高二数学期中模拟卷（一）（范围：空间向量+直线与圆的方程）-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（人教A版2019）

高二期中模拟测试卷（一） 考试范围：空间向量+直线与圆的方程 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线，则“”是“”的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 2．已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 3．圆上到直线的距离为2的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 5．过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（    ） A． B． C．1 D． 第6题 第7题 7．如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 8．已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 10．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．圆C与曲线：恰有三条公切线，则 C．过点作圆的一条切线，切点为Q，可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 11．已知正方体的棱长为1，M为侧面上的动点，N为侧面上的动点，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则M的轨迹长度为 B．若，则到直线的距离的最小值为 C．若，则，且直线平面 D．若，则与平面所成角正弦的最小值为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是________ 13．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是________ 14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点. (1)若为的中点，求直线的方程； (2)求的最小值. 16．已知圆，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M. (1)若点P运动到处，求此时切线l的方程； (2)求满足条件的点P的轨迹方程． 17．如图，已知圆M：，点为直线l：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．    (1)时，求PA、PB方程（点A在点B上方）； (2)求线段AB中点的轨迹方程； (3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求的最小值． 18．图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点. (1)若为等腰三角形，求P点坐标; (2)若直线分别交圆于两点. ①求证：直线过定点，并求出定点坐标; ②求四边形面积的最大值. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学期中模拟卷（一） 数 学·答题卡 姓名________ 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 选项 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．_______________ 13．___________________ 14．__________________ 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期中模拟测试卷（一） 考试范围：空间向量+直线与圆的方程 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C D A D B D 9 10 11 ACD BD BD 12 13 14 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线，则“”是“”的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】若，则， 解得或， 当时，和的方程都是，两直线重合，不符合题意. 经验证可知，符合. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．已知，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A．3 B．1 C．5 D．7 【答案】B 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 3．圆上到直线的距离为2的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合圆的半径大小确定圆上到直线距离为2的点的个数. 【详解】圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以圆上到直线的距离为2的点有3个，故选：C． 4．若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 5．过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由圆的一般式方程知：， 所以，，即，解得或， 又知过点可作两条切线，得点在圆外， 即，即，综上可知：. 故选：A 6．正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】用表示出，再求数量积． 【详解】因为E，F，G分别是的中点，四面体是正四面体，且棱长， 所以 . 故选：D． 7．如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，从而得到⊥平面，从而点在线段上时，满足平面，点的轨迹长度为. 【详解】法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 故， 所以， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，满足平面， 点的轨迹长度为. 法二：如图，取BB1中点E，再过N作CE垂线NC1，易知NC1⊥面CDME，故P点轨迹即NC1 8．已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，直线， 可变形可得， 联立，解得，则直线恒过定点，记为， 法一： 圆的圆心为，半径，则， 又为圆的弦，设的中点为，则有， 所以， 易知，记，则，， 所以的面积 ，当且仅当，即时，等号成立. 即的面积的最大值为. 法二： 记,则，当时面积有最大值，此时，而，因为，故成立，即 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】ACD 【分析】对A，根据投影向量的定义列式运算得解；对B，当，同向共线时也成立可判断；对C，由空间向量共面的推论判断；对D，由可判断. 【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误； 对于C，在中，故四点共面，故C正确； 对于D，由，即，故，故D正确. 故选：ACD. 10．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．圆C与曲线：恰有三条公切线，则 C．过点作圆的一条切线，切点为Q，可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 【答案】BD 【分析】 对A，求出圆心到直线的距离，将圆上点到直线的最短距离与比较即可；对B，转化为两圆外切即可；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】 选项A，由题知，圆心到直线的距离为，圆的半径为， 由，圆上不存在点到直线的距离为，故A错误； 选项B， 整理得，圆心为，半径为， 由题可知两圆外切时有三条公切线，则，解得，B正确； 选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大，过点作，垂足为， 此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误； 选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由解得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BD. 【点睛】1、切点弦方程（二级结论）：圆外一点向圆作切线，两个切点A,B的连线方程为（类似的其余圆锥曲线都有此类方程） 2、双切线性质：OP⊥l时候 ①切线长最小；②切点四边形面积最小；③切点弦AB最短；④切线夹角最大；⑤AB平行l 3、切点弦的方程的常规求法：如图，易知PAOB四点共圆，且PO为圆的直径，而AB为两圆的公共弦 11．