：是； ②分三种情况：①当时， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ②当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ③当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得； 综上所述，的值为， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）若a，b，c为的三条边，且满足，则是 三角形． 【答案】直角 【思路点拨】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．明确非负数的性质：如果一组非负数的和为0时，则每一个非负数都等于0． 首先根据求出a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【规范解答】∵ ∴ ∴解得 ∵， ∴ ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 24．（2023八年级上·甘肃白银·学业考试）已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【思路点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握二次根式，绝对值的非负性是解题的关键． 首先根据二次根式，绝对值的非负性得出，，的关系，即可判断三角形形状． 【规范解答】解：， ，， ，， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 25．（24-25八年级上·全国·期末）阅读下列材料： 已知求a、b的值． 解：，，且， ，， ，， 根据上述材料回答问题： 已知 的三边a、b、c满足，，判断 的形状，并说明理由． 【答案】是等腰直角三角形，理由见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式，非负性，等腰三角形的判定，解题的关键是综合运用以上知识解决问题；先把原等式整理为，再利用完全平方公式得到，根据题意可求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定，即可判断三角形的形状． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 26．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）先仔细阅读下列例题，再解答问题． 已知，求m和n的值． 解：把等式左边变形， 得， 即． 因为， 所以， 即． 仿照以上解法，解答下列问题 (1)已知的三边长分别为，且，则为_______三角形． (2)已知，求x和y的值． 【答案】(1)等腰 (2)，． 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的应用，平方和算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求出a、b、c的值，据此即可判断三角形的形状； （2）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， 即， ，，， ，，， ， 是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）解：， ， 即， ，， 解得：，． 27．（22-23七年级下·河北唐山·期中）如图，是一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的x值为16时，求输出的y值； (2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． (3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 ． 【答案】(1) (2)存在，或1或负数 (3)25或36或49或64 【思路点拨】此题考查了算术平方根的计算和性质． （1）按照程序依次计算即可得到答案； （2）或1时，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数，负数没有算术平方根，据此即可进行解答； （3）根据平方根的性质进行解答即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，，， 则； （2）存在， 当或1，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数；负数没有算术平方根， ∴当或1或负数时，始终输不出值， 综上所述，或1或负数． （3）或或或． 则两位数或36或49或64， 故答案为：25或36或49或64 28．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键． （1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答． 【规范解答】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得：， ∵的算术平方根为6， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴， 则的平方根为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$