4.2.2指数函数的图像和性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课时教学设计模板 题目 指数函数的图象和性质 第 1 课时 内容和内容解析 内容 指数函数的图象和性质 内容解析 对于指数函数图象和性质的研究，应从函数出发，通过取不同值时函数的图象直观地体现指数函数的变化规律；然后在大量具体图像的基础上归纳其共同特征，并选择有代表性的图象反映这样的特征，说明函数的定义域，值域，特殊点，单调性。由函数的图象能体现函数的性质，而由函数的性质也也能确定函数的图像特征，教学应突出这种数形结合的思想方法，并通过解析式，图象，性质多元联系地认识指数函数的的本质和函数模型的特征。 学情分析 本节课是在学生学习了函数的概念、性质幂函数等知识的基础上进行研究的又一基本初等函数的性质，学生已经对函数的研究有了初步的经验。具备独立思考、合作交流、反思质疑等能力。学生可以通过观察、分析、共同探究等活动，由具体的问题和图像进行归纳、演绎，从而得到有关性质。 目标和目标解析 目标 （1）通过学生描点作图作简单的指数函数y=和y=图象再利用计算工具作更多图象，学生通过观察，直观地发现函数图象所体现的性质并总结。 （2）通过应用函数的单调性比较大小，进一步明确函数的底数影响函数的单调性。通过应用函数图象解决问题，进一步认识指数函的图像，并由图象理解指数函数的单调性。 目标解析 （1）能根据函数解析式或利用计算工具计算出指数函数的两个变量的一些对应值并列表，然 后描点或利用信息技术画出指数函数的图象，或能根据函数解析式直接利用信息技术画出指数函数的图象；结合函数图象，归纳这些图象的共同特征，探索并总结指数函数的单调性与特殊点，并结合函数解析式验证所总结的函数单调性和特殊点 (2)结合指数函数的教学，体会“概念一图象一性质”的研究具体函数的一般思路；在由具体实例抽象为具体函数、再由具体函数概括为指数函数的过程，提升数学抽象素养；结合由函数图象直观认识函数性质的过程，体会数形结合的思想方法，提升直观想象素养 教学重点 指数函数的图象与性质。 教学难点 用函数图象和指数运算的方法研究指数函数。 教学方法分析 教学过程设计 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务解决 设计意图或评价目标 环节一 引导语 上一节课，我们经历了数学建模，获得了指数函数的概念， 依据基本初等函数的研究路径，接下来应该研究函数的图象与性质 ,并进行初步的应用。 环节一 创设情境，提出问题 问题1类比幂函数性质的研究过程和方法，依据函数性质的相关理论 ,我们要研究指数函数的哪些性质？如何研究？ 师生活动: 学生思考之后回答。根据函数性质的相关理论，应该研究指数函数的单调性、奇偶性等。类比幂函数的研究过程，还应该研究特殊点 、函数图象的位置、变化趋势等。 研究方法是先画图象，然后观察图象，归纳性质。教师指出：在画函数图象、 研究函数性质的过程中 ,要注意利用指数的定义和性质，指数幂的运算性质 规划本节课的研究内容，明确研究方法。 在一般观念的指导下自觉地开展研究。 环节二 环节二 观察实验，获得性质 问题2我们从简单的函数y=2x 开始研究。如何绘制该函数的图象？ 追问 根据指数幂的性质 ,你认为必须取的自变量有哪些？ 问题3为了得到指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察。用同样的方法， 在同一直角坐标系内画出函数y =(1/2)x 的图象，并与函数y=2x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数y=2x 的图象，画出函数y =(1/2)x 的图象？ 追问1你能利用解析式，从代数的角度解释如上对称关系吗？ 先观察表中点的坐标之间的关系，由此你得到的思路是什么？ 追问2 上述结论具有一般性吗？ 师生活动 学生思考、回答，必须取的自变量有x=0，1; 再用“列表→描点→连线”的方法画出该函数的图象。可以使用计算工具进行计算。 师生活动 学生通过观察发现，两个函数图象上的点， 当横坐标互为相反数时纵坐标相同。 师生活动 学生独立思考得出结论： 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称。 教师讲解 函数图象是由点组成的， 因此可以借助于函数图象上点的关系分析函数图象的关系。 在这个过程中，我们还经历了从观察、猜想到论证 ,继而得出一般结论的过程。这些都是数学学习中常用的研究方法。 设计意图 从一个简单的指数函数开始研究，初步了解指数函数图象，为后续的画图做好准备。 设计意图 从描点画图过渡到利用函数图象之间的对称关系画图，学会用代数方法分析函数图象之间的关系，数形结合研究函数的图象与性质，并培养学生从具体、直观到一般、抽象地进行研究的能力。