九年级上学期期中真题必刷基础60题（34个考点专练）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

期中真题必刷基础60题（34个考点专练） 一．一元二次方程的定义（共2小题） 1．（2023秋•南昌期中）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•榆树市期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值是　　 A． B．3 C．或3 D．都不对 二．一元二次方程的一般形式（共2小题） 3．（2023秋•贵阳期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　 A．1，2，1 B．1，，1 C．0，， D．0，，1 4．（2024春•婺城区校级期中）把一元二次方程化为一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 三．一元二次方程的解（共1小题） 5．（2024秋•绥德县期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　 A．0 B．1 C．4 D．9 四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题） 6．（2024秋•香洲区期中）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 五．解一元二次方程-配方法（共1小题） 7．（2024秋•农安县期中）一元二次方程配方可变形为　　 A． B． C． D． 六．解一元二次方程-公式法（共1小题） 8．（2024秋•前郭县期中）解方程：． 七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 9．（2023秋•唐河县期中）方程的根是　　 A ． B ． C ．， D ．， 八．根的判别式（共1小题） 10．（2023秋•兴宁市校级期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 九．根与系数的关系（共1小题） 11．（2024秋•凉州区期中）已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围． （2）若，满足；求实数的值． （3）实数在（2）条件下，求代数式的值． 一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 12．（2024秋•红桥区期中）某工厂今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．设该工厂每个月生产成本的平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 一十一．一元二次方程的应用（共2小题） 13．（2024秋•潢川县校级期中）有一个分裂细胞经过两次分裂后变成100个，那么在每次分裂中，平均一个细胞可以分裂为　　 A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 14．（2024秋•绥德县期中）陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．眉县某猕猴桃果园2021年猕猴桃单位面积产量为，由于引进了新的种植技术，该果园的猕猴桃产量在逐年增加，2023年猕猴桃单位面积产量达到了．这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为 　　． 一十二．配方法的应用（共1小题） 15．（2024春•花山区校级期中）为实数，则的最小值是　　． 一十三．直角三角形斜边上的中线（共2小题） 16．（2024春•綦江区期中）如图，在中，，为的中点，，则的长是 　　． 17．（2024春•朝阳区校级期中）如图，、分别是△的高，为的中点，，，则△的周长是 　　． 一十四．菱形的性质（共2小题） 18．（2024春•姑苏区校级期中）菱形的面积是24，一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为　　． 19．（2024春•凉州区校级期中）已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 　　． 一十五．菱形的判定与性质（共2小题） 20．（2024春•新晃县期中）如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明你的理由； （2）求证：． 21．（2024春•从江县校级期中）如图，在中，，，垂足分别为，，且． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的面积． 一十六．矩形的性质（共2小题） 22．（2024春•惠山区期中）菱形具有而矩形不一定具有的性质是　　 A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 23．（2024春•宝应县期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的长为 　　． 一十七．矩形的判定（共2小题） 24．（2024春•长沙期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•连山县校级期中）如图，四边形的对角线，交于点，已知是的中点，， （1）求证：△△； （2）若，求证：四边形是矩形． 一十八．矩形的判定与性质（共2小题） 26．（2023春•西乡塘区校级期中）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形． （1）求证：为矩形； （2）若，求的面积． 27．（2024春•东莞市期中）如图，在四边形中，，，为边上一点，且， 连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长， 一十九．正方形的性质（共2小题） 28．（2024春•阳谷县期中）菱形，矩形，正方形都具有的性质是　　 A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 29．（2024春•天山区校级期中）如图，在正方形外侧作等边，则的度数为　　 A． B． C． D． 二十．正方形的判定（共2小题） 30．（2023春•东港区校级期中）如图，将长方形纸片折叠，使点落在上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是　　 A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 31．（2024春•海淀区校级期中）已知菱形中对角线、相交于点，添加条件　 　可使菱形成为正方形． 二十一．正方形的判定与性质（共1小题） 32．