精品解析：重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期数学定时训练

初2025届九上数学定时训练2 一 、选择题 1. 下列有理数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是 （ ） A. B. C D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点和点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 4 到 5 之间 B. 5 到 6 之间 C. 6 到 7 之间 D. 7 到 8 之间 6. 如图，等腰直角，，，将沿射线平移个单位，得到，连接，则的面积是（ ） A. 6 B. 2 C. 12 D. 1 7. 某公司上半年生产甲、乙两种型号无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多 11 架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少 2 架．设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架，根据题意可列出的方程 组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　 　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 10. 已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. _____ 12. 如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形是______边形． 13. 若关于x 的方程没有实数根，则m 的取值范围是 ______ ． 14. 在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有_______个 ． 15. 为外接圆，，为的直径，若，则_____________ ． 16. 若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 17. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点，点为上一点，满足，连接交于点，若，，则______________，______________． 18. 我们规定：若一个四位正整数能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧数”．例如：因为，所以1000是“智慧数”．按照这个规定，1002_________“智慧数”（填“是”或者“不是”）．若智慧数 M是 偶 数 ，， 且满足两位 数与两位数的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为 _____________． 三、解答题 19. 计算 （1） （2） 20. 学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成 以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点C 作交延长线于点M， 过点C 作交于 点N（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的四边形中，°，平分， 求证： 证明：∵平分，且， ∴ ① 且 ∵在四边形中，∴ 又∵ ∴ ② ∴（ ③ ） ∴ 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特 征．请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角 ④ 21. 北京时间8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82； 九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75； 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 77 a 80.5 九年级 77 89 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校八年级有学生600人，九年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？ 22. 中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． （1）求商家购买笔和圆规的进价； （2）商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 23. 如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 24. 为了缓解学习压力，就读于育才成功学校的小育和就读于育才本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往奥体中心公交站汇合一同前往奥体中心打羽毛球． 经勘测，大公馆公交站点C在育才成功学校点A的正北方200米处，育才中学本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点C的正东方，奥体公交站点E在点D的正北方，点E在点C的北偏东方向．（参考数据： ，） （1）求的长度；(结果精确到1米) （2）周五放学，小育和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点E汇合． 小育的路线为A—C一E，他从点A步行至点C再乘坐公交车前往点E，假设小育匀速步行且步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶且速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时 2分钟(小育上车和下车时间忽略不计)． 哥哥的路线为B—D—E，全程步行，他从点B经过点 D 买水(买水时间忽略不计)再前往点E，假设哥哥匀速步行且速度为 100米每分钟． 请问小育和哥哥谁先到达点E呢?说明理由． 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，⏊轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． （3）将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 如图，在中，． （1）如图1，为边中点，连接，过点作于点，交于点，连接，若，，求的面积； （2）如图2，，、分别为、边上的点，且，连接交于点，若为的中点，连接、，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，为平面内一点，若，连接，以为边向上构造等边，连接并延长至点使，当最短时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初2025届九上数学定时训练2 一 、选择题 1. 下列有理数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握比较有理数大小的方法．根据有理数的大小比较选出最小的数． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合； 是中心对称图形的只有B． 故选：B． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，即反比例函数中，为定值依此判断即可． 【详解】解：反比例函数中，， A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，已知点和点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，理解正切是直角三角形的对边比邻边是解题的关键，如图，取格点由点和点得是直角三角形，，，从而根据三角函数的定义即可得解 【详解】解：如图，取格点 ∵点和点 ∴是直角三角形，，， ∴， 故选：A． 5. 估计的值在（ ） A. 4 到 5 之间 B. 5 到 6 之间 C. 6 到 7 之间 D. 7 到 8 之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，根据估算无理数大小的方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在4 到 5 之间， 故选：A． 6. 如图，等腰直角，，，将沿射线平移个单位，得到，连接，则的面积是（ ） A. 6 B. 2 C. 12 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握相关知识是解题关键．过作于点，由勾股定理求得的长，由平移的性质可得的长，由直角三角形的性质得的长，进而可求出的面积． 【详解】解：如图，过作于点， ， 由平移得，， ∴． ∵ ∴ ∴的面积． 故选：． 7. 某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多 11 架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少 2 架．设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架，根据题意可列出的方程 组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实际问题与二元一次方程组．关键在于找到题中所对应的等量关系式．分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可． 【详解】解：设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架， ∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多 11 架， ∴ ∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少 2 架 ∴ 联立可得： 故选：B． 8. 