4.2.1指数函数的概念教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课时教学设计模板 题目 4.2.1指数函数的概念 第 1 课时 内容和内容解析 内容 指数函数的概念 内容解析 教科书按照背景-概念-图像和性质-应用的路径介绍指数函数，体现函数研究的一般思路。对于指数函数，教科书以两地景区游客流量变化的问题为例，通过与一次函数直线增长的对比，引入指数函数，突出指数函数爆炸性增长的特点，以帮助学生更好的把握指数函数的变化规律。让学生充分感受，数学建模、直观形象，及由特殊到一般的思想方法。 学情分析 本单元的难点是抽象、概括指数函数的概念和性质，因为学生需要通过观察、分析、探究等一系列的思维活动，由具体的问题和图像进行归纳、演绎，并通过抽象概括或者推理得出其本质，从而得到有关概念和性质，所以在这个过程中学生有可能会遇到困难。尤其是对指数函数第一节问题1中B景区的数据观察分析，需要用到作除法得到增长率，不容易想到 目标和目标解析 目标 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 目标解析 （1） 在问题1中，学生通过问题引导比较A，B两地中的数据和图像分析，归纳出A地游客人次增长呈线性增长，B地成非线性增长特点。并且对B地的数据做除法运算，得到年增长率是一个常数。知道，除了用增加量刻画游客人次变化，还可以用增长率来刻画。感受数学是有用的。 （2） 在问题2中，学生类比问题1的研究方法，小组合作获取并梳理重要的数学信息，根据引导学生能用函数刻画碳14衰减的规律，引出用函数刻画指数衰减的问题，为抽象得到指数函数做准备，领会数学的抽象性。 （3）经历问题1和问题2的探究，抽象出指数函数的概念，能明确其形式和定义域。通过小组能讨论出a的范围。通过解析式和a的范围两方面入手，能准确判断什么样的函数是指数函数。养成严谨论证的数学思维。 （4）通过例1学生能求出指数函数的解析式，并根据解析式求不同的函数值，从指数函数的对应关系和变化规律的角度理解指数函数的概念。 （5）例2通过利用指数函数概念解决问题1和问题2有关的问题，从而巩固对概念的理解。能知道指数函数的实际意义有指数爆炸和指数衰减。 教学重点 经历指数函数概念的抽象过程，学会归纳概括指数函数的方法。 教学难点 学生探究发现用倍数关系刻画变化规律。 教学方法分析 以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学过程设计 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务解决 设计意图或评价目标 环节一 创设情境，建立模型 引导语：在上一节，我们已经将指数幂从整数指数幂推广到实数指数幂，从而为指数函数的研究做好了准备，接下来我们就来研究这类函数。 问题1.随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A、B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票，表4.2-1给出了A、B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。（表4.2-1） 时间/年 A地景区 B地景区 人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次 2001 600 　 278 　 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1244 126 表4.2-1 追问2：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，通过年增加量可以看出A地景区的游客人次的变化规律：即每年都比上一年增加约10万人次，呈线性增长，按此规律从2001年算起，x年后大约游客是多少呢？（答：y=10x+600）.而从表中数据和图像上不能看出B地景区游客人次的变化规律~非线性增长，那么能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？你想到哪种运算了？请你试一试. 利用这些数字你能提出怎样的数学问题？ 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到309/278=1.11,344/309=1.11,……1244/1118=1.11. 2001年到2002年游客人次的增长率怎样算？提示：4到6增长率怎样算？（6-4）/4=0.5. 类比上式，B景区游客人次的增长率怎样算？ 结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数. 追问3:如果设经过x年后游客人次为2001年的y倍，那么y关于x的函数关系式是什么? 请你思考这个问题中涉及的变量、常量，并写出它们之间的关系式. 于是上述实际问题就转化为一个数学问题：已知B地景区游客人次的增长率为0.11，经过x年后游客人次变为原来的y倍，那么y关于x的函数关系是怎样的? 得出的关系为：y=1.11x,x€[0,+∞). 教师讲解:这是一个函数，其中指数x是自变量，这个函数刻画的实际问题的变化规律的特征是增长率不变，并且是呈指数增长. 通过上述分析我们得到经过x年后的游客人次是2001年的y倍，那么y=1.11x,x€[0,+∞). 如果今年（2022年）你想去B景区旅游，预计一下那里今年的游客人次吧，（y=278*1.1121=278*8.95=2488.1,平均每天约6.8万人）大家了解一下这个结果.再决定去不去吧. 老师发问，学生抢答，众说纷纭： 睡懒觉、熬夜打游戏、和家人计划一次旅游…… 学生答：比如看看各地的旅游景点门票情况，人流量，安全问题，食宿问题等等. 学生读出关键词：旅游人数不断增加、提高门票价格、取消门票、游客人次、逐年增加量……. 师生活动: 让学生独立思考，结合数据的现实含义，学生应该能想到通过做除法运算发现B景区游客人次的变化规律. 教师讲解：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景区的游客人次变化规律近似于指数增长. 师生活动:学生独立思考.追问3是一个有难度的问题，如果学生有困难，可以改成如下问题： 从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的1.111倍； 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍；…… x年后，游客人次是2001年的1.11x倍； 如果设经过x年后的游客人次是2001年的y倍，那么y=1.11x,x€[0,+∞). B地景区问题中涉及的变量有：年数，游客人次，其中年数是自变量，游客人次随着年数的变化而变化.其中的常量是：年增长率，约为0.11. 通过背景材料的热点问题，学生了解国家经济发展，关心社会和增强安全生活意识。 学生通过问题1的数据析，图像察，发现线性和非线性变化律，从而探究出以等倍变化的指数增长形新函数模型。 环节二 变化情境，再次建模 引出新实例：假设A景区是浙江省杭州的良渚遗址，据说是距今约5000年的建筑遗址，我想去那里旅游，但是我想知道科学家是怎样推断出它的建造时间的.通过查资料我了解到，科学家是通过测量物体内的碳14含量计算出来的时间. 问题2.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 追问1：你读到的关键词有哪些？你能类比问题1的追问3解决这个问题吗？可以将它转化成一个怎样的数学问题？请你写出其中涉及的变量、常量，并写出它们之间的关系式. 追问2：对比问题1，还需要知道一年的衰减率，如何求？与哪个量有关？ 数学问题:已知碳14含量的年衰减率为p，设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么y关于x的函数关系是怎样的? 通过师生活动得到如下解答： 解:设生物死亡年数为x，刚死亡的生物体内碳14含量为1个单位，死亡生物体内碳14含量为y， 那么y=（1-p）x ，即 y=【(1/2)1/5730 】x 教师讲解:这也是一个函数，指数x是自变量，死亡生物体内碳14含量每年都以1-(1/2)1/5730 的衰减率衰减.像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减. 师生活动:老师提出问题，学生找出关键词：衰减率、半衰期、一半、含量、年数…… 类比问题1追问3后互相交流.问题2中的变量有：生物体死亡年数，及相应的死亡生物体内碳14含量，后者随前者的变化而变化.该问题中的常量是：半衰期. 师生活动:学生独立思考，找到碳14含量一年的衰减率与半衰期有关，并列方程求解. ​设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么​死亡1年后，生物体内碳14含量为:（1-p）1 死亡2年后，生物体内碳14含量为: （1-p）2 死亡3年后，生物体内碳14含量为: （1-p）3 ………. 死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)5730. 根据已知条件，(1-p)5730 =1/2,从而1-p=(1/2)1/5730,所以年衰减率为p=1-(1/2)1/5730. 从实际问题出发，抽象出数学问题的函数关系式. 环节三 抽象概念，内涵解析 问题3：比较①和②两式，如果用字母a代替其中的底数1.11和(1/2)1/5730 ，那么函数y=1.11x和y=【(1/2)1/5730 】x 就可以表示为y=ax的形式，其中指数x是自变量，（底数a是一个大于0且不等于1的常数）.