精品解析：2024-2025学年北师大版九年级上册期中数学检测试题

2024-2025学年北师大版九年级上册期中数学检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 有一个角是直角 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 2. 如图，在菱形中，若，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 3 D. 4 3. 如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 5. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是（    ）. A. B. － C. － D. 8. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 二、填空题 11. 如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE//BD，BE//AC，连接OE，则OE的长是_____． 12. 如图，两个边长均为的正方形、正方形有一部分堆叠在一起，恰为中点，则图中阴影部分的面积为______． 13. 如果是一元二次方程的一个根，那么代数式的值是__________． 14. 已知，则的值为________． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离______． 16. 若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则______． 17. 现有一块长，矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路如图所示，余下的部分用于种植，且种植面积为．设石子路的宽度，则可列方程为_________． 18. 在不透明的袋子中装有黑、白两种球共60个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为_____． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）． 20. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 如图，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线．设交平分线于点E，交的外角的平分线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 22. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元 24. 栖霞某旅游景点超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； （2）从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 25. （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版九年级上册期中数学检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 有一个角是直角 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质和矩形的性质，即可得出正确选项． 【详解】因为菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分， 所以菱形具有而矩形不一定具有的是对角线互相垂直， 故选D． 【点睛】此题考查了菱形的性质和矩形的性质，熟练掌握菱形的性质和矩形的性质定理是本题的关键． 2. 如图，在菱形中，若，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用菱形的性质证明四边形为矩形，得到，进而得到当时，的值最小，即的值最小，利用菱形的性质和勾股定理分别算出、、，再利用面积法求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形为菱形， ， ，， 四边形为矩形， ， 当时，的值最小，即的值最小， ，， ，即， 解得，， ，， ， ， 即， 解得， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，解题的关键在于利用矩形性质和垂线段最短找出取最小值的情况． 3. 如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键，由已知条件可证，得到，利用折叠知，设，则，在中，利用勾股定理即可求得的值，再利用面积公式即可得解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由翻折得，，， ∴， 又∵ ∴ ∴，， 设，则 在中，，， ∴， ∴重叠部分的面积为， 故选∶． 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定定理进行判定即可得到结论 【详解】解：A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，说法正确，故选项A符合题意； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，故选项B不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故选项C不符合题意； D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误，故选项D不符合题意； 故选：A 5. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 把方程左边配成完全平方式，右边化为常数，即可得出答案． 【详解】解：， ， 即：， 故选：． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根， ∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0， 解得：a＞-1且a≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根． 7. 若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是（    ）. A. B. － C. － D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据根与系数关系可得出α+β=-、αβ=-3，将其代入=中即可求出结论． 详解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根， ∴α+β=-，αβ=-3， ∴===． 故选C． 点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键． 8. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：D． 9. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分， 画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况， ∴可配成紫色的概率是： 故选D． 10. 如图，E是边长为4正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为， 在正方形中， 因为 , 即 ， ∵， ∴， 故答案为：. 二、填空题 11. 如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，AC、BD相交于点O，若CE//BD，BE//AC，连接OE，则OE的长是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】由证四边形OBEC是平行四边形，再由菱形的性质得OC，OB，AC⊥BD，由勾股定理得BC，证平行四边形OBEC是矩形，即可得出结论． 【详解】解：∵CE//BD，BE//AC， ∴四边形OBEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OC＝OA＝AC＝12，OB＝OD＝BD＝5，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴BC＝＝＝13， ∵四边形OBEC是平行四边形， ∴平行四边形OBEC是矩形， ∴OE＝BC＝13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键． 12. 如图，两个边长均为的正方形、正方形有一部分堆叠在一起，恰为中点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积．连接，证明，得阴影部分的面积等于的面积，再由的面积与正方形的面积的关系求得结果． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形是正方形， ，，，， 为中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如果是一元二次方程的一个根，那么代数式的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，代数式求值，根据 “一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的解”，求出，再作为整体代入即可求解，掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解方程是解题的关键；由题意可设，则方程可变为，然后根据因式分解法进行求解方程即可． 【详解】解：由题意可设，则方程可变为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为12． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键． 由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了互为倒数的定义，一元二次方程根和系数的关系，由两根互为倒数可得两根之积等于，又由一元二次方程根和系数的关系可得两根之积等于，据此即可求解，掌握一元二次方程两根之和等于，两根之积等于是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根互为倒数， ∴两根之积等于， 又由一元二次方程根和系数的关系可得两根之积等于， ∴， 故答案为：． 17. 现有一块长，的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路如图所示，余下的部分用于种植，且种植面积为．设石子路的宽度，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清楚草坪的总长度和总宽度是解题关键． 设小路的宽为，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设小路的宽为，则草坪的总长度为，总宽度为，根据题意得 ： ； 故答案为：． 18. 在不透明的袋子中装有黑、白两种球共60个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据黑球的频率稳定在0.4附近，得到黑球的概率为0.4，从而求解． 【详解】解：经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近， 摸出的黑球的概率为0.4， 袋子中装有黑、白两种球共60个， 袋子中黑球的个数为：个， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，能够根据题目已知条件分析出摸出黑球的概率是解决本题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选取适当的方法是解题的关键； （1）方程左边用十字相乘法分解因式，即可求解； （2）方程整理后化为一元二次方程的一般形式，再用公式法即可求解； （3）方程右边两项移项并用平方差公式分解因式，再提取公因式即可求解． 【小问1详解】 解：， 分解因式得：， 即，， ∴，； 【小问2详解】 解：， 方程整理，得：， ∵， ∴， 即，； 【小问3详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， 即， ∴，， ∴，． 20. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到，即得四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由勾股定理可得，再证明可得四边形是平行四边形，得到，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 由（）可知，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 如图，在中，点O是边上一个动点，过点O作直线．设交的平分线于点E，交的外角的平分线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）点O在边上运动到的中点时，四边形是矩形．理由见解析 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可证得，则，同理，即可得出结论； （2）利用勾股定理可求得的长，再结合（1）的结论可求得的长； （3）只要保证四边形是平行四边形即可，则可知为的中点时，满足条件． 本题考查了矩形判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ； 【小问2详解】 解：、分别平分和， ，， ， ， ， 即的长为6.5； 【小问3详解】 解：当在的中点时，四边形是矩形，理由如下： 当为中点时，则， 由（1）可知，， ， 四边形为平行四边形，， ， 平行四边形为矩形． 22. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 【答案】（1）40人，补全图形见解析；（2）480人；（3） 【解析】 【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图； （2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论； （3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可. 【详解】（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个， 因此A档共有：12-4=8人， 8÷20%=40人， 补全图形如下： （2）1200×（人） 答：全校B档的人数为480人， （3）用A表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下， 所以P（2名学生来自不同年级）= 【点睛】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元 【答案】（1）道路的宽为米 （2）每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可； 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 24. 栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； （2）从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元， ∴月销售量为：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元． 25. （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）10 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． （）延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． 【详解】解∶（1）延长到点，使，连结， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接， ∵， ∴， 同（）理：， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长到，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$