新疆生产建设兵团第十二师第二中学2024-2025学年高三上学期数学数列专题复习

2024-2025兵团二中第十二师校区高中数学数列专题复习 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．等比数列中，，则（    ） A．4 B． C． D． 2．已知数列对于任意，都有若则（    ） A．2 B． C．4 D． 3．已知数列的前项和为，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．96 4．在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 5．已知数列满足，且，则（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 6．已知数列满足，则（   ） A．2025 B．2024 C． D． 7．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 8．现有12个螺母，它们的质量从大到小依次构成等差数列，质量之和最大的3个螺母的质量是质量之和最小的3个螺母的质量的4倍，且这12个螺母的总质量为45克，要从这12个螺母中随机挑选个螺母组成一套螺母，且这套螺母的质量和不低于25克，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2、 多选题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。） 9．已知，，成等比数列，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 10．已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 11．若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（    ） A． B．（，） C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共15分。） 12．在等差数列中，若，则的值为 . 13．已知数列满足，若，则的通项公式为 . 14．在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为 ；第次踢出后，建子恰好踢给乙的概率为 . 四、解答题：（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15．（13分）已知数列满足，，数列满足. (1)求，的值； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的前项和. 16．（15分）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列． (1)求的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 17．（15分）已知等差数列的前项和为，数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（17分）已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求. 19．（17分）已知函数，，取点，过其作曲线切线交y轴于点，取点，过其作曲线作切线交y轴于，若，则停止操作，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明：； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得，，…，依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D B D C C BD BD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】根据等比数列通项公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 2．C 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即得. 【详解】由数列对于任意，都有， 取，则， 取，则，则. 故选：C 3．B 【分析】由即可求解. 【详解】. 故选：B 4．D 【分析】根据等差数列的性质可得公差为，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以. 故选：D 5．B 【分析】直接根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由可得是公差为的等差数列， 故． 故选：B. 6．D 【分析】根据累加法可得数列的通项公式，再根据裂项相消求和即可得答案. 【详解】由题意可得 ， 累加可得， ，所以， 故. 故选：D. 7．C 【分析】对于A，分别取，代入即可判断； 取，得到，利用累加法求出，对于B，验证判别式即可；对于CD，分别利用二次函数求出对称轴验证即可. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故A错误； 取，，则， 所以，，，， 将以上各式相加，得， 又因为， 所以， 对于B，令，则，即， 因为，所以方程无解，故B错误； 对于C，， 其对称轴为，故C正确； 对于D，， 其对称轴为，故D错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用赋值法得到，从而求解. 8．C 【分析】由题可设12个螺母的质量从大到小构成的等差数列为，根据等差数列的基本量计算得的值，从而可得前项和，由列不等式求解即可得结论. 【详解】设12个螺母的质量从大到小构成的等差数列为，公差为， 由题意可得， 即，解得， 则， 令，又，解得． 故选；C． 9．BD 【分析】根据等比中项建立等式求解即可． 【详解】根据题意可知：， 所以， 故选：BD． 10．BD 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 11．AC 【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可. 【详解】对于A，由题可得，，，，，故A正确； 对于B，因为，又， 所以，即，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AC. 12．27 【分析】由等差数列通项公式结合题目信息可得答案. 【详解】设等差数列公差为d，注意到， 则. 故答案为：27 13． 【分析】利用，关系求数列通项，注意验证是否满足. 【详解】当时，，因为，所以， 当时，， 则，即，， 所以是从以首项公比为3的等比数列， 则， 此时，令，， 所以， 故答案为：. 14． / 【分析】根据条件概率公式之积可得第二次毽子由乙踢出的概率，再由若第次踢出后，建子恰好踢给乙，则第次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即可得概率的递推公式，进而可得概率. 【详解】由已知接到前两次踢出的毽子的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共种， 设事件：第二次的毽子由丙接到，事件：第二次的毽子由乙踢出，丙接到， 则，， 则； 设第次踢出后，建子恰好踢给乙的概率为， 易知若第次踢出后，建子恰好踢给乙，则第次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙， 即，，且， 则， 即是以为首项，为公比的等比数列， 则， 即， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合概率知识可得递推公式，进而分析求解. 15．(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据的定义即可计算求解； （2）根据等差数列的定义证明即可； （3）由分组求和法以及等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）由已知得：， . （2）证明：因为，， 所以， 而，所以是以为首项，为公差的等差数列. （3）， 因为，，，由（2）得， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）计算出等比数列的公比，从而求得. （2）利用分组求和法求得数列的前项和． 【详解】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列， 所以． 设数列的公比为，则， 解得，或（舍）， 所以． （2）由（1）知， 因为，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 即数列的前项和为． 17．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为,根据等差数列通项公式及前n项和公式得到方程组，解出即可； （2）首先得到，再利用错位相减法求和即可得到答案. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为,则 ∵，∴，解得 ∴数列的通项公式为. （2）由（1），得， ∴数列的前项和 ∴   ∴ 所以 18．(1) (2) 【分析】（1）运用等比中项公式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用对数性质，结合等比数列求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为， 由，得，则. 由成等比数列，得，则， 而是单调递增的等差数列，所以，所以. 解方程组得 所以的通项公式为. （2）由，可得，所以. 故的各项构成以为首项， 公比为的等比数列， 所以. 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在，． 【分析】（1）由题意求导得切线方程，令即可得到递推关系； （2）由题意作差结合递推关系，构造导数，得出的单调性，由此即可比较大小； （3）由题意讨论当时，结合等差数列性质以及构造函数，利用导数得出单调性以及零点存在定理即可说明，当时，利用零点存在定理得出唯一性，得出矛盾即可推翻，由此即可得解. 【详解】（1）由题意得， 故点处的切线方程为： ， 令，则. （2）由(1) 知要比较与大小，只需比较和的大小. 设，求导 令 ，解得， 易知在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以有，所以， 所以，当且仅当时成立. 故，即. （3）假设存在依次成等差数列, 则必有， 因为，解得，又， 综上，变形 ， 现在考虑该式是否存在使之成立， 设函数 ，求导， 因为 ，所以有， 说明严格单调递增，且 ， 根据零点存在性定理可以知道，有唯一解使得方程成立，故是成立. 下面证明不成立： 利用零点唯一性得出矛盾，当时，有上面证明可知， 另一方面由第(2) 可知，数列为严格递减数列，矛盾，所以只有. 综上，满足题意的只有. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到函数方程后，要构造函数，利用导数单调性以及零点存在定理即可顺利得解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$