椭圆的离心率以及与圆的综合问题专练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

一、椭圆的离心率 【典例1-1】（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【典例1-3】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ． 【变式1-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 二、求椭圆的离心率的最值或范围 【典例2-1】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【典例2-2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例2-3】（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 . 【变式2-1】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【变式2-3】．（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 3、 椭圆与圆的综合问题 【典例3-1】（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例3-2】（2024·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【典例3-3】（2023·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3-4】（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·河南南阳·月考）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【变式3-3】（23-24高二下·陕西榆林·月考）已知P是椭圆上的一点，分别为圆：和圆：上的点，则的最大值为 ． 【变式3-4】（2024·高二·浙江·期中）已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】（2024·高二·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、椭圆的离心率 【典例1-1】（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 取右焦点，连接、，由在以线段为直径的圆上， 故，结合对称性可知四边形为矩形，有， 有，又， 由，则，， 由椭圆定义可得， 故， 则. 故选：C. 【典例1-2】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 以 为直径的圆的方程为， 联立，解得， 所以， 又， 所以，， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 解得或（舍去）. 所以. 故椭圆的离心率为. 故选：D. 【典例1-3】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为为平行四边形， 设， 因为，，则， 且，可得，， 又因为，则， 在中，则， 可得， 即，解得， 所以椭圆C的离心率． 故答案为：． 【变式1-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 不妨设，，，则，． 又，所以，化简得， 显然，所以，解得，，所以，， 故，解得，故的离心率为． 故选：D 【变式1-2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 设椭圆的左右焦点分别为， 点，且，设， 则有，解得， 由，所以，又，所以， 又椭圆在处的切线方程为， 所以，所以，所以， 所以，所以，解得, 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 【变式1-3】（2024·上海·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 令椭圆的半焦距为c，由轴，为等腰直角三角形，得， ，由椭圆的定义得，即， 所以椭圆的离心率. 故答案为：    二、求椭圆的离心率的最值或范围 【典例2-1】（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 由已知，点是以为直径的圆与椭圆的交点， 解得，所以，即，即， 又椭圆的离心率，所以得. 故选：D. 【典例2-2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 设椭圆的左焦点为， 因为，所以四边形为为矩形，所以， 因为， 所以，，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为，所以， 所以， 其中 ， 所以， 所以. 故选：A 【典例2-3】（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 . 【答案】 因为，所以， 则，所以， 则，又. 所以C的离心率的取值范围是. 故答案为： 【变式2-1】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 设，，，， ， 由题意可知，，即，得， 则. 故选：B 【变式2-2】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】 设点， 则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即， 所以，即椭圆离心率， 故答案为： 【变式2-3】．（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 因为椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，即， 所以点P落在以为直径的圆上，所以有解， 即有解，所以. 即，所以，所以， 又椭圆的离心率，所以. 故选：D 【变式2-4】（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 【答案】 如图，， 显然四边形是矩形，所以， 由题意，，所以， 设，则，所以， 又点P在第一象限，所以， 故，即，所以， 椭圆C的离心率 ， 由可得， 又， 所以， 故. 故答案为：. 3、 椭圆与圆的综合问题 【典例3-1】（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】 B 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接和（如图所示）， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以 又为的中点，为的中点，所以 由椭圆的定义知：， 故选：B. 【典例3-2】（2024·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 设圆的圆心为，则， 设，则， 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以． 故选：B． 【典例3-3】（2023·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】 B 设,表示出的面积，结合向量关系以及垂直关系，求出点，借助椭圆的定义求解即可. 【解答过程】 结合题意可得：，，设， 则由的面积为，得①， 由，得②． 连接以为直径的圆过，③． 由②③得， 结合①得， ， ，故椭圆的标准方程为， 故选：B． 【典例3-4】（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】 D 点为椭圆：的右焦点，设椭圆的左焦点为， 又为上一点，为圆：上一点，圆的圆心，半径为， 则， 当且仅当四点共线时取等号， 则的最大值为. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·河南南阳·月考）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得，即. 所以动点的轨迹方程为.故选：B. 【变式3-2】（2024·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 设圆的圆心为，则， 设，则， 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以． 故选：B． 【变式3-3】（23-24高二下·陕西榆林·月考）已知P是椭圆上的一点，分别为圆：和圆：上的点，则的最大值为 ． 【答案】15 圆：的圆心，半径为； 圆：的圆心，半径为. 椭圆，, 所以，则， 故恰为椭圆的两个焦点， 因为P是椭圆上的一点，所以， 由分别为两圆上任意一点， 所以，即的最大值为15． 如图,当三点共线（在圆心异侧）且三点共线 （在圆心异侧）时，取到最大值. 故答案为：. 【变式3-4】（2024·高二·浙江·期中）已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 如下图所示： 在椭圆中，， 则， 圆的圆心，半径， 圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得， ， 由椭圆的几何性质可得，即， 由圆的几何性质可得， 所以， 所以的最小值是. 故选：C. 【变式3-5】（2024·高二·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】/ 由为椭圆上任意一点，则 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$