如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　 　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，根据的面积为6，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：， 故选：A． 9. 如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为、，由正方形的性质得到，则由角平分线的性质得到，据此证明四边形是正方形，再利用勾股定理求出，则，可得，再证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点分别作垂线，垂足分别为、， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟练掌握正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根据a，b，c，d，e的大小关系及范围，列出所有的情况进行求解． 【详解】解：根据，且，，，，为整数，可得a最小为0，则的项数至少是4项，故不可能小于等于3，故①正确； 若，则，假设可以分解为一个整式的平方， 设， 则 , ，，，，, ， ，, 这与矛盾， ∴假设不成立， 故，则不可能分解为一个整式的平方， ∴②正确； 若，且，，，，均为正整数， 则有，，，，， 或，，，，， 或，，，，共三种情况，故③错误； 故选：C． 二、填空题 11. _____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，零指数幂及绝对值，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键．先计算出特殊角的三角函数值和零指数幂，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 12. 如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形是______边形． 【答案】##八 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，先求出每一个外角的度数，再用除即可求出边数． 【详解】解：多边形的每一个内角都等于， 多边形的每一个外角都等于， 边数． 故答案是：． 13. 若关于x 的方程没有实数根，则m 的取值范围是 ______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，熟练掌握一元二次根的判别式是解题关键．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x 的方程没有实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 在一个不透明袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有_______个 ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 设袋中红球有x个，根据题意用黄球数除以红球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出答案． 【详解】解：设袋中红球有x个，根据题意，得： ， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 所以袋中红球有4个． 故答案为∶4． 15. 为的外接圆，，为的直径，若，则_____________ ． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用同弧所对的圆周角相等可得，进而利用直角三角形的两锐角互余即可解答． 【详解】为的直径， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴ 故答案为： 16. 若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了含有字母参数的不等式组与分式方程综合问题的解决能力，关键是能对以上问题准确求解，并根据题意确定字母参数的取值． 先解不等式组并求得符合题意的a的取值范围，再解分式方程并求得符合题意的a的取值范围，然后确定a的所有取值，最后计算出此题结果． 【详解】 解得： ， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴， 解得 解分式方程得， ∵y值解为正数， ∵，且 ， ∵且 ， ∴满足条件的整数a的值有3和5， ∴ 故答案为： 17. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点，点为上一点，满足，连接交于点，若，，则______________，______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，由等弧所对的圆周角相等得，根据余角性质可证，从而；证明可求得，证明可求得． 【详解】如图，连接． ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 18. 我们规定：若一个四位正整数能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧数”．例如：因为，所以1000是“智慧数”．按照这个规定，1002_________“智慧数”（填“是”或者“不是”）．若智慧数 M是 偶 数 ，， 且满足两位 数与两位数的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为 _____________． 【答案】 ①. 不是 ②. 1480 【解析】 【分析】假设1002是“智慧数”，则可设（m、n都是正整数），则由，再把1002分解因数得到或或或，解方程组看是否有正整数解即可判断1002是不是“智慧数”；求出，根据M为偶数，推出c为偶数且不为0，再讨论d的值，确定c的值，再根据是完全平方数确定b的值，最后确定a的值，则可求出M的值， 再根据“智慧数”的定义验证即可． 【详解】解：假设1002是“智慧数”，则可设（m、n都是正整数）， ∴， ∵， ∴或或或， 解得（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）， 综上所述，不存在正整数m、n使得， ∴1002不是“智慧数”； ∵， ∴ ， ∵M为偶数， ∴d为偶数， ∴c为偶数且不为0， 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴当时，是平方数， ∴， ∴此时M表示的数为1480， ∵， ∴此时M是“智慧数”，符合题意； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴此时没有满足条件的b； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴此时没有满足条件的b； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴当时，是平方数， ∴， ∴此时M表示的数为3226； ∵， ∴当时，则或， 解得或， ∴不存在正整数s、t使得成立， ∴3226不是“智慧数”； 综上所述，M的值为1480， 故答案为：1480． 【点睛】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键在于理解“智慧数”的定义． 三、解答题 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方差及单项式乘以多项式运算法则先分别求解，再根据整式加减运算法则计算即可得到答案； （2）根据分式的运算法则化简即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查整式的混合运算及分式的化简，熟练掌握整式与分式的混合运算法则是解决问题的关键． 20. 学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成 以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点C 作交延长线于点M， 过点C 作交于 点N（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的四边形中，°，平分， 求证： 证明：∵平分，且， ∴ ① 且 ∵在四边形中，∴ 又∵ ∴ ② ∴（ ③ ） ∴ 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特 征．请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角 ④ 【答案】（1）见解析 （2）；；；所对的四边形的两条边相等 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明，则可得到，据此可得若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵平分，且， ∴ 且 ∵在四边形中，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等， 故答案为：；；；所对的四边形的两条边相等． 21. 北京时间8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82； 九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75； 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 77 a 80.5 九年级 77 89 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校八年级有学生600人，九年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？ 【答案】（1）88，77.5，25 （2）答案不唯一，比如：八年级更高．