高二数学期中模拟卷（二）（范围：空间向量+直线与圆的方程+椭圆）-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（人教A版2019）

2024-2025学年高二数学期中模拟卷（二） 考试范围：空间向量，直线与圆的方程，椭圆 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线与直线平行，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或1 2．点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（    ）    A． B． C． D． 4．若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（    ） A． B． C． D． 7．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．点在曲线上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（    ） A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 10．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别为和，线段的中点为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则这样的点只有一个 B．四边形面积的最小值为1 C．直线恒过点 D．平面内存在一定点，使得线段的长度为定值 11．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（    ）   A．平面 B．到平面的距离为 C．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是 D．平面与平面夹角余弦值为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率 ． 13．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为 ． 14．已知矩形中，将矩形沿着对角线对折，形成一个空间四边形，当时，二面角的余弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. (1)试用表示向量；(2)求BM的长. 16．已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为. (1)求点的坐标；(2)求直线的方程. 17．已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 18．如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且． (1)证明：； (2)在平面内寻求一点，使得平面，求M点坐标 (3)在（2）的条件下求二面角的平面角的正弦值. 19．已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为． ①求证：为定值； ②求证：直线过定点. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学期中模拟卷（二） 数 学·答题卡 姓名________ 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 选项 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．_______________ 13．___________________ 14．__________________ 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学期中模拟卷（二） 考试范围：空间向量，直线与圆的方程，椭圆 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C C B A D B 9 10 11 BC ABD ABD 12 13 14 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线与直线平行，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或1 【答案】D 【分析】由两直线平行得系数间的关系，解之即可. 【详解】若直线与直线平行， 则，且， 解得. 2．点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果. 【详解】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A 3．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可. 【详解】法一：如图所示，以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，    则， 可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由∥平面，可得，解得. 法二：补全截面,如图过点E作A1B的平行线，交CD中点G，则B1F∥BG即可，此时F为C1D1中点 故选：C. 4．若点P（1，－1）在圆C：x2＋y2－x＋y＋m＝0的外部，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将P点代入圆可得m的不等式，结合圆的一般方程构成圆的条件，可得m的取值范围. 【详解】解：若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部， 有，且由x2+y2-x+y+m=0构成圆的条件可知：， 可得：且，即：， 故选C. 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系及圆的一般方程，相对简单. 5．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在为直径的圆上，即，根据得到离心率范围. 【详解】，故在为直径的圆上，即， 圆在椭圆内部，故，，故. 故选：B. 6．空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点P到直线EF的距离为． 故选：A 7．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设, 因为为线段的中点，所以， 则，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，所以. 故选：D. 8．点在曲线上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果. 【详解】 如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，， 表示点到直线距离的5倍， 点到直线的距离，即直线与圆相离， 点到直线的距离， 最小值为，最大值为， 则的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（    ） A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，可判定A不正确，B正确，设椭圆上一点，求得，求得和，进而可判定C正确，D不正确. 