已知正方体的棱长为1，M为侧面上的动点，N为侧面上的动点，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则M的轨迹长度为 B．若，则到直线的距离的最小值为 C．若，则，且直线平面 D．若，则与平面所成角正弦的最小值为 【答案】BD 【分析】分析点轨迹，求出轨迹长度，可判断A的真假；根据直线与圆上的点的距离范围可判断B的真假；根据面面平行，可证线面平行，判断C的真假；根据线面角的概念求线面角正弦的最小值. 【详解】如图： 对A：因为，所以，即点的轨迹是在平面内， 以为圆心，以为半径的圆的，故M的轨迹长度为：，故A正确； 对B：由A知：点的轨迹是在平面内，以为圆心，以为半径的圆的一部分， 且点到直线的距离为，所以到直线的距离的最小值为，故B错误； 对C：根据正方体的性质，可知平面，又因为平面，， 所以平面，所以 平面； 又根据正方体的性质，平面平面，所以平面.故C正确； 对D：设到平面的距离为，则， 又，， 所以. 设与平面所成角为，则 又,所以，故D错误. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是________ 【答案】 【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得. 【详解】法一：如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以点到直线的距离是. 【法二】如图,取AD中点F，连接EF，再过F做PD垂线，垂足为G，易知PD⊥平面EFG， 故EG⊥PD，且△EFG为RT△，由勾股可得 13．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解. 【详解】将代入得， 将代入得， 所以A，B不在直线l上， 又上， 所以点p在线段AB上， 直线AB的方程为：， 由，解得， 直线方程，即为， 设直线的倾斜角为， 则， 因为， 所以， 则， 所以， 即， 因为， 所以， 14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点. (1)若为的中点，求直线的方程； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标公式求出截距即可得方程； （2）点坐标代入直线方程，利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】（1）由题意可设的方程为， 由为的中点可知：，， 故的方程为，即； （2）将代入方程，得， 故 当且仅当时，取等号，此时 故的最小值为. 16．已知圆，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M. (1)若点P运动到处，求此时切线l的方程； (2)求满足条件的点P的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2). 【分析】（1）由圆心到直线距离等于半径，求切线方程； （2）设，由，列等式化简即可. 【详解】（1）把圆化为标准方程为， ∴圆心为，半径. 当l的斜率不存在时，此时l的方程为，C到l的距离，满足条件． 当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为，即， 则，解得. ∴l的方程为， 即， 综上，满足条件的切线l的方程为或. （2）    设，则，. ∵，∴， 整理，得， ∴点P的轨迹方程为. 17．如图，已知圆M：，点为直线l：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．    (1)时，求PA、PB方程（点A在点B上方）； (2)求线段AB中点的轨迹方程； (3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求的最小值． 【答案】(1)PA：；PB： (2) (3) 【分析】（1）根据条件得到圆的标准方程，从而得到圆心，半径，当时，得到点的坐标，从而设过点的直线方程为，再由直线与圆的位置关系求得，即可求解； （2）根据（1）求得，从而得到以P为圆心，为半径的圆P的方程，根据两圆的相交弦所在直线方程求法得到直线的方程，进而得到直线过定点，设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，得到F点的轨迹为以HM为直径的圆，即可求解. （3）设切线方程为，根据直线与圆的位置关系求得，设PA，PB的斜率分别为，，再由韦达定理得到. ，，令结合　即可求解. 【详解】（1）圆，即， 则圆的圆心，半径， 当时，，设过点的直线方程为，即， 又过点P引圆M的两条切线，则，解得：或， 因为点A在点B上方， 即直线的方程为：，直线的方程为：， 故的方程为；直线的方程为：. （2）由（1）知：，圆的半径， 又，则，， 即， 故以P为圆心，为半径的圆P的方程为， 显然线段AB为圆P和圆M的公共弦， 则直线AB的方程为，即， 由，所以直线AB过定点； 设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，如图所示：    当不重合时，则HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆（除去点M）， 又，， 故该圆圆心为，半径，且不经过． ∴点F的轨迹方程为； 故线段AB中点的轨迹方程. （3）设切线方程为，即， 故到直线的距离，即， 则， 设PA，PB的斜率分别为，，则，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为． 18．图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】（1）在图1中，连结AE，连结AC交BE于点F，证明，即可； （2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，算出平面的法向量和的坐标，然后可算出答案； （3）设，然后算出平面PBE、平面的法向量，然后可建立方程求解. 【详解】（1）证明：在图1中，连结AE，由已知条件得， ∵且， ∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F， ∴，又∵在中，， ∴， 在图2中，，∵，∴， 由题意知，且 ∴平面ABED，又平面， ∴平面平面ABED； （2）如图，以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由已知得各点坐标为 ，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，即， 令，解得，， 所以，，记直线与平面所成角为， 则． （3）假设存在，设， 所以，， ∵平面，易得平面的一个法向量， 设平面PBE的一个法向量， 由，可得，可取， 则， 解得，此时． 19．如图，在平面直角坐标系中，为直线上一动点，圆与轴的交点分别为点，圆与轴的交点分别为点. (1)若为等腰三角形，求P点坐标; (2)若直线分别交圆于两点. ①求证：直线过定点，并求出定点坐标; ②求四边形面积的最大值. 【答案】(1)或 (2)②证明见解析，；② 【分析】（1）分与两种情况，借助两点间距离公式求解即可. （2）①时，联立圆与直线方程，借助韦达定理及两点斜率公式求解，并验证时满足； ②由，将，代入计算即可. 【详解】（1）设，由题意得，，， 当时，即， 解得，当时，三点共线，舍去，所以， 当时， 即，解得，所以， 综上或； （2）①设，，，，，， ，， 设直线斜率存在， 联立，消去y可得， 设，， 则，， 故，，， 或舍去， 则直线， ∴直线恒过定点， 当时，过定点，符合， 综上，直线恒过定点； ②由①得，， 则 ， ， 令， 则，当时，取得最大值， 当直线，四边形面积有最大值 . 【点睛】一、直线与圆相交问题，韦达定理题型常用步骤： (1)得出直线方程，设交点为： (2)联立直线与圆方程，得到关于x(或y)的一元二次方程； (3)写出韦达定理： (4)将所求问题或题中关系转化为形式； 二、定点问题 1．证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线中的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。 2．常考模型 常考模型（1）：模型（极点极线背景） 形态1：如图，已知圆O：，M，N为圆O与x轴左右交点，直线AB交圆O于A,B两点直线AM与直线BN交于点P 结论一：若点P在直线上运动，连接PM得到点A,连接PN得到点B，则直线AB过定点 结论二：若直线过定点，则P点轨迹为 形态2：如图，已知圆O：，直线AB交圆O于A,B两点，交x轴于Q点，点K为圆外x轴上一点 结论：①点；②点；③(即x轴平分∠AKB)，以上3个条件知二得一 形态3：如图，已知圆O：，直线AB交圆O于A,B两点，交x轴于点K，点Q为圆内x轴上一点 结论：①点；②点；③(即∠1=∠2)，以上3个条件知二得一 19 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$