（2024春•梁溪区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 二十二．几何变换的类型（共1小题） 33．（2023秋•萧山区期中）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 二十三．比例的性质（共2小题） 34．（2024秋•义乌市期中）已知，则 　　． 35．（2023秋•蜀山区校级期中）如果，且，求的值． 二十四．比例线段（共2小题） 36．（2023秋•青龙县期中）已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 37．（2024春•芝罘区期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 二十五．平行线分线段成比例（共3小题） 38．（2023春•芝罘区期中）如图所示，中若，，则下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 39．（2023秋•历下区期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 40．（2023秋•天长市期中）如图，已知，，，，． （1）求的长； （2）求的长． 二十六．相似多边形的性质（共2小题） 41．（2022秋•冠县期中）两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为　　 A． B． C． D． 42．（2018秋•茂名期中）两个相似多边形一组对应边分别为，，那么它们的相似比为　　 A． B． C． D． 二十七．相似三角形的性质（共2小题） 43．（2022秋•银海区期中）若，且，则与的周长比为　　 A． B． C． D． 44．（2023秋•信都区期中）已知△△，且，则△的面积与△的面积之比为　　 A． B． C． D． 二十八．相似三角形的判定（共1小题） 45．（2023秋•慈溪市期中）如图，下列条件不能判定的是　　 A． B． C． D． 二十九．相似三角形的判定与性质（共6小题） 46．（2023秋•涞源县期中）如图，在中，，，下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 47．（2023秋•德化县期中）如图，在中，是边上的点，连接，交于点，若，则的值是 　　． 48．（2023秋•昌平区期中）如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2），且，求的长． 49．（2024秋•单县校级期中）已知：如图，，，分别是的，，边上的点，，． （1）求证：． （2）若，，求和． 50．（2023秋•蜀山区校级期中）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，求正方形的边长． 51．（2023秋•内乡县期中）如图，中，，点在边上，且交于点． （1）求证：； （2）若，，是中点，求的长． 三十．相似三角形的应用（共2小题） 52．（2023秋•七星区校级期中）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为，树的顶端在水中的倒影距自己远，该同学的身高为，则树高为　　． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 53．（2023秋•西湖区校级期中）如图，某校宣传栏后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知，米，米，该宣传栏后处共有 　　棵树．（不计宣传栏的厚度）． 三十一．位似变换（共1小题） 54．（2023秋•市南区校级期中）如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，使它与的相似比为2，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是　　 A． B． C． D． 三十二．作图-位似变换（共1小题） 55．（2023秋•南海区期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出，并画出关于轴对称的△ （2）以为位似中心，在第一象限内把扩大到原来的两倍，得到△． 三十三．列表法与树状图法（共3小题） 56．（2023秋•文峰区校级期中）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 　　名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角　　度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 57．（2023秋•金水区校级期中）某商场在“五一”促销活动中规定，顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会．为了活跃气氛，设计了两个抽奖方案： 方案一：转动转盘一次，转出红色可领取一份奖品： 方案二：转动转盘两次，两次都转出红色可领取一份奖品（两个转盘都被平均分成3份） （1）若转动一次转盘，求领取一份奖品的概率； （2）如果你获得一次抽奖机会，你会选择哪个方案？请采用列表法或树状图说明理由． 58．（2023秋•连山区校级期中）有同样大小的1块黑方砖和2块白方砖随机拼成一横条，颜色如图中黑白相间放置的概率是 　　． 三十四．利用频率估计概率（共2小题） 59．（2023秋•市南区校级期中）一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为　　 A．12 B．18 C．27 D．36 60．（2023秋•东港市期中）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有 　　个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷基础60题（34个考点专练） 一．一元二次方程的定义（共2小题） 1．（2023秋•南昌期中）下列方程中，是一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：、是一元二次方程，故正确； 、是二元二次方程，故错误； 、是一元一次方程，故错误； 、是分式方程，故错误； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．（2023秋•榆树市期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值是　　 A． B．3 C．或3 D．都不对 【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【解答】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 二．