14.2.2　第1课时　完全平方公式课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

14.2.2　第1课时　完全平方公式 第十四章　 整式的乘法与因式分解 - 14.2.2　第1课时　完全平方公式 探究与应用 课堂小结与检测 第十四章　整式的乘法与因式分解 全品初中 活动1　理解探究完全平方公式及利用公式计算 [问题情景] 计算下列多项式的积: (1)(p+1)2; (2)(m+2)2; (3)(p-1)2; 　　(4)(m-2)2. 解:(1)p2+2p+1. (2)m2+4m+4. (3)p2-2p+1. (4)m2-4m+4. 探究与应用 [引发思考] (1)通过上面的计算,你能发现什么规律吗? 解:都是完全平方的形式,结果中都有三项,并且有两个数的平方和.  (2)根据上面的规律,猜想一下(a+b)2,(a-b)2的结果分别是多少?  解:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2. 探究与应用 (3)你能将完全平方公式用文字语言表述吗? 解:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍. 探究与应用 [概括新知] 完全平方公式:两个数的　　　 　的平方,等于它们的平方 和,加上(或减去)它们的积的　　　　.  即(a+b)2=　　　　　　;(a-b)2=　　　　　　.  和(或差) 2倍 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 探究与应用 记 特征 同为“+” 同为“-” 注意:(a+b)2=(-a-b)2,(a-b)2=(b-a)2,(a±b)2≠a2±b2. 等号左边： 式子为二项式 的完全平方 等号右边：首尾两项是 等号左边二项式中每一 项的平方，中间一项是 左边二项式中两项乘积 的2倍 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材典题)运用完全平方公式计算: (1)(4m+n)2; 　　　　(2)(y-)2. 解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2. (2)(y-)2=y2-2·y·+()2=y2-y+. 探究与应用 首平方,尾平方, 首尾2倍放中央; 和平方,积为正, 差平方,积为负. 得 锦囊 探究与应用 变式 计算: (1)(-x+3y)2; 　　　　(2)(-4y-)2. 解:(1)(-x+3y)2=(3y-x)2=(3y)2-2·3y·x+x2=9y2-6xy+x2. (2)(-4y-)2=(4y+)2=(4y)2+2·4y·+()2=16y2+2y+. 探究与应用 例2 (教材典题)运用完全平方公式计算: (1)1022; 　　　　(2)992. 解:(1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404. (2)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801. 探究与应用 学 方法 根据数的特征,将底数化成两个数的和或差的形式,再利用完全平方公式展开计算. 探究与应用 活动2　理解完全平方公式的几何背景 [观察思考] (1)图14-2-3中大正方形的面积有多种表示方法,请你根据不同的表示方法说明两数和的完全平方公式. 图14-2-3 探究与应用 解:大正方形的边长是a+b,它的面积是(a+b)2;阴影部分的正方形的边长是a,它的面积是a2;另一个小正方形的边长是b,它的面积是b2;另外两个小长方形的长都是a,宽都是b,所以每个小长方形的面积都是ab.所以这四个图形的面积之和为a2+2ab+b2.因为大正方形的面积等于这四个图形的面积之和,所以就可以得出(a+b)2=a2+2ab+b2. 探究与应用 (2)仿照(1)的思路,利用图14-2-4中图形的面积说明两数差的完全平方公式. 图14-2-4 解:图中左下角正方形的边长是a-b,它的面积是 (a-b)2;图中大正方形的边长是a,它的面积是a2; 图中右上角正方形的边长是b,它的面积是b2;图 中上方和右侧两个长方形的长和宽分别为a,b, 它们的面积均是ab.因为图中左下角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积,再加上右上角正方形的面积,所以(a-b)2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2. 探究与应用 例3 (教材补充例题)如图14-2-5①是一个长为2m、宽为2n的长方形,用剪刀沿图中的虚线(对称轴)剪开,把它分成四个形状和大小都相同的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形(中间是空的). 图14-2-5 探究与应用 (1)图②中阴影部分的小正方形的边长是多少? 图14-2-5 解:题图②中阴影部分的小正方形的边长是m-n. 探究与应用 (2)观察图②,写出(m+n)2,(m-n)2,mn之间的等量关系; 图14-2-5 解:(m+n)2=(m-n)2+4mn. 探究与应用 (3)根据(2)中的等量关系解决下面的问题:若m+n=7,mn=5,求(m-n)2的值. 解:由(2)得(m+n)2=(m-n)2+4mn. ∵m+n=7,mn=5, ∴(m-n)2=(m+n)2-4mn=49-20=29. 探究与应用 变式 已知a+b=4,ab=2,求下列式子的值: (1)a2+b2; 　　　　　　　(2)(a-b)2. 解:(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=42-2×2=16-4=12. (2)(a-b)2=a2+b2-2ab=12-2×2=8. 探究与应用 常见的完全平方公式的变形 得 锦囊 完全平方公式 变形 (a+b)2=a2+2ab+b2 ①a2+b2=(a+b)2-2ab ②2ab=(a+b)2-(a2+b2) (a-b)2=a2-2ab+b2 ③a2+b2=(a-b)2+2ab ④2ab=(a2+b2)-(a-b)2 ⑤(a-b)2=(a+b)2-4ab ⑥(a+b)2=(a-b)2+4ab 探究与应用 [本课时认知逻辑] 类比观察 完全平方公式 应用 几何意义 课堂小结与检测 C [检测] 1.下列运算中,利用完全平方公式计算正确的是 (　　) A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-y2 C.(-x+y)2=x2-2xy+y2 D.(-x-y)2=x2-2xy+y2 课堂小结与检测 2.计算(2x-y)2的结果是 (　　) A.4x2-4xy+y2 B.4x2-2xy+y2 C.4x2-y2 D.4x2+y2 A 课堂小结与检测 3.计算: (1)(2a+5b)2; (2)(x-2y)2;   解:(1)原式=4a2+20ab+25b2. (2)原式=x2-2xy+4y2. 课堂小结与检测 (3)(-2a+5)2; (4)(-2a-1)2. 解:(3)原式=4a2-20a+25. (4)原式=4a2+4a+1. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$