12.3　第2课时　角的平分线的判定课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第2课时　角的平分线的判定 第十二章 全等三角形 - 第2课时　角的平分线的判定 探究与应用 课堂小结与检测 第十二章　全等三角形 全品初中 活动　理解并能证明角的平分线的判定定理,并应用其解决实际问题 [问题情景] 如图12-3-11,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路与铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为 1∶20000)? 图12-3-11 探究与应用 [引发思考] (1)在我们已经学过的定理中,有一些定理的题设和结论是可以互换的,你能说出将角的平分线的性质定理的题设和结论互换得到的命题吗?你觉得这个新命题是真命题吗? 解:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,这个新命题是真命题. 探究与应用 (2)对于上面得到的新命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请举出反例,并画图说明. 解:已知:如图,点P在∠AOB的内部,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 证明:如图,连接OP. ∵PC⊥OA,PD⊥OB, ∴∠OCP=∠ODP=90°. 探究与应用 在Rt△OCP和Rt△ODP中, ∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL). ∴∠COP=∠DOP. ∴OP平分∠AOB, 即点P在∠AOB的平分线上. 探究与应用 (3)根据结论,你能回答[问题情景]中的问题了吗? 解:集贸市场应建在公路和铁路夹角的平分线上. 设公路与铁路的交叉处为O,集贸市场距离点O x m, 则, 解得x=0.025,0.025 m=2.5 cm. 如图所示,画∠MON的平分线OA, 在射线OA上截取OP=2.5 cm. 点P即为这个集贸市场的位置. 探究与应用 角的平分线的性质定理与判定定理的对比 性质定理:如果点在角的平分线上,那么点到角的两边的距离相等; 判定定理:如果角内部的点到角的两边的距离相等,那么点在角的平分线上. 记 重点 探究与应用 [概括新知] 角的平分线的判定:　 　　　到角的两边的距离的            点在角的平分线上.  角的内部 相等 探究与应用 [理解应用] 例 (教材典题)如图12-3-12,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等. 证明:如图,过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足分别为D,E,F. ∵BM是△ABC的角平分线, 点P在BM上, ∴PD=PE. 图12-3-12 E F D 探究与应用 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF, 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等. E F D 探究与应用 变式 如图12-3-13,△ABC中∠ABC的平分线BD与外角∠ACF的平分线CE交于点P.求证:点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等. 图12-3-13 证明:如图,过点P作三边AB,BC,CA所在 直线的垂线,垂足分别是Q,M,N. ∵P是∠ABC的平分线BD上的一点, PM⊥BC,PQ⊥AB, ∴PM=PQ. M N Q 探究与应用 ∵P是∠ACF的平分线CE上的一点,PM⊥BC,PN⊥CA, ∴PM=PN.∴PQ=PM=PN, 即点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等. M N Q 探究与应用 如果三角形内一点到三边的距离相等,那么这个点一定是三 角形三条角平分线的交点. 记 重点 探究与应用 [本课时认知逻辑] 实际问题→提出数学问题→证明→角平分线的判定 解决 课堂小结与检测 C [检测] 1.如图12-3-14,点C,D分别在∠AOB的边OA,OB上,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则点P是 (　　) A.线段CD的中点 B.过点O作CD的垂线所得垂足 C.CD与∠AOB的平分线的交点 D.以上均不对 图12-3-14 课堂小结与检测 2.如图12-3-15,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,BC=DC,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF.求证:CE=CF. 图12-3-15 证明:连接AC.∵∠B=∠D=90°,BC=DC, ∴点C在∠BAD的平分线上, 即∠CAE=∠CAF. 在△CAE和△CAF中, ∴△CAE≌△CAF(SAS). ∴CE=CF. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$