13.4　课题学习　最短路径问题 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.4　课题学习　最短路径问题 第十三章 轴对称 - 13.4　课题学习　最短路径问题 探究与应用 课堂小结与检测 第十三章　轴对称 全品初中 活动1　利用轴对称解决最短路径问题 [问题情景] 如图13-4-1,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短? 图13-4-1 探究与应用 [引发思考] (1)如果把河边l近似地看成一条直线(如图13-4-2),C为直线l上的一个动点,那么,上面的问题可以转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小.请解决这个问题. 图13-4-2 解:如图①,作点B关于l的对称点B',连接AB',与直线l相交于点C,则点C即为所求. B' C ① 探究与应用 B' C (2)你能用所学的知识证明(1)中你所作的点C使AC与CB的和最小吗? 图13-4-2 解:证明:如图②,在直线l上另外任取一点C', 连接AC',BC',B'C'. ∵点B,B'关于直线l对称,点C,C'在直线l上, ∴CB=CB',C'B=C'B'. ∴AC+CB=AC+CB'=AB',AC'+C'B=AC'+C'B'. 在△AB'C'中,AB'<AC'+C'B', ∴AC+CB<AC'+C'B,即AC与CB的和最小. ② C' 探究与应用 记 重点 利用轴对称解决将军饮马问题的原理与模型 (1)基本原理:利用“两点之间,线段最短”化折为直. (2)基本模型:如图,作点B关于直线l的　 　　 ,连接 　　,与直线l的交点P即为所求的点.  对称点B' AB' 探究与应用 [应用迁移] 例1 (教材补充例题)如图13-4-3,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到B处,要求指出最短路径. 同学甲:牧马人把马牵到草地与河边的交汇 处点N,既牧马又饮马,然后回到B处,则路径 A→N→B为最短路径. 图13-4-3 探究与应用 同学乙:作点A关于直线MN的对称点A',再作点B关于直线l的对称点B',连接A'B'交直线MN于点Q,交直线l于点P,则路径A→Q→P→B为最短路径. 你认为哪位同学的方案正确?请证明其正确性. 图13-4-3 探究与应用 解:同学乙的方案正确.证明:如图,作点A关于直线MN的对称点A',作点B关于直线l的对称点B',连接A'B'交直线MN于点Q,交直线l于点P,连接AQ,BP,A'N,AN,B'N,BN,则AQ=A'Q,BP=B'P,AN=A'N,BN=B'N. ∴AQ+PQ+BP=A'Q+PQ+B'P=A'B'. 由“两点之间,线段最短”知A'N+B'N>A'B', ∴AN+BN>AQ+PQ+BP. A' B' Q P 探究与应用 例2 (教材补充例题)如图13-4-4,已知直线m,l和点B,在直线m,l上分别求作点A,C,使△ABC的周长最小. 图13-4-4 解:作点B关于直线m的对称点B',再作点B关于直线l的对称点B″,连接B'B″,交直线m于点A,交直线l于点C,则点A,C即为所求作的点,如图. B' B″ A C 探究与应用 活动2　利用平移解决最短路径问题 [问题情景] 如图13-4-5,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直) 请画出解决上述问题的图形,简述作法,并 说明理由. 图13-4-5 探究与应用 解:如图所示: 作法:如图,过点A作AA'⊥直线a,并截取AA'等于河宽,连接A'B,交直线b于点N,在点N处造桥MN. 理由:在直线b上另外任意取一点N',过点N'作N'M'⊥a,垂足为M',连接AM',A'N',N'B, A'N可看作由AM沿与河岸垂直的方向平移而得,由平移的性质可知,AM=A'N. 同理AM'=A'N'. 探究与应用 由作图可知AA'=MN=M'N'. AM+MN+NB转化为MN+A'N+NB,而AM'+M'N'+N'B转化为A'N'+M'N'+N'B. 由“两点之间,线段最短”可得,A'N'+N'B>A'B,所以A'N'+N'B+M'N'>A'B+MN, 因此AM+MN+NB<AM'+M'N'+N'B. 探究与应用 记 重点 利用平移解决造桥选址问题的原理与模型 (1)基本原理:利用“两点之间,线段最短”化折为直. (2)基本模型:如图,过点B作　　　　　　　　,在BC上截取 BB'等于　　　　,连接AB'交l1于点M,过点M作MN⊥l2于点 N,连接BN,则MN即为桥的位置.  BC⊥l1于点C 河宽 探究与应用 [理解应用] 例3 (教材补充例题)某大学建立分校,本部与分校隔着两条平行的小河.如图13-4-6,小河甲的两岸边为l1,l2,且l1∥l2,小河乙的两岸边为l3,l4,且l3∥l4,A为本部大门,B为分校大门.为了方便两校区人员来往,要在两条小河上各建一 座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B两点间来往路 径最短,试在图中画出符合条件的路径,并标明 桥的位置. 图13-4-6 探究与应用 解:设在小河甲上建桥CD,在小河乙上建桥EF, 则A,B两点间来往路径是折线ACDEFB. 如图,过点A作AM⊥l1于点M,过点B作BN⊥l4 于点N,在AM上截取AA',使AA'的长等于小河 甲的宽度,在BN上截取BB'的长等于小河乙的宽度. 连接A'B',交l2于点D,交l3于点E,过点D作DC⊥l1于点C,过点E作EF⊥l4于点F,搭桥CD,EF. 根据“两点之间,线段最短”,可知最短路径为ACDEFB. 此时两座桥CD,EF符合要求. M N D E C F A' B' 探究与应用 [本课时认知逻辑] 实际问题 轴对称 平移 最短路径问题 应用 解决 课堂小结与检测 C [检测] 1.龟兔赛跑新规则:参赛者从点A出发到达直线a上任意一点C后,再回到直线a同侧的终点B,最先到达终点者胜,图13-4-7中的四个图是为它们设计的路线,其中路程最短的是 (　　) 图13-4-7 课堂小结与检测 2.A,B两地在一条河的两岸,现要在河上架一座桥MN,若河岸平行,MN与河岸垂直,要想使路径AMNB最短,下面有四种设计方案,你认为最合适的是 (　　) 图13-4-8 D 课堂小结与检测 3.如图13-4-9,在正方形ABCD中,E是AB的中点,在AC上确定一点P,使PE+PB最短,请在图上画出点P的位置. 图13-4-9 解:如图,连接DE交AC于点P,点P即为所求. 理由:连接BD,则点D为点B关于AC的对称点, 连接PB. 由轴对称的性质,可得PB=PD,故此时PE+PB=DE. 由“两点之间,线段最短”,可知DE的长即为PE+PB的最小值. 故点P即为所求. P 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$