一元二次方程的一般形式（共2小题） 3．（2023秋•贵阳期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　 A．1，2，1 B．1，，1 C．0，， D．0，，1 【分析】根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可． 【解答】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、1． 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为（其中，，为常数，且． 4．（2024春•婺城区校级期中）把一元二次方程化为一般形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【解答】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 三．一元二次方程的解（共1小题） 5．（2024秋•绥德县期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　 A．0 B．1 C．4 D．9 【分析】把代入方程即可求解． 【解答】解：的一元二次方程的一个根是， 将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 【点评】此题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟记一元二次方程的解的概念：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题） 6．（2024秋•香洲区期中）方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】开方得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：开方得：， 解得：，， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 五．解一元二次方程-配方法（共1小题） 7．（2024秋•农安县期中）一元二次方程配方可变形为　　 A． B． C． D． 【分析】方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点解题的关键． 六．解一元二次方程-公式法（共1小题） 8．（2024秋•前郭县期中）解方程：． 【分析】根据公式法即可求出答案． 【解答】解：， ，，， △， 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 9．（2023秋•唐河县期中）方程的根是　　 A ． B ． C ．， D ．， 【分析】根据因式分解法， 可得答案 ． 【解答】解： 因式分解， 得 于是， 得 或， 解得，， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程， 因式分解是解题关键 ． 八．根的判别式（共1小题） 10．（2023秋•兴宁市校级期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出△，解之可得答案． 【解答】解：根据题意，得：△， 解得， 故选：． 【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 九．根与系数的关系（共1小题） 11．（2024秋•凉州区期中）已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围． （2）若，满足；求实数的值． （3）实数在（2）条件下，求代数式的值． 【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根，得△，代入数值求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得，，而可化为，将其代入化简即可求解； （3）当时，可得，，，，，分别代入代数式中即可化简求解． 【解答】解：（1）一元二次方程有两个实数根， △， 解得：， 实数的取值范围； （2）由根与系数关系可得，， ， ， ， ， 解得（不合题意，舍去）或； （3）将代入原一元二次方程得：， ，，， ，， ， 将，代入原式得： 原式 ， 代数式的值为70． 【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． 一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 12．（2024秋•红桥区期中）某工厂今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．设该工厂每个月生产成本的平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用该工厂今年3月份的生产成本该工厂今年1月份的生产成本该工厂每个月生产成本的平均下降率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十一．一元二次方程的应用（共2小题） 13．（2024秋•潢川县校级期中）有一个分裂细胞经过两次分裂后变成100个，那么在每次分裂中，平均一个细胞可以分裂为　　 A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【分析】设在每次分裂中，平均一个细胞可以分裂为个，根据一个分裂细胞经过两次分裂后变成100个，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设在每次分裂中，平均一个细胞可以分裂为个， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 在每次分裂中，平均一个细胞可以分裂为10个． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．（2024秋•绥德县期中）陕西眉县是全国最大的优质猕猴桃生产基地，被誉为“中国猕猴桃之乡”．眉县某猕猴桃果园2021年猕猴桃单位面积产量为，由于引进了新的种植技术，该果园的猕猴桃产量在逐年增加，2023年猕猴桃单位面积产量达到了．这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为 　　． 【分析】设这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为，利用该果园2023年猕猴桃单位面积产量该果园2021年猕猴桃单位面积产量这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 这两年该果园猕猴桃单位面积产量的年平均增长率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十二．