精品解析：云南省保山市智源初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

保山市智源中学2024—2025学年上学期九年级 第一次单元检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：100分） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目；非选择题必须用黑色字迹的签字笔填写在答题卡，字体工整．在试卷上作答无效． 一、选择题（共15题，每题只有一个正确选项，每题2分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （为常数） C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、不是整式方程，故该选项错误； B、，当时，未知数最高次数不是2，故该选项错误； C、化简后得，故该选项错误； D、时一元二次方程，故该选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. y=3x B. y=x²+（3-x）x C. y=（x-1）² D. y=ax²+bx+c 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意； B． ，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意； C．，是二次函数，故该选项正确，符合题意； D．，当时，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 3. 关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到 D. 在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.二次函数 的对称轴为直线，故A选项不符合题意； B. 二次函数 的顶点坐标，故B选项不符合题意； C. 二次函数 的图像可以由二次函数 的图像向上平移1个单位得到，故C选项不符合题意； D. 二次函数 的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D选项符合题意． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键． 4. 设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. ﹣7 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理，分别求出x1+x2和x1x2的值，即可得出答案. 【详解】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根， ∴x1+x2＝5，x1x2＝m． ∵x1+x2﹣x1x2＝5﹣m＝2， ∴m＝3． 故选B． 【点睛】本题考查的是韦达定理：若x1和x2是的两个根，则x1+x2=，x1x2=. 5. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ） A. 2023 B. 2012 C. 2019 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了一元二次方程的解．把代入方程，可得，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 故选：D 6. 如果将抛物线向右平移2个单位后得到，那么原抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数平移的性质进行解题即可； 【详解】解：∵将抛物线向右平移2个单位后得到， ∴抛物线向左移2个单位得原函数解析式， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象平移的性质，掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． 7. 若将一元二次方程化成的形式，则b的值是（ ） A. B. 4 C. D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法解方程的步骤求解可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 8. 一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】患流感的人把流感传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染了人，根据两轮传染后共有121人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：若每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染了人， 根据题意，可得：． 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的定义，掌握二次函数与轴的交点的横坐标即为时对应一元二次方程的解是解题关键．根据抛物线与x轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解，再结合二次函数的定义，即可确定的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有交点， 关于的方程有实数根，且， ，且， 解得：且， 故选：A． 10. 某校九年（一）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片．如果全班有名学生，根据题意，列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程． 【详解】：根据题意得：全班有名学生，每人要赠送（x﹣1）张相片，列方程得， （x﹣1）x＝2070， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人是解决问题的关键． 11. 2024年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设平均每天票房的增长率为x，则第二天票房为亿元，第三天票房为亿元，再根据三天累计票房为亿元即可列出对应的方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 12. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 13. 已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，随的增大而增大， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 14. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函数系数对比，即可得到答案． 【详解】解：A选项中，开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴，， 而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，， ∴A选项不符合题意； B选项中，开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴，， 而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，， ∴B选项不符合题意； C选项中，开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴，， 而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，， ∴C选项不符合题意； D选项中，开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴，， 而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，， ∴D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数图象的性质，从而完成求解． 15. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x=-1，即， ∴b=2a，则b＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间， 则与x轴的另一个交点在-2和-3之间， ∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误； ∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c， ∴a-b+c≥ax2+bx+c， ∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确； ∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a， ∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题（共4题，每题2分，共8分）． 16. 若函数是关于的二次函数，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（且a、b、c是常数）的函数叫做二次函数． 17. 与抛物线的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为的抛物线解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 设所求的抛物线解析式为，由二次函数的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系及各项已知条件可知，，，于是可得答案． 【详解】解：设所求的抛物线解析式为， 所求的抛物线与抛物线的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为， ，，， 所求的抛物线解析式为， 故答案为：． 18. 若关于的一元二次方程，其根的判别式的值为8，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式的定义得到，然后解关于的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 解得， 即的值为． 故答案为：． 19. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 _____米． 【答案】3.5 【解析】 【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A点坐标（-10，0），B点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），N点横坐标为5， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴当时，， ∴支柱MN的高度=8-4.5=3.5米， 故答案为：3.5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解． 三、解答题（共8题，共62分）． 20. 解下列方程： （1） （2）（用公式法解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）先整理方程，再利用公式法解答，即可求解； （2）先求，再利用公式法解答，即可求解． 【小问1详解】 解： 整理得：， ∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 21. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，的取值范围为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意，先由顶点坐标设二次函数的顶点式，然后代入点求得函数的解析式； （2）由得出二次函数的图象开口向下，有最高点，对称轴是直线，再求得和的函数值，然后结合函数的增减性得到的取值范围． 