13.3.1　第1课时　等腰三角形的性质课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.3.1　第1课时　等腰三角形的性质 第十三章 轴对称 - 13.3.1　第1课时　等腰三角形的性质 探究与应用 课堂小结与检测 第十三章　轴对称 全品初中 活动　探究并证明等腰三角形的性质 [操作尝试] 如图13-3-1,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC是等腰三角形吗?为什么? 图13-3-1 解:得到的△ABC是等腰三角形.理由:因为剪刀剪过的两条边是相等的,即△ABC中AB=AC,所以△ABC是等腰三角形. 探究与应用 [引发思考] (1)[操作尝试]中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗?把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其中重合的线段和角.由这些重合的线段和角,你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想. 猜想1(有关角的):　 ;  猜想2(有关三线的):            　 .  图13-3-1 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高相互重合 探究与应用 (2)请用学过的三角形的全等证明猜想1:            　　　　 .  已知:　　　　　　　　 .  求证:　　　　 .  证明: 等腰三角形的两个 底角相等 在△ABC中,AB=AC ∠B=∠C 如图,作△ABC底边BC上的中线AD. 在△BAD和△CAD中, ∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C. 探究与应用 (3)猜想2实际蕴含着多个命题.请将猜想2包含的命题补充完整,并用三角形的全等证明. 命题1:等腰三角形底边上的中线既是            ,又是 　　　　　　.  已知:如图13-3-2,在△ABC中,AB=AC,AD是 BC边上的中线. 求证:　　　　　　　　　　 .  图13-3-2 顶角的平分线 底边上的高 ∠BAD=∠CAD,AD⊥BC 探究与应用 证明: 图13-3-2 ∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD. 在△BAD和△CAD中, ∴△BAD≌△CAD(SSS). ∴∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC. 又∵∠ADB+∠ADC=180°, ∴∠ADB=∠ADC=90°, 即AD⊥BC. 探究与应用 学 方法 “三线合一”用几何语言表述如下:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上. 若∠BAD=∠CAD,则BD=CD,AD⊥BC; 若BD=CD,则∠BAD=∠CAD,AD⊥BC; 若AD⊥BC,则∠BAD=∠CAD,BD=CD. 探究与应用 命题2:等腰三角形顶角的平分线既是　　　　　　　,又是 　　　　　　.  已知:如图13-3-3,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线. 求证:　　　　　　　　.  图13-3-3 底边上的中线 底边上的高 BD=CD,AD⊥BC 探究与应用 证明: 图13-3-3 ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(SAS). ∴BD=CD,∠ADB=∠ADC. 又∵∠ADB+∠ADC=180°, ∴∠ADB=∠ADC=90°,即AD⊥BC. 探究与应用 (1)“等边对等角”应用的前提是在同一个三角形中; (2)应用“三线合一”性质的前提是在等腰三角形中,且是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线相互重合,而腰上的高、中线则不一定重合; (3)等腰三角形是轴对称图形,顶角的平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴. 记 重点 探究与应用 命题3:等腰三角形底边上的高既是　 　　　　　,又是 　　　　　　　.  已知:如图13-3-4,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的高. 求证:　　　　　　　　　　　.  图13-3-4 底边上的中线 顶角的平分线 BD=CD,∠BAD=∠CAD 探究与应用 证明: 图13-3-4 ∵AD是△ABC的高, ∴∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACD中, ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL). ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD. 探究与应用 [概括新知] 1.等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个底角　　　　(简 写成“　　　　　　”);  2.等腰三角形的性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高　　　　　(简写成“          ”).  相等 等边对等角 相互重合 三线合一 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材典题)如图13-3-5,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数. 图13-3-5 解:∵AB=AC,BD=BC=AD, ∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角). 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°. 解得x=36°.所以,在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°. 探究与应用 学 方法 等腰三角形中求角的方法 (1)利用“等边对等角”和外角的性质,得两个角之间的数量关系. (2)利用三角形内角和定理,结合三个内角之间的数量关系,建立方程求解. 探究与应用 变式 如图13-3-6,在△ABC中,D是BC边上一点,连接AD,AD= AC=BD,∠DAC=40°,求∠BAC的度数. 图13-3-6 解:∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD. ∵∠DAC=40°,∴∠ADC=(180°-∠DAC)=×(180°-40°)=70°. ∵AD=BD,∴∠ABC=∠BAD. 又∵∠ADC是△ABD的一个外角, ∴∠ADC=∠ABD+∠BAD=2∠BAD. ∴∠BAD=35°.∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=40°+35°=75°. 探究与应用 例2 (教材补充例题)如图13-3-7,点D,E在BC上,AB=AC,AD= AE.BD和CE有怎样的数量关系?请说明理由. 图13-3-7 解:BD=CE. 理由:方法一: 过点A作AH⊥BC于点H. ∵AB=AC,AH⊥BC,∴BH=CH. ∵AD=AE,AH⊥BC,∴DH=EH.∴BH-DH=CH-EH,即BD=CE. 方法二:通过证明△ABD≌△ACE得到BD=CE,过程略. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 轴对称图形 等腰三角形 等边对等角 三线合一 应用 性质 课堂小结与检测 D [检测] 1.若等腰三角形的底角为50°,则该等腰三角形的顶角的度数是 (　　) A.40° B.50° C.60° D.80° 课堂小结与检测 2.如图13-3-8,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为 (　　) A.39° B.40° C.49° D.51° 图13-3-8 A 课堂小结与检测 3.如图13-3-9,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠BAD=30°,则∠C的度数为　　　　.  图13-3-9 60° 课堂小结与检测 3.60°　[解析] ∵AB=AC,D为BC的中点, ∴AD是∠BAC的平分线,∠B=∠C. ∵∠BAD=30°, ∴∠BAC=2∠BAD=60°. ∴∠C=(180°-∠BAC)=×(180°-60°)=60°. 故答案为60°. 相关解析 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$