配方法的应用（共1小题） 15．（2024春•花山区校级期中）为实数，则的最小值是　5　． 【分析】根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【解答】解： ， ， ， 的最小值是5， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 一十三．直角三角形斜边上的中线（共2小题） 16．（2024春•綦江区期中）如图，在中，，为的中点，，则的长是 　3　． 【分析】根据直角三角形斜边中线是斜边一半得解． 【解答】解：，为的中点， ． 故答案为3． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线是斜边一半定理的应用，掌握边的数量关系． 17．（2024春•朝阳区校级期中）如图，、分别是△的高，为的中点，，，则△的周长是 　13　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出，再求△的周长就不难了． 【解答】解：、分别是△的高，为的中点，， 在△中，， 在△中，， 又， △的周长． 【点评】本题主要利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质． 一十四．菱形的性质（共2小题） 18．（2024春•姑苏区校级期中）菱形的面积是24，一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为　8　． 【分析】根据菱形的面积计算公式、为对角线的长度），已知一条对角线的长度和菱形的面积即可计算另一条对角线的长度． 【解答】解：菱形的面积计算公式、为对角线的长度）， 已知，， 则， 故答案为 8． 【点评】本题考查了菱形的面积计算公式，考查了菱形对角线互相垂直的性质，本题中正确利用面积计算公式求另一条对角线长是解题的关键． 19．（2024春•凉州区校级期中）已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 　24　． 【分析】菱形对角线互相垂直平分，所以，已知，，即可求得，即可求得的长，根据、即可求菱形的面积，即可解题． 【解答】解：，则， 菱形周长为20，则， 菱形对角线互相垂直平分， ， ，， 故菱形的面积． 故答案为 24． 【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形面积的计算，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键． 一十五．菱形的判定与性质（共2小题） 20．（2024春•新晃县期中）如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明你的理由； （2）求证：． 【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到． 【解答】解：（1）四边形是矩形． 证明：， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2）四边形是矩形 ， 在菱形中，． ． 【点评】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 21．（2024春•从江县校级期中）如图，在中，，，垂足分别为，，且． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的面积． 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明即可解决问题； （2）连接交于，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题； 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形． （2）连接交于． 四边形是菱形，， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 一十六．矩形的性质（共2小题） 22．（2024春•惠山区期中）菱形具有而矩形不一定具有的性质是　　 A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 【分析】根据菱形和矩形的性质即可做出判断． 【解答】解：、菱形的对角线相互平分，矩形的对角线也相互平分，不符合题意； 、菱形的对角线有可能相等而矩形的对角线相等，不符合题意； 、菱形的邻边不一定垂直，矩形的邻边互相垂直，不符合题意； 、菱形点的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定垂直，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 23．（2024春•宝应县期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，则的长为 　4　． 【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知，则，又，故可求． 【解答】解：是矩形 ， 又， 故答案为：4． 【点评】本题考查矩形的对角线相等的性质，属于矩形的基本性质，比较简单． 一十七．矩形的判定（共2小题） 24．（2024春•长沙期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据矩形的判定定理①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可． 【解答】解：、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，不能推出四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意； 、， 平行四边形是矩形，故本选项正确，符合题意； 、四边形是平行四边形， 当时四边形是菱形，故本选项错误，不符合题意； 、根据和平行四边形不能得出四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形． 25．（2023秋•连山县校级期中）如图，四边形的对角线，交于点，已知是的中点，， （1）求证：△△； （2）若，求证：四边形是矩形． 【分析】（1）由与平行，得到两对内错角相等，再由为的中点，得到，又，得到，利用即可得证； （2）由，得到，即，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证． 【解答】证明：（1）， ，， 为的中点， ， ， ， 即， 在△和△中， ， △△； （2）△△， ， ， ，且， 四边形为矩形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键． 一十八．矩形的判定与性质（共2小题） 26．（2023春•西乡塘区校级期中）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形． （1）求证：为矩形； （2）若，求的面积． 【分析】（1）根据题意可求，，可得，即结论可得 （2）根据勾股定理可求的长，即可求的面积． 【解答】解（1）为等边三角形， 四边形是平行四边形 ， ， 平行四边形为矩形； （2）在中，， ， 的面积 【点评】本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 27．（2024春•东莞市期中）如图，在四边形中，，，为边上一点，且， 连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长， 【分析】（1）首先判定该四边形为平行四边形，然后得到，从而判定矩形； （2）求得的长，在直角三角形中利用勾股定理求得的长即可． 【解答】解：（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． （2）平分． ． ， ． ． ． ， ． 在中，． 【点评】本题考查了矩形的判定及勾股定理的知识，解题的关键是利用矩形的判定定理判定四边形是矩形，难度不大． 一十九．正方形的性质（共2小题） 28．（2024春•阳谷县期中）菱形，矩形，正方形都具有的性质是　　 A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【分析】利用菱形、矩形和正方形的性质进行判断． 【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分． 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 29．（2024春•天山区校级期中）如图，在正方形外侧作等边，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由四边形是正方形，是正三角形可得，利用正方形和正三角形的内角性质即可得答案． 【解答】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ，， 是等腰三角形，， ． 故选：． 【点评】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，同时也利用了三角形的内角和，解题首先利用正方形和等边三角形的性质证明等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题． 二十．正方形的判定（共2小题） 30．（2023春•东港区校级期中）如图，将长方形纸片折叠，使点落在上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是　　 A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【分析】将长方形纸片折叠，使点落在上的处，可得到，折痕为，沿剪下，故四边形为矩形，且有一组邻边相等，故四边形为正方形． 【解答】解：将长方形纸片折叠，落在上的处， ， 折痕为，沿剪下， 四边形为矩形， 四边形为正方形． 故用的判定定理是：邻边相等的矩形是正方形． 故选：． 【点评】本题考查了正方形的判定定理，邻边相等的矩形是正方形，和翻折变换． 31．（2024春•海淀区校级期中）已知菱形中对角线、相交于点，添加条件　或　可使菱形成为正方形． 【分析】知道四边形是菱形和菱形的对角线，要在菱形的对角线的性质的基础上加上合适的条件使菱形成为正方形，再结合正方形的对角线的性质就可以得出需要添加的条件． 【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 【点评】本题是一道条件开放性试题，考查了菱形的性质的运用，正方形的性质的运用，解答时熟悉正方形的判定方法是关键． 二十一．正方形的判定与性质（共1小题） 32．（2024春•梁溪区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定逐个判断即可． 【解答】解：、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，错误； 、对角线互相平分、垂直的四边形是菱形，错误； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误； 、对角线相等的平行四边形是矩形，正确； 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定的应用，能熟记平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定的内容是解此题的关键． 二十二．几何变换的类型（共1小题） 33．（2023秋•萧山区期中）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】根据旋转的性质，作出两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【解答】解：如图，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 故选． 【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单． 二十三．比例的性质（共2小题） 34．（2024秋•义乌市期中）已知，则 　2　． 【分析】根据比例的基本性质，可分别设出和，再代入进行计算即可得出结果． 【解答】解：， 设，， ． 故答案为：2． 【点评】此题考查了比例的性质，关键是已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分． 35．（2023秋•蜀山区校级期中）如果，且，求的值． 【分析】令，从而表示出，，．再代入，即可求出的值，于是可以解决问题． 【解答】解：令， ，，， ， ， ， ，，， ． 【点评】本题考查比例的有关知识，设，是解题的关键． 二十四．比例线段（共2小题） 36．（2023秋•青龙县期中）已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【分析】利用比例线段的定理得到，然后利用比例的性质求即可． 【解答】解：根据题意得，即， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 37．（2024春•芝罘区期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决． 【解答】解：，故选项中的线段成比例； ，故选项中的线段成比例； ，故选项中的线段不成比例； ，故选项中的线段成比例； 故选：． 【点评】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 二十五．平行线分线段成比例（共3小题） 38．（2023春•芝罘区期中）如图所示，中若，，则下列比例式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， ，； ， ， ， ， ，， ， 故选：． 【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．找准对应关系，避免错选其他答案． 39．（2023秋•历下区期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由两条直线被三条平行线所截，利用平行线分线段成比例，即可求出的长． 【解答】解：两条直线被三条平行线所截， ，即， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 40．（2023秋•天长市期中）如图，已知，，，，． （1）求的长； （2）求的长． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【解答】解：（1）， ，即， 解得，， 则； （2）， ，即， 解得，． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 二十六．相似多边形的性质（共2小题） 41．（2022秋•冠县期中）两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【解答】解：相似多边形的周长的比是， 周长的比等于相似比，因而相似比是， 面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为； 故选：． 【点评】本题考查相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键． 42．（2018秋•茂名期中）两个相似多边形一组对应边分别为，，那么它们的相似比为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用相似多边形的性质化简得出答案． 【解答】解：两个相似多边形一组对应边分别为，， 它们的相似比为：． 故选：． 【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确把握相似比等于对应边的比是解题关键． 二十七．相似三角形的性质（共2小题） 43．（2022秋•银海区期中）若，且，则与的周长比为　　 A． B． C． D． 【分析】由，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【解答】解：，， 与的相似比为：， 与的周长比为：． 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方． 44．（2023秋•信都区期中）已知△△，且，则△的面积与△的面积之比为　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：△△，， △与△面积之比为， 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答的关键． 二十八．相似三角形的判定（共1小题） 45．（2023秋•慈溪市期中）如图，下列条件不能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：，， ， 故不符合题意； ，， ， 故不符合题意； ， ， 又， ， 故不符合题意； 根据，不能判定， 故符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 二十九．相似三角形的判定与性质（共6小题） 46．（2023秋•涞源县期中）如图，在中，，，下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，可得，，利用相似三角形的性质即可判断、、选项，再根据平行线分线段成比例即可判断选项． 【解答】解：， ，， ， ， 故选项不符合题意； ， ，， ， ， 故、选项不符合题意； ，， ，， ， 故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题关键． 47．（2023秋•德化县期中）如图，在中，是边上的点，连接，交于点，若，则的值是 　　． 【分析】先根据得，再根据平行四边形的性质得，，，由此可判定和相似，然后根据相似三角形的性质可得出答案． 【解答】解：， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 48．（2023秋•昌平区期中）如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2），且，求的长． 【分析】（1）由得到，然后得到； （2）利用相似三角形的性质求得的长． 【解答】（1）证明：于点，， ， ， ； （2）解：， ， ，，， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 49．（2024秋•单县校级期中）已知：如图，，，分别是的，，边上的点，，． （1）求证：． （2）若，，求和． 【分析】（1）证明，，即可解决问题． （2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，列出比例式即可解决问题． 【解答】（1）证明：，， ，，， ， ． （2）解：， ． 又， ，而， ； ， ， ， ； 和的面积分别为和． 【点评】本题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 50．（2023秋•蜀山区校级期中）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，求正方形的边长． 【分析】设正方形的边长为，则，再说明四边形为矩形得到，然后证明，再利用相似比可求出． 【解答】解：设正方形的边长为，则， 四边形为正方形， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即，解得， 即正方形的边长为4． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长． 51．（2023秋•内乡县期中）如图，中，，点在边上，且交于点． （1）求证：； （2）若，，是中点，求的长． 【分析】（1）由，可得出，再结合公共角相等，即可证出； （2）在中，利用勾股定理可求出的长，结合点为线段的中点可求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长． 【解答】（1）证明：，， ． 又， ． （2）解：在中，，，， ． 是中点， ． ， ，即， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出的长． 三十．相似三角形的应用（共2小题） 52．