精品解析：2024—2025学年人教版九年级上册数学 期中考试模拟试卷

2024—2025学年人教版九年级上册数学 期中考试模拟试卷 一、单选题 1. 在平面直角坐标系中，点(﹣6，5)关于原点的对称点的坐标是（ ） A. (6，5) B. (﹣6，5) C. (6，﹣5) D. (﹣6，﹣5) 2. 在中，，D为上一点，动点P以每秒1个单位速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，图象如图2所示，则线段的长是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 3. 对于一元二次方程，当时，方程有两个相等实数根．若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝10，BD＝9，则△ADE的周长为（　　） A. 19 B. 20 C. 27 D. 30 6. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数y=2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线x=﹣3 C. 其最小值为1 D. 当x＜3时，y随x的增大而增大 8. 如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，y的值随着x的值增大而减小 C. 点A的坐标为 D. 9. 二次函数的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图像上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 对于下列结论：①二次函数y=6x2，当x＞0时，y随x的增大而增大；②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1；③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．其中，正确结论的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题 11. 二次函数图象是由函数的图象先向________（左、右）平移________个单位长度，再向________（上、下）平移________个单位长度得到的． 12. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______________． 14. 某种商品原价每件售价为400元，经过连续两次降价后，每件售价为288元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______． 15. 已知抛物线与直线l交于点，（）．若点 在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为_________． 三、计算题 16. 解方程： （1） （2） 四、作图题 17. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将△ABC向上平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1； （2）将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针方向旋转90°，出旋转后的△A2B2C2． 五、解答题 18. 台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 19. 一块长方形铁皮长为，宽为，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为，根据题意列出方程，并化成一般形式． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）若k为小于2的整数，且方程的根都是整数，求k的值. 21. 如图，长方形与长方形全等点B，C，D和点C，G，F分别在同一条直线上，其中，．连接对角线，． （1）在图①中，连接，直接判断形状是______；直接写出值______； （2）如图②，将图①中的长方形绕点C逆时针旋转，当平分时，求此时点E到直线的距离． （3）如图③，将图①中的长方形绕点C逆时针旋转到某一个位置，连接，连接并延长交于点M，取的中点N，连接，直接写出长的最小值______； 22. 如图，已知点，点C在y轴的正半轴上，且，抛物线经过A、B、C三点，其顶点为M （1）求抛物线的解析式； （2）试判断直线与以为直径的圆的位置关系，并加以证明； （3）在抛物线上是否存在点N，使得?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由． 23. 已知抛物线经过点，对称轴是直线． （1）求抛物线解析式； （2）若点在该抛物线上，且；求的取值范围； （3）若设是抛物线与轴的一个交点的横坐标，记，比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年人教版九年级上册数学 期中考试模拟试卷 一、单选题 1. 在平面直角坐标系中，点(﹣6，5)关于原点的对称点的坐标是（ ） A. (6，5) B. (﹣6，5) C. (6，﹣5) D. (﹣6，﹣5) 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数即可得出答案． 【详解】点P（﹣6，5）关于原点对称点的坐标是（6，﹣5）， 故选：C． 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的特征，关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数；关于x轴对称的点，y互为相反数，x不变；关于y轴对称的点，x互为相反数，y不变，关于谁对称谁不变，另一个互为相反数． 2. 在中，，D为上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，图象如图2所示，则线段的长是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，求二次函数解析式，在中，则，求得的长，设函数的顶点解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：在中，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，（舍）或， ∴， 故选：A． 3. 对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根．若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意可知：，， 当时， ， 当时， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程利用根的判别式判断根的情况，解题的关键是熟练运用根的判别式进行求解． 4. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH= BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4-x，根据三角形面积公式得到y=-x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2， 当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°， ∴PD=BD=x， ∴y=•x•x=； 当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°， ∴PD=CD=4﹣x， ∴y=•（4﹣x）•x=， 故选B． 5. 如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝10，BD＝9，则△ADE的周长为（　　） A. 19 B. 20 C. 27 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD，即可求出结果 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=BC=10， ∵△BAE是△BCD逆时针旋转60°得出， ∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°， ∴AE+AD=AD+CD=AC=10， ∵∠EBD=60°，BE=BD， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE=BD=9， ∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19． 故答案为19 【点睛】此题重点考查学生对于图形旋转的理解，抓住旋转前后图形边角的关系是解题的关键 6. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析． 【详解】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，是二次函数，故此选项正确； C、是一次函数，故此选项不符合题意； D、是三次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，解题关键是注意二次项系数不为0． 7. 已知二次函数y=2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线x=﹣3 C. 其最小值为1 D. 当x＜3时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断即可解答． 【详解】∵二次函数y=2x2﹣12x+19=2（x﹣3）2+1， ∴开口向上，顶点为（3，1），对称轴为直线x=3，有最小值1，当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小； 所以C选项正确． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记性质是解题的关键． 8. 如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，y的值随着x的值增大而减小 C. 点A的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点．抛物线开口向上则，即可判断A；又，对称轴是直线，从而当时，的值随着的值增大而增大，故可判断B；又，对称轴是直线，则，故可判断C；结合，，抛物线开口向上，从而当时，，进而可以判断D． 【详解】解：抛物线开口向上， ，故A错误； 开口向上，对称轴直线， 当时，的值随着的值增大而增大，故B错误． ，对称轴是直线， ，故C错误． 结合，，抛物线开口向上， 当时，． 故D正确． 故选：D． 9. 二次函数的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图像上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】①正确，根据对称轴公式计算即可．②错误，利用x=-3时，y<0，即可判断，③正确．由图像可知抛物线经过(-1， 0)和(5， 0)列出方程组求出a、b即可判断．④错误，利用函数图像即可判断．⑤正确，利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题． 【详解】①正确：∵ ， 所以4a+b=0．故①正确． ②错误：∵x=-3时， y<0， ∴9a- 3b+c<0， ∴9a+c<3b，故②错误． ③正确，由图像可知抛物线经过(- 1，0)和(5，0) ， ∴ a-b+c= 0 25a + 5b+c= 0 解得b= -4a，c= -5a， ∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a， ∵a<0， ∴8a+ 7b+2c>0 ，故③正确． ④错误，∵点A(-3，y1)、点B(-，y2)、点C(，y3) ∵3.5-2= 1.5，2-(-0.5)=2.5 ， ∴1.5< 2.5 点C离对称轴距离近， ∴y3>y2， ∵a<0 ， -3< -0.5<2， ∴y1<y2 ∴y1<y2<y3，故④错误． ⑤正确． ∵a<0 ， ∴(x+1)(x-5)=- >0 ， 即(x+1)(x-5)>0 ， 故x<-1或x>5 ，故⑤正确． ∴正确的有三个， 故选B． 【点睛】本题考查抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图像信息解决问题，属于中考常考题型． 10. 对于下列结论：①二次函数y=6x2，当x＞0时，y随x的增大而增大；②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1；③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．其中，正确结论的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据二次函数的性质即可得出抛物线y=6x2的对称轴为y轴，结合a=6＞0即可得出当x＞0时，y随x的增大而增大，结论①正确； ②将x=﹣2和1代入一元二次方程可得出x+m的值，再令x+m+2=该数值可求出x值，从而得出结论②正确； ③由“当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0”可得出当x=1时y=0且抛物线的对称轴≥2，解不等式即可得出b≤﹣4、c≥3，结论③正确．综上即可得出结论． 【详解】∵在二次函数y=6x2中，a=6>0，b=0， ∴抛物线的对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大， ∴①结论正确； ∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1， ∴x+m=-2+m或1+m， ∴方程a（x+m+2）2+b=0中， x+m+2=-2+m或x+m+2=1+m， 解得：x1=-4，x2=-1， ∴②结论正确； ∵二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0， ∴ 解得：b≤-4，c≥3， ∴结论③正确． 故选D 【点睛】此题重点考查学生随函数图象和性质理解，熟练掌握图象性质是解题的关键. 二、填空题 11. 二次函数的图象是由函数的图象先向________（左、右）平移________个单位长度，再向________（上、下）平移________个单位长度得到的． 【答案】 ①. 左 ②. 3 ③. 下 ④. 2 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何变换，图象平移时函数表达式变化的特征是：图象向左平移个单位，函数表达式中x加上n；图象向右平移个单位，函数表达式中x减去n；图象向下平移个单位，函数表达式中y加上m；图象向上平移个单位，函数表达式中y减去m；根据以上平移规律，对题中的二次函数表达式进行分析，即可得出答案． 【详解】解：由“左加右减”的原则将函数的图象向左平移3个单位，所得二次函数的解析式为：； 由“上加下减”的原则将函数的图象向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为：． 故答案为：左，3，下，2． 12. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，涉及了数形结合思想的应用．根据对称轴为直线及图象开口向下，与y轴的交点，可判断出a、b、c的符号，从而判断①；求出图象与轴的另一个交点为，则可判断②；利用函数的最小值：，可判断③；根据方程的两根为，可得，可判断④⑤的正误． 【详解】解：①∵函数开口方向向上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与轴的另一个交点为， 当时，，故②错误； ③∵二次函数的图象与y轴的交点在的下方，对称轴在x轴右侧，且， ∴函数的最小值：， ∴，故③正确； ④∵图象与x轴交于点，， ∴方程的两根为， ∴， ∴，， ∴， ∵图象与y轴的交点B在和之间， ∴， ∴；故④错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故⑤正确． 故答案为：①③⑤． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式． 由一元二次方程的定义可得，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 又∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 14. 某种商品原价每件售价为400元，经过连续两次降价后，每件售价为288元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过连续两次降价后的价格=原价×（1-降价率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意得：400（1-x）2=288． 故答案为：400（1-x）2=288． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 已知抛物线与直线l交于点，（）．若点 在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点和点的坐标，确定直线l的函数表达式，配合二次函数的图像求解即可； 【详解】解：分别将 、 代入得： ，解得： ，（舍） ∴， ∴直线l的表达式为： ∴的最小值为： 的取值范围为： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图像与表达式的关系；熟练配合函数图像将复杂问题直观化是解决问题的关键． 三、计算题 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程，用因式分解法求解； （2）解一元二次方程，用公式法求解． 【详解】解：（1） 或 （2） ∴方程有两个不相等的实数根 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤因式分解的方法及求根公式，正确计算是解题关键． 四、作图题 17. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）将△ABC向上平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1； （2）将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针方向旋转90°，出旋转后的△A2B2C2． 【答案】（1）见解析; （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可． 【小问1详解】 解：如图，△A1B1C1为所作； 【小问2详解】 解：如图，△A2B2C2为所作； 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 五、解答题 18. 台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【答案】（1）捐款增长率为 （2）第四天该单位能收到元捐款 【解析】 【分析】（1）设捐款增长率为x，根据“第一天收到捐款元，第三天收到捐款元，第二天、第三天收到捐款的增长率相同”列方程，解方程即可得到答案； （2）用第三天收到的捐款乘以即可得到答案． 【小问1详解】 设捐款增长率为x，根据题意列方程得， ， 解得，（不合题意，舍去）； 答：捐款增长率为. 【小问2详解】 第四天收到捐款为： （元）， 答：第四天该单位能收到元捐款． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 19. 一块长方形铁皮长为，宽为，在四角各截去一个面积相等正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为，根据题意列出方程，并化成一般形式． 【答案】． 【解析】 【分析】首先表示出无盖长方体盒子的底面长为（4-2x）dm，宽为（3-2x）dm再根据长方形的面积可得方程． 【详解】由题意得：无盖长方体盒子的底面长为，宽为，由题意得， 整理得：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意表示出无盖长方体盒子的长与宽． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）若k为小于2的整数，且方程的根都是整数，求k的值. 【答案】（1）且（2） 【解析】 【详解】解：（1）， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴且． （2）∵为不大于2的整数， ∴， ∴当时，方程的根，都是整数； 当时，方程的根不是整数不符合题意； 综上所述，． 21. 如图，长方形与长方形全等点B，C，D和点C，G，F分别在同一条直线上，其中，．连接对角线，． （1）在图①中，连接，直接判断形状是______；直接写出的值______； （2）如图②，将图①中的长方形绕点C逆时针旋转，当平分时，求此时点E到直线的距离． （3）如图③，将图①中的长方形绕点C逆时针旋转到某一个位置，连接，连接并延长交于点M，取的中点N，连接，直接写出长的最小值______； 【答案】（1）等腰直角三角形， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形与矩形全等得，然后证明出，再由勾股定理得，； （2）由平分结合等腰三角形“三线合一”得：，，再由等面积法得点到直线的距离为； （3）过点作的平行线交的延长线于，连接，先证明得，再由中位线定理得，再由在矩形绕点逆时针旋转过程中的范围为：得的最小值为，故的最小值为． 【小问1详解】 矩形与矩形全等， ，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问2详解】 当平分时， ，由等腰三角形“三线合一”得：，， 设点到直线的距离为， 则由等面积法：， ， 此时点到直线的距离为； 【小问3详解】 如图，过点作的平行线交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 的中点为， ，， 在矩形绕点逆时针旋转过程中的范围为：， ， 的最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题是矩形旋转变换综合题，主要考查了矩形的性质、旋转的性质、矩形全等的性质、全等三角形的判定与性质、等面积法求高、中位线定理，过点E作的平行线交的延长线于H、构造是本题的关键． 22. 如图，已知点，点C在y轴的正半轴上，且，抛物线经过A、B、C三点，其顶点为M （1）求抛物线解析式； （2）试判断直线与以为直径的圆的位置关系，并加以证明； （3）在抛物线上是否存在点N，使得?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）． （2）直线与以为直径的圆相切. （3）． 【解析】 【分析】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质． （1）中，，利用相似三角形能求出长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式． （2）证明垂直于过点C的半径即可． （3）先求出线段的长，根据的面积，可求出边上的高，那么做直线l，且直线l与直线的长度正好等于边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点． 【小问1详解】 解：中，， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴点． ∵抛物线经过A、B两点， ∴设抛物线的解析式为：，将C点代入上式，得： ，解得． ∴抛物线的解析式：，即． 【小问2详解】 直线与以为直径的圆相切，理由如下： 如图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接． 由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为斜边的中点，． 由（1）知：， 则点， ． 而，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴直线与以为直径的圆相切． 【小问3详解】 由得： 则： 过点B作，且使，过F作直线交x轴于G． 中， ， ． ∴或． 易知直线：，则可设直线l：， 将G点坐标代入，得：或，则： 直线l：； 联立抛物线的解析式，得： 或． 解得：或或 ∴抛物线上存在点N，使得，这样的点有3个： 23. 已知抛物线经过点，对称轴是直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在该抛物线上，且；求的取值范围； （3）若设是抛物线与轴的一个交点的横坐标，记，比较与的大小． 【答案】（1） （2） （3）当时，； 当时， 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数与x轴的交点问题： （1）把代入解析式可得，再根据对称轴计算公式可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求可得当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，分别求出当时，当时，得值即可得到答案； （3）先根据题意得到，即，再把整体代入分子中把分子进行降次求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得． ∵对称轴是直线， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵由（1）知：． ∵对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，当时，y有最大值为， ∵点在该抛物线上，且， ∴当时，； 当时，； ∴； 【小问3详解】 解：∵m是抛物线与x轴的一个交点的横坐标， ∴，即． ∴ ， ∵， ∴， ∴或， ∴当时，； 当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$