平面向量的概念及线性运算学案-2025届高三数学一轮复习

新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 第一节　平面向量的概念及线性运算 一、课标要求 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义． 3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 二、 命题规律及备考策略 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘)及其几何意义、共线向量定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目． 三、知识梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果． 2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比． 3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁． （1）若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. （2）P为线段AB的中点⇔＝(＋)． [常用结论] 1．三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). 2．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋). 3．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 四、课堂考点突破 考点一　平面向量的有关概念 [例1]　下列说法中正确的是（　　） A.单位向量都相等 B.平行向量不一定是共线向量 C.对于任意向量a，b，必有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜ D.若a，b满足｜a｜＞｜b｜且a与b同向，则a＞b 变式训练 1.下列命题中正确的是（　　） A.若a＝b，则3a＞2b B.－－＝ C.＋＝⇔a与b的方向相反 D.若＝＝，则a＝b＝c 考点二　平面向量的线性运算 题型一　向量加、减法的几何意义 [例2]　在平行四边形ABCD中，＋＋等于（　　） A.　　B. C.　　D. 题型二　 向量的线性运算 [例3]　如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE和BD相交于点F.记＝a，＝b，则（　　） A.＝－a－b　　B.＝a＋b C.＝－a－b　　D.＝a＋b 题型三　根据向量的线性运算求参数 [例4]　如图，在△ABC中，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋（m∈R），则m的值为　　　　. 变式训练 2.在△ABC中，＝＝，则△ABC是（　　） A.等边三角形　　B.直角三角形 C.钝角三角形　　D.等腰直角三角形 3.（2022·新高考Ⅰ卷）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.设＝m，＝n，则＝（　　） A.3m－2n　　　　B.－2m＋3n C.3m＋2n　　　　D.2m＋3n 4.在△ABC中，若＝2，＝＋λ，则λ＝　　　　. 考点三　平面向量共线定理的应用 题型一　　向量共线问题 [例5]　已知向量a＝（－1，2），b＝（1，2 024），向量m＝a＋2b，n＝2a－kb.若m∥n，则实数k＝　　　　. 题型二　　三点共线问题 [例6]　已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则（　　） A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 变式训练 5.（2024·广东广州模拟）在△ABC中，M是AC边上一点，且＝，N是BM上一点.若＝＋m，则实数m的值为（　　） A.－　　　B.－　　　C.　　　D. 6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，＝，CP的延长线与AB交于点N，则（　　） A.＝　　B.＝ C.＝　　D.＝ 五、课后作业 一、单项选择题 1．如图，在正六边形ABCDEF中，－＋＋2等于(　　) A．0 B. C. D. 所以－＋＋2＝＋＋＋2＝＋2＝0． 2.如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为(　　) A．2e1－3e2 B．3e1－2e2 C．2e1＋3e2 D．3e1＋2e2 3．若a，b为非零向量，则“＝”是“a，b共线”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．(2024·银川模拟)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，若c与d方向相反，则实数x的值为(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ 5．已知O，A，B三点不共线，点P为该平面内一点，且＝＋，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上 6.如图所示，△ABC内有一点G满足＋＋＝0，过点G作一直线分别交AB，AC于点D，E.若＝x，＝y(xy≠0)，则＋等于 (　　) A．4 B．3 C．2 D．1 二、多项选择题 7．下列各式中能化简为的是(　　) A．－(＋)－(＋) B．－－＋ C．(－)－ D.－(＋) 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　) A.＝－＋ B.＝＋ C.＝－＋ D.＝－ 三、填空题 9．已知在四边形ABCD中，＝，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________． 10．已知单位向量e1，e2，…，e2 024，则|e1＋e2＋…＋e2 024|的最大值是________，最小值是________． 11．等腰直角△ABC中，点P是斜边BC上一点，若＝＋，则△ABC的面积为________． 12.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足＝，＝2，则|＋|＝________. 四、解答题 13．如图，在矩形ABCD中，＝2，＝2，AC与EF交于点N. (1)若＝λ＋μ，求λ＋μ的值； (2)设＝a，＝b，试用a，b表示. 14.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示，； (2)求证：B，E，F三点共线． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 第一节　平面向量的概念及线性运算 一、课标要求 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义． 3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 二、 命题规律及备考策略 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘)及其几何意义、共线向量定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目． 三、知识梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果． 2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比． 3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁． （1）若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. （2）P为线段AB的中点⇔＝(＋)． [常用结论] 1．三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). 2．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心，＝(＋). 3．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 四、课堂考点突破 考点一　平面向量的有关概念 [例1]　下列说法中正确的是（　　） A.单位向量都相等 B.平行向量不一定是共线向量 C.对于任意向量a，b，必有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜ D.若a，b满足｜a｜＞｜b｜且a与b同向，则a＞b [答案]　C [解析]　依题意， 对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误； 对于B，平行向量就是共线向量，故错误； 对于C，若a，b同向共线，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜， 若a，b反向共线，｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜， 若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜， 综上可知对于任意向量a，b，必有｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，故正确； 对于D，两个向量不能比较大小，故错误. 变式训练 1.下列命题中正确的是（　　） A.若a＝b，则3a＞2b B.－－＝ C.＋＝⇔a与b的方向相反 D.若＝＝，则a＝b＝c 答案：B 解析：对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错误； 对于B选项，－－＝＋＝，故B正确； 对于C选项，＋＝⇔a与b的方向相同，故C错误； 对于D选项，若＝＝，但a，b，c的方向不确定，故D错误. 考点二　平面向量的线性运算 题型一　向量加、减法的几何意义 [例2]　在平行四边形ABCD中，＋＋等于（　　） A.　　B. C.　　D. [答案]　A [解析]　画出图形，如图所示， ＋＋＝（＋）＋＝＋＝＋＝＝. 题型二　 向量的线性运算 [例3]　如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE和BD相交于点F.记＝a，＝b，则（　　） A.＝－a－b　　B.＝a＋b C.＝－a－b　　D.＝a＋b [答案]　A [解析]　在平行四边形ABCD中，E是CD的中点， 因为DE∥AB，所以＝＝， 所以DF＝BF＝BD， 则＝＋＝－＋＝－＋＝－－＝－a－b. 题型三　根据向量的线性运算求参数 [例4]　如图，在△ABC中，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋（m∈R），则m的值为　　　　. [答案]　 [解析]　因为＝m＋，＝2，即＝， 所以＝m＋＝m＋. 又C，P，D三点共线， 所以m＋＝1，解得m＝. 变式训练 2.在△ABC中，＝＝，则△ABC是（　　） A.等边三角形　　B.直角三角形 C.钝角三角形　　D.等腰直角三角形 答案：A 解析：因为＋＝，－＝，＋＝，＝＝， 所以＝＝，所以△ABC是等边三角形. 3.（2022·新高考Ⅰ卷）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.设＝m，＝n，则＝（　　） A.3m－2n　　　　B.－2m＋3n C.3m＋2n　　　　D.2m＋3n 答案：B 解析：由题意可知，＝－＝m－n，又BD＝2DA，所以＝2＝2（m－n），所以＝＋＝n－2（m－n）＝3n－2m. 4.在△ABC中，若＝2，＝＋λ，则λ＝　　　　. 答案： 解析：法一：由＝2，知A，B，D三点共线， 所以＋λ＝1，从而λ＝. 法二：由题意知＝＋，① ＝＋，② 且＋2＝0.①＋②×2，得3＝＋2，所以＝＋，所以λ＝. 考点三　平面向量共线定理的应用 题型一　　向量共线问题 [例5]　已知向量a＝（－1，2），b＝（1，2 024），向量m＝a＋2b，n＝2a－kb.若m∥n，则实数k＝　　　　. [答案]　－4 [解析]　根据题意可知a，b不共线， 若m∥n，则∃λ∈R，使得m＝λn，即a＋2b＝λ（2a－kb）＝2λa－kλb， 则可得解得 题型二　　三点共线问题 [例6]　已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则（　　） A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 [答案]　D [解析]　对于A，＝＋＝－a＋3b＋＝6b，与不共线，A错误； 对于B，＝4a＋6b，＝－a＋3b，则与不共线，B错误； 对于C，＝－a＋3b，＝a＋3b，则与不共线，C错误； 对于D，＝＋＝4a＋6b＋＝3a＋9b＝3， 即∥，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确. 变式训练 5.（2024·广东广州模拟）在△ABC中，M是AC边上一点，且＝，N是BM上一点.若＝＋m，则实数m的值为（　　） A.－　　　B.－　　　C.　　　D. 答案：D 解析：由＝，得出＝3， 由＝＋m得＝＋m（－）＝－m ＝－m. 因为B，N，M三点共线，所以＋（－m）＝1，解得m＝. 6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，＝，CP的延长线与AB交于点N，则（　　） A.＝　　B.＝ C.＝　　D.＝ 答案：B 解析：设＝λ， 则＝＝×（＋）＝＋＝＋. 因为N，P，C三点共线， 所以＋＝1，解得λ＝5， 所以＝5，所以＝. 五、课后作业 一、单项选择题 1．如图，在正六边形ABCDEF中，－＋＋2等于(　　) A．0 B. C. D. 答案　A 解析　因为六边形ABCDEF为正六边形， 所以－＋＋2＝＋＋＋2＝＋2＝0． 2.如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为(　　) A．2e1－3e2 B．3e1－2e2 C．2e1＋3e2 D．3e1＋2e2 答案　D 解析　由题意得a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，c＝e1＋2e2， 所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2＝3e1＋2e2. 3．若a，b为非零向量，则“＝”是“a，b共线”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　依题意，“＝”表示与a，b同向的单位向量是相等向量，能推出“a，b共线”，所以充分性成立； “a，b共线”可能同向共线、也可能反向共线，所以“a，b共线”不能推出“＝”，所以必要性不成立． 4．(2024·银川模拟)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，若c与d方向相反，则实数x的值为(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ 答案　B 解析　因为c与d方向相反， 所以存在k∈R，使得d＝kc，且k<0， 即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb， 因为向量a，b不共线，则 整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0， 解得x＝－或x＝1. 又k<0，所以x<0，故x＝－. 5．已知O，A，B三点不共线，点P为该平面内一点，且＝＋，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上 答案　D 解析　由＝＋，得－＝，所以＝·，所以点P在射线AB上． 6.如图所示，△ABC内有一点G满足＋＋＝0，过点G作一直线分别交AB，AC于点D，E.若＝x，＝y(xy≠0)，则＋等于 (　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　因为＋＋＝0， 所以G为△ABC的重心， 所以＝(＋)＝t＋(1－t)＝tx＋(1－t)y， 所以tx＝，(1－t)y＝， 所以＋＝3t＋3(1－t)＝3. 二、多项选择题 7．下列各式中能化简为的是(　　) A．－(＋)－(＋) B．－－＋ C．(－)－ D.－(＋) 答案　ACD 解析　对于A，－(＋)－(＋)＝－(＋＋＋) ＝－(＋＋＋)＝－＝，故A正确； 对于B，－－＋＝－＋＝＋2，故B错误； 对于C，(－)－＝－－＝＋＋＝，故C正确； 对于D，－(＋)＝－0＝，故D正确． 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　) A.＝－＋ B.＝＋ C.＝－＋ D.＝－ 答案　ABC 解析　∵AB∥CD，AB＝2DC， ∴＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故A正确； ∵＝3，∴＝＝－＋， ∴＝＋＝＋＝＋， 又F为AE的中点，∴＝＝＋，故B正确； ∴＝＋＝－＋＋＝－＋，故C正确； ∴＝＋＝－＝－＋－＝－－，故D错误． 三、填空题 9．已知在四边形ABCD中，＝，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________． 答案　等腰梯形 解析　由＝， 可得AB∥CD且AB＝DC， 所以四边形ABCD是梯形， 又因为||＝||， 所以梯形ABCD的两个腰相等， 所以四边形ABCD是等腰梯形． 10．已知单位向量e1，e2，…，e2 024，则|e1＋e2＋…＋e2 024|的最大值是________，最小值是________． 答案　2 024　0 解析　当单位向量e1，e2，…，e2 024方向相同时， |e1＋e2＋…＋e2 024|取得最大值， |e1＋e2＋…＋e2 024|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 024|＝2 024； 当单位向量e1，e2，…，e2 024首尾相连时， e1＋e2＋…＋e2 024＝0， 所以|e1＋e2＋…＋e2 024|的最小值为0. 11．等腰直角△ABC中，点P是斜边BC上一点，若＝＋，则△ABC的面积为________． 答案　 解析　如图，过点P作AB，AC的垂线交AB，AC分别于点E，F， 由于＝＋， 所以＝，＝， 则||＝4，||＝1， 所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5， 故△ABC的面积S＝×5×5＝. 12.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足＝，＝2，则|＋|＝________. 答案　3 解析　因为＝， 所以＝＋＝＋， 又因为＝2， 所以＝＋＝＋， 所以|＋|＝|＋|＝||， 又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°， 所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2， 所以|＋|＝||＝×2＝3. 四、解答题 13．如图，在矩形ABCD中，＝2，＝2，AC与EF交于点N. (1)若＝λ＋μ，求λ＋μ的值； (2)设＝a，＝b，试用a，b表示. 解　(1)依题意，设＝t， ＝＋＝＋t＝＋t(－) ＝(1－t)＋t＝－－， 又＝λ＋μ， 所以解得λ＋μ＝－. (2)因为＝＋，＝＋，＝＋， 所以＋＝(＋)＝， 所以＝a＋b. 14.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示，； (2)求证：B，E，F三点共线． (1)解　在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点， 则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b， 故＝＝a＋b，＝－＝a＋b－a＝b－a. (2)证明　因为＝b－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)， 所以＝，所以∥， 又，有公共点B，所以B，E，F三点共线． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$