（2023秋•七星区校级期中）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为，树的顶端在水中的倒影距自己远，该同学的身高为，则树高为　　． A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，所以构成两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：由相似三角形的性质，设树高米， 则， ． 故选：． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，所以构成两个相似三角形． 53．（2023秋•西湖区校级期中）如图，某校宣传栏后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知，米，米，该宣传栏后处共有 　26　棵树．（不计宣传栏的厚度）． 【分析】根据题意得出，，根据相似三角形的相似比等于对应高的比即可求解线段的长度，从而求得树的棵数． 【解答】解：如图，设的延长线交于点， ，， ，， ， 又米，，米， 米， ， （米， ， ， 即处共有26棵树， 故答案为：26． 【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程来解决问题． 三十一．位似变换（共1小题） 54．（2023秋•市南区校级期中）如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，使它与的相似比为2，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】设点的横坐标为，根据数轴表示出、的水平的距离，再根据位似比列式计算即可． 【解答】解：设点的横坐标为， 则、间的水平距离为，、间的水平距离为， 放大到原来的2倍得到△， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键． 三十二．作图-位似变换（共1小题） 55．（2023秋•南海区期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出，并画出关于轴对称的△ （2）以为位似中心，在第一象限内把扩大到原来的两倍，得到△． 【分析】（1）根据关于轴对称点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）把、、点的横纵坐标都乘以2得到、、的坐标，然后描点即可． 【解答】解：（1）如图，和△为所作； （2）如图，△为所作． 【点评】本题考查了作图位似变换：掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）． 三十三．列表法与树状图法（共3小题） 56．（2023秋•文峰区校级期中）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 　400　名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角　　度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【分析】（1）①由组的人数除以所占百分比即可； ②求出、组的人数，补全条形统计图即可； ③由乘以组所占的比例即可； （2）由该校共有学生人数乘以参加组（阅读）的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】（1）①调查人数：（名， 故答案为：400； ②组的人数：（名， 组的人数：（名， ③扇形统计图中圆心角， 故答案为：， （2）， 答：参加组（阅读）的学生人数为980人； （3）树状图如下： 共有12中等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的有两种， （恰好抽中甲、乙两人）． 【点评】本题考查的概率及其应用，掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 57．（2023秋•金水区校级期中）某商场在“五一”促销活动中规定，顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会．为了活跃气氛，设计了两个抽奖方案： 方案一：转动转盘一次，转出红色可领取一份奖品： 方案二：转动转盘两次，两次都转出红色可领取一份奖品（两个转盘都被平均分成3份） （1）若转动一次转盘，求领取一份奖品的概率； （2）如果你获得一次抽奖机会，你会选择哪个方案？请采用列表法或树状图说明理由． 【分析】（1）利用概率公式求解； （2）利用树状图法求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【解答】解：（1）若转动一次转盘，求领取一份奖品的概率； （2）选择方案二． 理由如下： 方案二：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次都转出红色的结果数为4， 所以转动转盘两次，两次都转出红色可领取一份奖品的概率． 所以选择方案二． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 58．（2023秋•连山区校级期中）有同样大小的1块黑方砖和2块白方砖随机拼成一横条，颜色如图中黑白相间放置的概率是 　　． 【分析】首先确定黑色方砖的面积在整个地板中占的比例，这个比例即为黑白相间放置的概率． 【解答】解：地板上共有3块方砖，黑色方砖为1块，黑白相间放置的概率是， 故答案为：． 【点评】本题将概率的求解设置于黑白方砖中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 三十四．利用频率估计概率（共2小题） 59．（2023秋•市南区校级期中）一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为　　 A．12 B．18 C．27 D．36 【分析】设盒子中红球的个数为个，根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值． 【解答】解：设盒子中红球的个数为个． 根据题意得， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 所以这个不透明的盒子中红球的个数为27个． 故选：． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 60．（2023秋•东港市期中）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有 　9　个． 【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出白球个数即可． 【解答】解：设白球个数为：个， 摸到红色球的频率稳定在左右， ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故白球的个数为9个． 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$