于是得到一个新的函数. 板书： 定义 一般地，函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 特征： 系数：ax的系数为 1 指数：自变量x 底数：a>0且a≠1(常数) 追问:我们从两个实际问题出发，先建立各自的函数关系式，再归纳关系式的共性，抽象出指数函数的概念.在①②两式中，函数的定义域与上述定义中定义域的规定是不同的.如何解释？ 学生分组讨论a的不同取值情况并展示结果，教师评价，得出定义的严谨性 由特殊的两个函数关系式归纳出一类新函数——指数函数 环节四 例题练习，巩固理解 例1.(多选题)下列选项是指数函数的是（ ） A.y=2x B.y=（0.1）x C.y=10-x D.y=22x E.y=2ax(a>0且a≠1) F.y=2x+2 G.y=2x+1 H.y=(a+1)x. 总结：系、指、底 答案：A、B、C、D 变式题：已知函数f(x)=(2a-1)x是指数函数，求a的取值范围. 例2.已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1),且f(3)=П，求 f(0)，f(1)，f(-3)的值. 总结：通过计算可以发现什么？函数值都大于零. 学习了指数函数定义，我们可以解决一些实际问题，比如10000年后，生物体内C14含量变为原来的多少？A、B两地旅游收入变化情况，这些都需要用到这节所学的指数函数. 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y=N(1-p)x(x是自然数).形如y=kax（k属于R,且k≠0,a＞0, 且a≠1）的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. 师生活动：例1学生先思考，再分组给出组内结果，教师评价. 例2学生先自主完成.并总结方法：先根据已知求出a的值，再求具体的函数值. 通过例1和变式题，使学生更好的熟悉指数函数的形：系数、指数、底数. 课堂小结 小结提升，形成结构 回顾本节课的学习内容，回答下列问题： （1） 我们用怎样的方法发现A、B两地景区游客人次的变化规律的？ （2） 从实际问题到函数关系，我们经历了怎样的过程？ 学生思考，组内讨论，出个别同学总结. 1.用减法和除法运算发现规律， 2.从实际问题出发，将实际问题转化为数学问题，用字母表示数，抽象出指数函数的概念，并初步应用指数函数解决简单的实际问题. 通过回忆本节知识推导过程，了解以后学习新函数的探究方法. 目标检测与作业设计 反馈评价 课本115页练习1题 1.下列图象中有可能是指数函数的是（ ） 2.假定现在获取的知识是 1 ，每天多努力 1% ，那么，一年后会怎样？若每天放松 1% ，那么，一年后会怎样？ (1+0.01)365=37.78 (1-0.01)365=0.0255 结束语： 为了将来能有更好的生活，更多的旅游机会，让我们每天努力一点点. 布置作业，应用迁移 一．课本115页练习第3题 3.在某个时期，某湖泊中的海藻每天以0.0625的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具） y=1.0625x y=1.062530=6.16(约) 二．课本118页-119页习题4.2第1、2、4、5题 学生完成，教师评价。 利用指数函数的知识解决实际问题 巩固指数函数的概念 板书设计 4.2.1指数函数的概念 定义 一般地，函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 特征：系数为1； 指数为自变量； 底数是常量且大于零不等于1. （大屏幕） 景区游客人次：y=1.11x,x€[0,+∞) 碳14含量：y=【(1/2)1/5730 】x x€[0,+∞) 新函数：y= ax 反思 学生已经学习了函数的概念和性质，并研究了幂函数，了解了研究一个函数的基本路径，具有了用高中所要求的函数“话语方式”进行表达的经验，这是学习本单元的基础，在幂函数及之前其他函数的学习过程中变量之间关系的建立比较直接，指数函数部分加强了概念的形成过程，A 、B两地景区游客人次变化的规律，需要学生运用代数学习中培养起来的一般观念来解决，即通过运算发现规律的意识和能力，而这一点无论在思想层面还是操作层面都比较薄弱，不仅学生甚至教师也是如此，因此造成了学习难点。而碳14衰减变化的规律似乎明显，但是要正确表达也不是能一步到位的，对学生而言有一定难度。 突破上述难点的办法是，教师首先要具备研究代数问题的一般观念，知道减法和除法是发现变化规律的重要方法，并类比不等式性质的学习，帮助学生回忆研究方法，培养学生探索发现的眼光和能力，然后再进入具体操作环节。对于碳14含量衰减变化的规律，要引导学生分析解决问题，需要先找到每年的衰减率这一基本量，从而建立方程，利用半衰期求解，之后进入常规问题的求解环节。 学科网（北京）股份有限公司 $$