本题主要考查了二次函数的解析式、函数的增减性，解题的关键会用顶点式求得二次函数的解析式． 【小问1详解】 解：二次函数的图像经过点，顶点坐标为， ∴设二次函数的表达式为， 将代入，得， 解得：， ． 【小问2详解】 解：，二次函数的表达式为， 二次函数的图象开口向下，有最高点，对称轴是直线， 当时，， 当时，， 的取值范围为：， 故答案为：； 22. 抛物线与直线交于点． （1）求和的值； （2）当取何值时，二次函数的值随的增大而增大． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先把点代入求出，则确定交点坐标为，然后把代入得； （2）根据二次函数的性质得到对于二次函数，当时，随的增大而增大． 本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法解函数解析式，二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解： 函数的图象与直线交于点， 把点代入得， 解得， 交点坐标为， 把代入得， 即； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴二次函数，开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大． 23. 已知：关于的方程； （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）已知是方程的两个根，且，则的值为多少． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， 无论取何值，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值，再利用配方法得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得到，，而，所以，然后解关于的方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和分式方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得，， ， ，即， 解得， 经检验是的解， 的值为1． 24. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 25. 已知二次函数（m为常数，）的图像经过点． （1）求m的值； （2）判断二次函数的图像与直线有几个交点并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：1个交点，理由如下： ∵， ∴， ∴二次函数的图像与直线可得：，即 ∵， ∴二次函数图像与x轴有2个交点， ∴二次函数的图像与直线只有1个交点 【解析】 【分析】（1）将解析式求解即可． （2）用判别式Δ的符号可判断抛物线与轴交点个数即可解答 【小问1详解】 解：将代入可得：，解得， 又∵， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、掌握二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 26. 已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为． （1）点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是； （2）点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是； 【答案】（1）秒 （2）秒 【解析】 【分析】（1）于，连接，由可求解； （2）由勾股定理可求解； 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动，设运动的时间为， ∴点从到的运动时间为（秒），点从到的运动时间为（秒），，， ∴， ∵当点停止运动时点也停止运动， ∴， 作于，连接， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形的面积是， 又∵， ∴， 解得：； ∴点和点两点从出发开始到秒，四边形的面积是； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得：，（，舍去）， ∴点和点两点从出发开始到秒，点和点之间的距离是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，一元一次方程和一元二次方程的应用．利用方程的思想解决问题是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为． （1）求n的值和抛物线的解析式． （2）已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），过P点作垂直于x轴交直线于点F，设点P的横坐标为a．当a为何值时，线段有最大值，求出其最大值及此时点P的坐标． （3）在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），抛物线的表达式为； （2）当时，有最大值，最大值为16，； （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的坐标为，则点，求得，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据题意，需要分两种情况：①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，由此可得是等腰直角三角形，设出点的横坐标，代入函数解析式即可；②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设点的横坐标为，则，代入函数解析式即可． 【小问1详解】 解：对于， 令，则， 令，解得， 当时，， 故点、、的坐标分别为、，； 将点、的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴的平行线交于点，连接，， 设点P的坐标为，则点， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为16； 当时，． ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ①当点为直角顶点时，如图，过点作交抛物线于点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，， ，， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 点在抛物线上， ，解得（舍）或， ，， ． ②当点为直角顶点时，如图，过点作交抛物线于点，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线， 由①知， ， ， ， 设点的横坐标为，则， ，解得或（舍， ． 综上可知，存在点，使是以为直角边的直角三角形，此时或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保山市智源中学2024—2025学年上学期九年级 第一次单元检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：100分） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目；非选择题必须用黑色字迹的签字笔填写在答题卡，字体工整．在试卷上作答无效． 一、选择题（共15题，每题只有一个正确选项，每题2分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （为常数） C. D. 2. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A. y=3x B. y=x²+（3-x）x C. y=（x-1）² D. y=ax²+bx+c 3. 关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A. 对称轴为直线 B. 顶点坐标为 C. 可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到 D. 在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 4. 设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m的值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. ﹣7 D. 7 5. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ） A. 2023 B. 2012 C. 2019 D. 2024 6. 如果将抛物线向右平移2个单位后得到，那么原抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 若将一元二次方程化成的形式，则b的值是（ ） A. B. 4 C. D. 14 8. 一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 10. 某校九年（一）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片．如果全班有名学生，根据题意，列出的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 2024年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 13. 已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（ ） A. B. C. D. 14. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 15. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共4题，每题2分，共8分）． 16. 若函数是关于的二次函数，则____． 17. 与抛物线的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为的抛物线解析式是______． 18. 若关于的一元二次方程，其根的判别式的值为8，则的值是______． 19. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 _____米． 三、解答题（共8题，共62分）． 20. 解下列方程： （1） （2）（用公式法解） 21. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，的取值范围为______． 22. 抛物线与直线交于点． （1）求和的值； （2）当取何值时，二次函数的值随的增大而增大． 23. 已知：关于的方程； （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）已知是方程的两个根，且，则的值为多少． 24. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 25. 已知二次函数（m为常数，）的图像经过点． （1）求m的值； （2）判断二次函数的图像与直线有几个交点并说明理由． 26. 已知：如图，在矩形中，，，动点，分别从，处同时出发，点以的速度向点移动，一直到为止，点以的速度向移动．当点停止运动时点也停止运动，设运动的时间为． （1）点和点两点从出发开始到几秒，四边形的面积是； （2）点和点两点从出发开始到几秒，点和点之间的距离是； 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为． （1）求n的值和抛物线的解析式． （2）已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），过P点作垂直于x轴交直线于点F，设点P的横坐标为a．当a为何值时，线段有最大值，求出其最大值及此时点P的坐标． （3）在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $