13.3.2　第2课时　含30 °角的直角三角形的性质.课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第2课时　含30 °角的直角三角形的性质 第十三章 轴对称 - 第2课时　含30 °角的直角三角形的性质 探究与应用 课堂小结与检测 第十三章　轴对称 全品初中 活动　探究含30°角的直角三角形的性质 [观察思考] 如图13-3-23,将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起,观察并回答下列问题: (1)判断△ABD的形状,并说明判断的依据; 图13-3-23 解:△ABD是等边三角形,依据是三个角都相等的三角形是等边三角形或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 探究与应用 (2)线段BC与CD的大小有什么关系? 图13-3-23 解:BC=CD. 探究与应用 (3)线段BC与AB的大小有什么关系?为什么?你能归纳含30°角的直角三角形的性质吗? 图13-3-23 解:BC=AB.理由:因为△ABD是等边三角形, 所以AB=BD. 又因为BC=CD=BD,所以BC=AB. 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 探究与应用 含30°角的直角三角形的性质必须满足两个条件:①在直角三角形中;②有一个锐角等于30°.二者缺一不可. 记 重点 探究与应用 [归纳性质] 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角 边等于斜边的　　　　.  一半 探究与应用 [证明性质] 证明:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.(现已写出已知和求证,请你用两种方法证明) 已知:如图13-3-24,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°. 求证:BC=AB. 图13-3-24 探究与应用 证明:方法一:如图①所示,延长BC到点D,使CD=BC,连接AD,则∠ACD=90°=∠ACB. 又∵BC=DC,AC=AC, ∴△ABC≌△ADC. ∴AD=AB,∠DAC=∠BAC=30°. ∴∠BAD=60°. ∴△ABD为等边三角形.∴AB=BD. ∵BC=CD=BD,∴BC=AB. ① D 探究与应用 方法二:如图②所示,在AB上取一点D,使BD=BC,连接CD. ∵∠B=90°-∠A=60°, ∴△BDC为等边三角形. ∴BC=BD=CD,∠DCB=60°. ∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-60°=30°=∠A. ∴CD=AD.∴BC=BD=AD=AB, 即BC=AB. ② D 探究与应用 学 技巧 把30°角转化到直角三角形中的一般做法:作垂线. 探究与应用 [理解应用] 例 (教材典题)图13-3-25是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4 m,∠A=30°.立柱BC,DE要多长? 图13-3-25 解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°, ∴BC=AB,DE=AD.∴BC=×7.4=3.7(m). 又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m). 答:立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m. 探究与应用 变式 如图13-3-26①,某温室屋顶结构外框为△ABC,立柱AD垂直平分横梁BC,∠B=30°,斜梁AC=4 m.为增大向阳面的面积,将立柱增高并改变位置,使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上),立柱EF⊥ BC,如图②所示.若EF=3 m,求 斜梁增加部分AE的长. 图13-3-26 解:∵立柱AD垂直平分横梁BC,∴AB=AC=4 m. ∵∠B=30°,∴BE=2EF=6 m.∴AE=BE-AB=6-4=2(m). 探究与应用 [本课时认知逻辑] 猜 想 等边三角 形的证明 含30°角的 直角三角 形的性质 应用前提：在直角三角形中 常作辅助线：构造直角三角形 课堂小结与检测 C [检测] 1.如图13-3-27,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,∠A=30°,则BC的长为 (　　) A.8 B.6 C.4 D.2 图13-3-27 课堂小结与检测 2.如图13-3-28,在△ABC中,∠B=90°,∠BAC=30°,AB=4,D是BC延长线上一点,且CD=AC,连接AD,则AD的长为　　　　.  图13-3-28 8 课堂小结与检测 3.如图13-3-29,河流两岸a,b互相平行,A,B是河岸a上的两座建筑物,C,D是河岸b上的两点,A,B的距离约为200米.某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°,∠BPD=30°,则河流的宽度约为　　　　米.  图13-3-29 100 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$