【详解】由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的焦距为，离心率为，所以A不正确，B正确； 又由圆，可得圆心，半径为， 设椭圆上任意一点， 则， 令，可得图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 则的最小值为，所以C正确，D不正确. 故选：BC. 10．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别为和，线段的中点为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则这样的点只有一个 B．四边形面积的最小值为1 C．直线恒过点 D．平面内存在一定点，使得线段的长度为定值 【答案】ABD 【分析】对于A：设出切线方程，根据直线与圆相切列式，得到关于斜率的二次方程，利用韦达定理可得答案；对于B：通过计算得到，求出的最小值即可；对于C：求出以为直径的圆的方程，与已知圆做差可得公共弦所在直线方程，根据方程可得定点；对于D：转化为求点的轨迹，如果点的轨迹是一个圆即可. 【详解】对于A：设，过点作圆的切线，切线斜率不存在时显然不满足题意， 设切线方程为， 即， 则，整理得 则方程的根为， 又，所以 所以，解得，即若，则这样的点只有一个，A正确；    对于B： 要四边形面积的最小值为1，则最小， 当为点到直线距离时最小， 此时， 所以四边形面积的最小值为，B正确；    对于C：由于直线为以为直径的圆与圆的公共弦， 设，则以为直径的圆的方程为， 即，结合， 两圆方程做差可得， 变形为，令，解得， 即直线恒过点，C错误； 对于D：由选线C得直线的方程为，即 又直线的方程为，即 两式相乘得， 当时，，整理得， 当时，直线与直线的交点为，满足， 故直线与直线的交点轨迹方程为，即为点的轨迹方程，故存在点，使得线段的长度为定值，D正确.    故选：ABD. 11．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（    ）    A．平面 B．到平面的距离为 C．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是 D．平面与平面夹角余弦值为 【答案】ABD 【分析】 建立空间直角坐标系，对于A，用空间向量计算证明垂直即可判断；对于B，用空间向量求平面的法向量，再在法向量上的投影即可判断；对于C，补全完整截面为正六边形，直接计算面积即可判断；对于D，用空间向量求平面的法向量再计算二面角的余弦值即可判断. 【详解】 以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    ，，，，， 则，， ，，， 则平面，故A正确； 向量为平面的法向量， 且，， 所以到平面的距离为 ，故B正确； 作中点，的中点，的中点， 连接，，，，， 则正六边形为对应截面面积， 正六边形边长为， 则截面面积为：，故C错误； 平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 设两个平面夹角为，，故D正确． 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率 ． 【答案】/ 【分析】取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，然后根据椭圆的性质结合条件及余弦定理可得离心率的值. 【详解】取椭圆的右焦点，连接，， 由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 则，， 又，而， 所以，所以， 在中，， 整理，得，即，又， 所以. 故答案为：. 13．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据求得的最小值. 【详解】解：如图， M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 14．已知矩形中，将矩形沿着对角线对折，形成一个空间四边形，当时，二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】在和中，分别过点作，根据平方，将向量关系转化为数量关系，代入求解即可得到二面角余弦值. 【详解】在和中，分别过点作， 由，代入, 得，所以， 同理，，，所以， 设二面角大小为， 则与夹角为， 由， 平方得，， 所以，解得， 所以二面角的余弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. (1)试用表示向量； (2)求BM的长. 【答案】(1) (2) 【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算. 【详解】（1） （2） ，所以，则BM的长为. 16．已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）设点，由，所在的直线方程建立方程求解即可； （2）根据角平分线的性质求关于直线的对称点，即可求直线方程. 【详解】（1）设，则由题意可知①， 又，所以②， 联立①②方程解得，即； （2）   设关于直线的对称点，则有的中点在直线上， 即，解之得， 显然直线为的角平分线，即直线与重合， 则，所以直线的方程为. 17．已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3)5 【分析】（1）根据直线与圆相切，可求圆心，可得方程； （2）假设存在定点，设，表示，讨论是否存在定值； （3）由（2）知，，故所求转化为、、三点共线问题． 【详解】（1）由题意设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为； （2）假设存在定点，设， 设，则， 则， 当，即舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点使得为定值， 的坐标为；    （3）由（2）知，故，从而， 当且仅当、、三点共线时，最小， 且． 所以的最小值为5. 18．如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且． (1)证明：； (2)在平面内寻求一点，使得平面，求M点坐标 (3)在（2）的条件下求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证明； （2）根据四点共面、线面垂直等求出点的坐标，再利用空间向量坐标运算即可求得二面角的平面角的正弦值. 【详解】（1）因为，、都垂直平面，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，则， 所以，则，故； （2）设平面的法向量为， 则，令，则 设，则，由于平面，所以，则，所以，即， 又平面，故存在实数，且满足，使得， 故，解得，所以 （3）设平面的法向量为，又 则，令，则 设平面的法向量为，又 则，令，则， 所以，所以 则二面角的平面角的正弦值为. 19．已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为． ①求证：为定值； ②求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据题意得到方程组，解之即可求出结果； （2）①设出直线MN的方程，与椭圆联立，结合韦达定理得到，化简整理即可求出结果； ②设PQ的方程，与联立，结合韦达定理求出的值，进而可以求出结果. 【详解】（1）由题意解得 所以椭圆的标准方程为：； （2）① 设MN的方程为，与联立得：， 设，，则， ②设PQ的方程为 ，与联立， 设，则 由，即此时， 的方程为，故直线恒过定点. 3 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$