对于抽象能力较强的学生，可以跳过追问 1,直接进入一般关系的研究。 环节三 问题4 选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值，例如a=3, a=4,a: 3’a= ,在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象 ,观察这些图象的位置、公共点和变化趋势 ,它们有哪些共性？ 根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出指数函数 y=a*(a>0,且a≠1)的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等 图象 定义域 值域 性质 过定点 单调性 追问 教师用软件展示当底数变化时指数函数图象的变化情况，如图，你还能发现指数函数图象之间的哪些关系？ 并说出你观察的方法。 师生活动 学生利用描点法 底数互为倒数的指数函数图象之间的关系，画出这些函数的草图,首先发现指数函数的图象按底数a 的取值可以分两种类型。 因此接下来的研究可以分两种情况进行，并注意它们之间的联系。之后展示交流 ,教师予以完善 更多图象，引导学生观察从图像性质到图象间关系多角度观察培养学生直观想象素养， 环节四 例题练习，巩固理解 例3 比较下列各题中两个值的大小： （1） （2） （3） 例4如右图，某城市人口呈指数增长. （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到底数万人？ .教师引导学生将每一组中的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，从而利用指数函数的单调性进行比较.或者与特定的值比较，根据函数取值的特点进行判断 教师引导学生学生对问题进行分析，根据该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系，由于倍增期是20年，因此容易得到“从80万人开始，20年后人口大约会增长到160万人”. 通过应用函数的单调性比较大小，进一步理解指数函数的单调性，发展学生的逻辑推理核心素养. 设计意图：通过应用函数图象解决问题，进一步认识指数函数的图象，并由图象理解指数函数的概念和性质. 课堂小结 小结提升，形成结构 回顾本节课的学习内容，回答下列问题： (1)本课时我们研究了指数函数的图象与性质，采用了哪些绘制函数图象的方法，学到了哪些观察函数图象获得性质的方法？具体有哪些内容？ (2)比较大小的题目与幂函数中同类题目的求解有何异同？解决实际问题的题目用到了指数函数的哪些知识？体现了怎样的观点？ (3)在这个单元我们类比幂函数研究了指数函数，研究的基本路径是怎样的？包括哪些内容、经历了怎样的过程、用到了哪些方法？请你画出结构图表示。 师生活动学生先自己总结，然后展示交流，教师完善 (1)绘制函数图象的方法：列表一描点一连线法，列表时要利用函数解析式分析应该取哪些自变量 的值；分析函数解析式得出函数图象之间的对称性，利用对称性画图；利用技术画图。有序地观察图象，并通过小组交流互相补充，获得关于图象及其关系的更多的结论。具体内容有：单调性、过定点、对称性、取(2)比较大小的题目与幂函数中同类问题的解法类似，只是构造的具体函数不同而已，实际问题的解 值特点、位置特征，等等， 决充分应用了指数函数刻画增长率或衰减率不变的特点，并知道了半衰期、倍增期都是确定的时长。在解决这些问题的过程中渗透了用函数观点解决问题的意识 通过回忆本节知识推导过程，了解以后学习新函数的探究方法. 目标检测与作业设计 反馈评价 1.下列图象中有可能是指数函数的是（ ） 2.课本115页3题 利用指数函数的知识解决实际问 板书设计 4.2.1指数函数的图象和性质 指数函数的图象： 指数函数的性质： （大屏幕） 例3： 例4： 反思 在整个的教学过程中，始终体现以学生为本的教育理念； 在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。另外教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、 立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响。在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法， 让学生在活动中感受数学思想方法之美、 体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。当然本节课也有不足之处，指数函数性质部分教学时间稍多，后面单调性的应用比较大小稍显仓促，学生自主探究的时间不够，我应该给出充分的时间，让学生观察图象，画图象。 学科网（北京）股份有限公司 $$