13.1.2　第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.1.2　第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定 第十三章 轴对称 - 13.1.2　第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定 探究与应用 课堂小结与检测 第十三章　轴对称 全品初中 活动1　掌握并能运用线段的垂直平分线的性质 [问题情景] 如图13-1-9,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离, 你有什么发现?能证明吗?如果能,请画出图 形,写出已知、求证和证明. 图13-1-9 探究与应用 解:点P1,P2,P3,…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等. 能证明. 已知:如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上. 求证:PA=PB. 证明:∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB. 又AC=CB,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB. 探究与应用 三角形三边的垂直平分线交于一点,且该点到三个顶点的距离相等.如图,△ABC三边的垂直平分线相交于点P,则PA=PB= PC. 记 拓展 探究与应用 [概括性质] 线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的　　　　与 这条线段两个　　　　的距离相等.  点 端点 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材补充例题)已知:如图13-1-10,MN是△ABC的边AC的垂直平分线,MN与AB,AC分别相交于点D,E,连接CD. (1)若CD=3,则AD的长为　　　　;  图13-1-10 3 探究与应用 (2)若AB=5,BD=2,求CD的长; 图13-1-10 解:∵AB=5,BD=2, ∴AD=AB-BD=5-2=3. ∵MN是边AC的垂直平分线, ∴CD=AD=3. 探究与应用 (3)若△BDC的周长为10,BC=4,求AB的长. 图13-1-10 解:∵MN是边AC的垂直平分线, ∴AD=CD. ∵△BDC的周长=BD+CD+BC=10,BC=4, ∴BD+CD=10-4=6. ∴AB=BD+AD=BD+CD=6. 探究与应用 学 模型 线段垂直平分线背景下的化折为直模型 如图,若DE垂直平分AB,则AE+EC=BC. 探究与应用 变式 如图13-1-11,在△ABC中,AB,AC边的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足分别是M,N.若BC=10,则△ADE的周长为 　　　　.  图13-1-11 10 探究与应用 活动2　掌握并能运用点在线段垂直平分线上的判定 [提出问题] 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上吗?如果在,请写出已知、求证,并证明;如果不在,请说明理由. 探究与应用 解:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 已知:线段AB和一点P,且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 证明:当点P在线段AB上时, ∵PA=PB,∴P为线段AB的中点. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 当点P在线段AB外时, 过点P作PM⊥AB,垂足为M,如图所示,则∠PMA=∠PMB=90°. 探究与应用 在Rt△PMA和Rt△PMB中, ∴Rt△PMA≌Rt△PMB(HL). ∴AM=BM. 又∵PM⊥AB,∴PM垂直平分线段AB, 即点P在线段AB的垂直平分线上. 综上所述,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 探究与应用 [概括新知] 点在线段垂直平分线上的判定方法:与线段两个端点           　　　　　　            的点在这条线段的　　　　　　　上.  距离 相等 垂直平分线 探究与应用 [理解应用] 例2 (教材补充例题)已知:如图13-1-12,AB=AC,MB=MC. 求证:直线AM是线段BC的垂直平分线. 图13-1-12 证明:∵AB=AC, ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵MB=MC, ∴点M在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 探究与应用 活动3　会用尺规作已知直线的垂线 例3 (1)(教材典题)尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知:直线AB和AB外一点C(如图13-1-13). 求作:AB的垂线,使它经过点C. 图13-1-13 探究与应用 解:作法:①任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁. ②以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E. ③分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F. ④作直线CF. 如图,直线CF就是所求作的垂线. 探究与应用 (2)为什么(1)中所作直线是AB的垂线? 图13-1-13 解:连接CD,CE,DF,EF. 由作图可知,CD=CE,DF=EF, ∴点C,F都在线段DE的垂直平分线上. ∴CF是线段DE的垂直平分线. ∴CF是AB的垂线. 探究与应用 用尺规过一点作已知直线的垂线的应用类型 (1)作垂线; (2)作垂线段; (3)作直角; (4)作三角形的高. 得 锦囊 探究与应用 变式 已知:直线AB和AB上一点C(如图13-1-14). 求作:AB的垂线,使它经过点C(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法). 图13-1-14 探究与应用 解:所作图形如图所示. 作法:(1)以点C为圆心,适当长为半径作弧,交AB于点D,E; (2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F; (3)作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 测量 观察 猜想 判定 线段垂直平分线的性质 点在线段垂直平分线上的判定 尺规作图作垂线 应用 课堂小结与检测 B [检测] 1.如图13-1-15,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上一点.已知线段PA=5,则线段PB的长为 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 图13-1-15 课堂小结与检测 2.如图13-1-16,在△ABC中,AB<AC,观察图中尺规作图的痕迹,则下列结论中正确的是 (　　) A.AM是∠BAC的平分线 B.AM是BC边上的中线 C.AM是BC边的垂直平分线 D.AM是BC边上的高 图13-1-16 D 课堂小结与检测 3.如图13-1-17,在△ABC中,AC=10,AB的垂直平分线交AB于点M,交AC于点D.若△BDC的周长为18,则BC的长为 (　　) A.4 B.6 C.8 D.10 图13-1-17 C 课堂小结与检测 4.如图13-1-18,已知AB=AC,AD⊥BE,AB+BD=DE.求证:点C在AE的垂直平分线上. 图13-1-18 证明:∵AD⊥BE,∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACD中, ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴BD=CD. ∵AB+BD=DE,∴AB+BD=CD+CE.∴AB=CE. 又∵AB=AC,∴AC=CE.∴点C在AE的垂直平分线上. 课堂小结与检测 变式　10　[解析] ∵AB,AC边的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足分别是M,N, ∴AD=BD,AE=CE. ∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10. 相关解析 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$