14.2.1平方差公式 课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

14.2.1 平方差公式 第十四章 整式的乘法与因式分解 - 14.2.1 平方差公式 探究与应用 课堂小结与检测 第十四章 整式的乘法与因式分解 全品初中 活动1 理解、探究平方差公式,并运用平方差公式计算 [问题情景] 计算下列多项式的积: (1)(x+1)(x-1); (2)(m+2)(m-2); (3)(2x+1)(2x-1). 解:(1)x2-1 (2)m2-4 (3)4x2-1 探究与应用 [引发思考] (1)上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点? 解:都是两个数的和与这两个数的差相乘. (2)它们的结果有什么特点? 解:是这两个数的平方差. 探究与应用 (3)你能将发现的规律用式子表示出来吗? 解:(a+b)(a-b)=a2-b2. (4)你能用文字语言表述吗? 解:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 探究与应用 平方差公式及其结构特点 等号左边:①两个二项式的积;②两个二项式中其中一组为相同项,另一组为相反项. 等号右边:①二项式;②相同项的平方减去相反项的平方. 记 特征 探究与应用 [概括新知] 平方差公式:两个数的 与这两个数的 的积, 等于这两个数的平方差. 即(a+b)(a-b)= . 和 差 a2-b2 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材典题)运用平方差公式计算: (1)(3x+2)(3x-2); (2)(-x+2y)(-x-2y). 解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4. (2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2. 探究与应用 学 技巧 找到相同项,置于第一项,如:(a2-) (-a2-)=(-+a2)(-a2). 探究与应用 变式 计算:(1)(x+5)(x-5); (2)(a2-bc)(-a2-bc). 解:(1)(x+5)(x-5)=(x)2-52=x2-25. (2)(a2-bc)(-a2-bc)=(-bc)2-(a2)2=b2c2-a4. 探究与应用 例2 (教材典题)计算: (1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); (2)102 98. 解:(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1. (2)102 98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996. 探究与应用 变式 计算: (1)(a-4)(a+4)-2(a-1)(2a+2); (2)1007 993. 解:(1)(a-4)(a+4)-2(a-1)(2a+2)=a2-42-4(a-1)(a+1)=a2-16-4(a2-1)= a2-16-4a2+4=-3a2-12. (2)1007 993=(1000+7) (1000-7)=10002-72=1000000-49= 999951. 探究与应用 拓展 计算:(2+1) (22+1) (24+1) (28+1). 解:原式=(2-1) (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) =(22-1) (22+1) (24+1) (28+1) =(24-1) (24+1) (28+1) =(28-1) (28+1) =216-1. 探究与应用 学 技巧 配成平方差巧算 (2+1)(2-1)=22-12=22-1; (22-1)(22+1)=24-1;… 探究与应用 活动2 理解平方差公式的几何背景 [观察思考] 如何根据图14-2-1①②中图形的面积说明平方差公式? 图14-2-1 探究与应用 解:题图①中图形的面积可以看成边长为m的大正方形的面积减去边长为n的小正方形的面积,即m2-n2,题图②中图形的面积可以看成两条相邻边长分别为m+n和m-n的长方形的面积,即(m+n)(m-n),由于这两个图形的面积相等,因此有(m+n)(m-n)= m2-n2. 探究与应用 学 总结 从“数”和“形”两个方面推导平方差公式 (1)“数”方面:可以用整式的乘法推导; (2)“形”方面:可以根据某个图形的形状变化前后的面积不变推导. 探究与应用 [理解应用] 例3 (教材补充例题)如图14-2-2①所示,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b(b<a)的小正方形,再沿着虚线AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形. 图14-2-2 探究与应用 (1)设图①中阴影部分的面积为S1,图②中阴影部分的面积为S2,请直接用含a,b的式子表示S1和S2; 解:(1)因为大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,所以S1=a2-b2. 由梯形的面积公式可得S2=(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b). 探究与应用 (2)请写出上述过程中所揭示的乘法公式. 解:根据题意,得(a+b)(a-b)=a2-b2. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 二项式乘二项式 平方差公式 应用 类比观察 几何意义 课堂小结与检测 B [检测] 1.若(3x+y)( )=9x2-y2,则括号内的多项式为( ) A.3x+y B.3x-y C.-3x-y D.-3x+y 课堂小结与检测 2.下列式子中,能用平方差公式计算的是 ( ) A.(a+b)(a-c) B.(a+b)(-a-b) C.(a+b)(a-b) D.(-a+b)(a-b) 3.计算:118 122= . C 14396 课堂小结与检测 4.化简:(x+2)(x-2)-x(x-1). 解:原式=x2-4-x2+x=x-4. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看! 全品初中 $$