理由见解答过程 （3）估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有320人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，扇形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义及根据C等级包含的数据有5个，且共20个数据，计算即可； （2）可从平均数、中位数、众数等角度分析求解； （3）用样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中88出现的次数最多， ， 九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的数据有5个， 九年级被抽取的学生测试得分中C等级的百分比为：， ， 九年级被抽取的学生测试得分中A等级的人数：（人）， C等级的人数：（人） D等级的人数：（人） E等级的人数：（人） B等级的人数：（人） 九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75； 九年级抽取的学生测试成绩的中位数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级学生对事件关注与了解程度更高．理由如下： 八年级测试得分的中位数分大于九年级测试得分的中位数分； 【小问3详解】 解：（人）， 答：两个年级测试得分在C组的人数一共有320人． 22. 中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． （1）求商家购买笔和圆规的进价； （2）商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元 （2）每个圆规的售价为11元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程、一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元，列出分式方程，即可求解； （2）设每个圆规的售价为m元，根据圆规平均每天的总获利为200元，列出一元二次方程，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元； 【小问2详解】 解：设每个圆规的售价为m元， 根据题意，得， 解得，， 又降价幅度不超过 ∴， 答∶ 每个圆规的售价为11元． 23. 如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 【答案】（1）关于的函数表达式为； （2）作图见解析，由图可得，当，随的增大而增大 （3）． 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，二次函数的图象的性质及求一次函数， （1）分当时，点在上，点在上，和当时，点在上，点在上，两种情况，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据解析式可画出函数图象，并得到图象的性质； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，， 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴， ∴； 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴； ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：函数的图象如图所示， 由图可得，当，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：∵， ∴的顶点为，对称轴为，最大值为， 结合图象可得当直线在两条虚线之间（不包括最高点，包括最低点）时，与图象有两个交点， 当过时，，解得：； 当过时，，解得：； ∴结合函数图象，当函数与上述函数图象有两个交点时的取值范围为． 24. 为了缓解学习压力，就读于育才成功学校的小育和就读于育才本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往奥体中心公交站汇合一同前往奥体中心打羽毛球． 经勘测，大公馆公交站点C在育才成功学校点A的正北方200米处，育才中学本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点C的正东方，奥体公交站点E在点D的正北方，点E在点C的北偏东方向．（参考数据： ，） （1）求的长度；(结果精确到1米) （2）周五放学，小育和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点E汇合． 小育的路线为A—C一E，他从点A步行至点C再乘坐公交车前往点E，假设小育匀速步行且步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶且速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时 2分钟(小育上车和下车时间忽略不计)． 哥哥的路线为B—D—E，全程步行，他从点B经过点 D 买水(买水时间忽略不计)再前往点E，假设哥哥匀速步行且速度为 100米每分钟． 请问小育和哥哥谁先到达点E呢?说明理由． 【答案】（1）米 （2）小育哥哥先到达点E 【解析】 【分析】本题考查了方位，等腰直角三角形，含的直角三角形，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握特殊的直角三角形的性质，以及勾股定理， （1）利用等腰直角三角形的性质即可求解； （2）利用直角三角形的性质和勾股定理可求出，在根据时间=路程÷速度，即可求解； 【小问1详解】 解：依题意得：，于点F， ， （米） 【小问2详解】 解：小育哥哥先到达点E，理由如下： 易知： ， 点E在点C的北偏东方向， , 在中， 由勾股定理可得： 即：, 解得：， ， 分，分， 小育到达点E所花总时间为：分， 小育哥哥到达点E所花总时间为：分， 则小育哥哥先到达点E． 25. 如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，⏊轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． （3）将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）; （2）当时，有最大值，最大值为，； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据顶点式，设抛物线的解析式为：，把点代入即可求解； （2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，设与交于点，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，分类讨论：第一种情况，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解；第二种情况，作，交抛物线与点，接触直线的解析式为，联立抛物线为方程组即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得，， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， ∵点，点． ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图所示，设与交于点， ∵轴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则，，且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在点，点的横坐标为或，理由如下， ∵抛物线， ∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则，得， ∴，， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半， ∴，且， 把代入得，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 新抛物线图像如图所示， 第一种情况，过点作，交抛物线与点，则， ∴设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线与点，交直线于点， ∴， 设，且，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 26. 如图，在中，． （1）如图1，为边的中点，连接，过点作于点，交于点，连接，若，，求的面积； （2）如图2，，、分别为、边上的点，且，连接交于点，若为的中点，连接、，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，为平面内一点，若，连接，以为边向上构造等边，连接并延长至点使，当最短时，请直接写出值． 【答案】（1）3 （2）；证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据三角函数的定义得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． （2）如图，在上截取，把绕着点顺时针旋转得到，延长交于，连接，根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，，，求得，根据全等三角形的性质得到，求得； （3）如图，把线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，设的中点为，连接，根据等边三角形的性质得到，，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得到，，求得，当点在线段上时，有最小值，最小值为，得到，，于是得到结论． 【小问1详解】 解：，为边的中点， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ； ； 【小问2详解】 解：； 证明：如图2，在上截取， 把绕着点顺时针旋转得到，延长交于，连接， ，， 是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， 把绕着点顺时针旋转得到， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ， ， ，为的中点， ， ； 【小问3详解】 解：； 如图3，把线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，设的中点为，连接， 是等边三角形， ，， 以为边向上构造等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， 点在以为圆心，2为半径的圆上， 是等边三角形，为的中点， ，， ， 当点在线段上时，有最小值，最小值为， ，为的中点时， ，， ， 的最小值为，， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$