精品解析：北京市昌平一中集团2024～2025学年上学期八年级期中数学检测试卷

昌平一中教育集团2024-2025学年第一学期期中联合质量检测 初二数学试卷 本试卷共4页，4道大题，29个小题，满分110分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一．选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. 81 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，且算术平方根本身为非负数， 的算术平方根是． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. a≠2 B. a≠0 C. a＜2 D. a≥2 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握理解分式的分母不能为0是解题关键． 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查开立方，二次根式的加法，乘法，除法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则逐项计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能进行计算，故计算错误，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：C． 4. 若将分式中的，都扩大倍，则分式的值（ ） A. 不改变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】由题意得：， ∴若将分式中的，都扩大倍，则分式的值不变， 故选：A． 5. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确理解并运用分式的基本性质．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件，以及解一元一次不等式组，根据分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数建立不等式组求解，即可解题． 【详解】解：成立的条件是， 解得， 故选：C． 7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式定义，以及求一个数的平方根，根据被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，列出方程求出，，再根据平方根概念求解，即可解题． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， a的平方根是， 故选：D． 8. 对于分式(，为常数)，若当时，该分式总有意义；当时，该分式的值为负数．则，与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据当时，该分式总有意义，即，可以判定的大小，当时，该分式的值为负数，可以判定，为异号，由此即可求解． 【详解】解：∵当时，该分式总有意义， ∴为非负数，且， ∴，则为非正数，即（非负数减负数不可能为零）， ∵当时，该分式的值为负数， ∴， ∴，异号， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的性质与不等式的性质，掌握分式的性质，不等式的性质是解题的关键． 二．填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 10. 若分式的值为0，则____． 【答案】1 【解析】 【分析】考查了分式的值为零的条件，分式的值为0的条件是，，进行计算即可． 【详解】解：分式的值为0， ∴，， 解得：． 故答案为：1． 11. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵，， 而24＜25， ∴＜5． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题． 12. 已知a，b是有理数，且满足．那么____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，乘方运算，根据偶数次幂的非负性、算术平方根的非负性求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 关于x的方程（a为常数）无解，则____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程去分母，可得，再根据方程无解，即可得到a的值． 【详解】解：分式方程去分母，可得， 即， ∵方程（a为常数）无解， ∴，即， ∴， 解得，， 故答案为：2． 14. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质等知识，先根据数轴得出，则，然后根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 15. 如图所示，点F、O、D、A是数轴上四个点，O与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，，．则小正方形的边长____，点F表示的数是____． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据正方形的边长为3，得出，求出，证明，得出，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F表示的数为． 故答案为：；． 16. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中曾记载了宋代行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携一斗，人食日二升．其大意为，在行军过程中，民夫可以背负六斗（升）米，士兵可以自己背一斗（升）米，民夫（士兵）每人一天行军会消耗2升米．若每个士兵雇佣4个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为____天；若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为____（用含有的代数式表示）． 【答案】 ①. 25 ②. 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，读懂题意，根据题中的数量关系列代数式是解题的关键． （1）用所带的粮食除以每天消耗的粮食，即得到支撑行军的天数； （2）每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，根据题意，列出代数式即可得到结果． 【详解】解：（1）∵每个士兵雇佣4个民夫随其一同行军， ∴士兵和民夫共携带了升米， ∵， ∴最多可以支持25天的行军， 故答案为：25； （2）∵每个士兵雇佣个民夫随其一同行军， ∴士兵和民夫共携带了升米， ∵民夫和士兵每人每天消耗2升米， ∴共消耗升米， ∴在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为． 故答案为：． 三．解答题（本题共13道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减．解题的关键在于把各根式化成最简根式．把二次根式、立方根分别化简再合并同类根式即可． 【详解】解： 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再计算乘法，并化简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的减法运算，以及分式的乘方和乘除混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据分式的减法运算法则进行计算，即可解题； （2）根据分式的乘方和乘除混合运算法则进行计算，即可解题． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的加法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．将异分母通分为同分母分式相加求解，即可解题． 【详解】解：原式 ． 21. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】两边同乘以x(x+3)，转化为一元一次方程求解即可 【详解】解：去分母得： 解得 检验：将代入原方程的分母，不为0 为原方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的求解方法是解题的关键． 22. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程得解法步骤是解题的关键．通过去分母、将分式方程转化为整式方程，再解方程，分式方程必须验根才能确定是否有解． 【详解】解：， 方程的两边都乘，得 ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1得， 检验：当时，， 原分式方程的解为：． 23. 计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： ① ② ③ ④ 乙同学： ① ② ③ ④ 老师发现这两位同学的解答过程都有错误. 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正. （1）我选择________同学的解答过程进行分析. （填“甲”或“乙”） （2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________； （3）请写出正确解答过程. 【答案】（1）甲（或乙）； （2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母； （3）正确解答过程如下： . 【解析】 【分析】甲的错误是第②步通分时，分子没有乘，乙的错误是第③步直接去掉了分母，任选一个作答即可，按照通分，合并的步骤写出正确过程即可. 【详解】解：（1）甲（或乙）； （2）若选择甲，则答案为：②，通分时，将分母乘以，而分子没有乘以；若选择乙，则答案为：③，直接去掉了分母； （3）略 【点睛】本题考查分式的计算，注意通分时不要漏乘，不能去分母，要跟解分式方程区分开. 24. 已知，，求的值． 【答案】7 【解析】 【分析】求出的值，利用整体的思想解决问题． 【详解】∵，， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算法则等知识，解题的关键是学会利用整体的思想进行化简计算，属于中考常考题型． 25. 已知，求代数式的值. 【答案】4. 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∴原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 26. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为80吨 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 27. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． （3）应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 【答案】（1）； （2）； （3）①20；②57. 【解析】 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想； （3）①②根据（2）中的规律即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立, 故答案为：； 【小问3详解】 ① ， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题． 28. 我们已经学过如果关于x的分式方程满足 （a，b分别为非零整数），且方程的两个根分别为． 我们称这样的方程为“十字方程”． 例如： 可化为 ∴ 再如： 可化为 ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）“十字方程”，则 ， ； （2）“十字方程”的两个解分别为，求的值； （3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值． 【答案】（1）－2，－4；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）按照“十字方程”的解法解方程即可； （2）根据“十字方程”的解法求出，，代入求值即可； （3）把方程转化为，求出方程的解，代入计算即可． 【详解】（1）可化为， ∴－2，－4； 故答案为：－2，－4； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ （3）解：∵为关于x的“十字方程” ∴ ∴ ∴或 ∵ ∴或 ∴ 【点睛】本题考查了分式方程的特殊解法，解题关键是理解题意，按照题目中的方法进行求解． 四、附加题（10分） 29. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； （2）当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，则四边形的面积的最小值为 ． 【答案】（1）2； （2）当时，有最小值，为11 （3）25 【解析】 【分析】本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可；当时，先将变形为，再根据公式计算即可； （2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴的最小值为2； 当时，，， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 而， 当时，即时，等号成立， ∴，即， ∴当时，有最小值，为11． 【小问3详解】 解：设， ∵与同高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为25， 故答案为：25． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平一中教育集团2024-2025学年第一学期期中联合质量检测 初二数学试卷 本试卷共4页，4道大题，29个小题，满分110分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一．选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. 81 C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. a≠2 B. a≠0 C. a＜2 D. a≥2 3. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 若将分式中的，都扩大倍，则分式的值（ ） A. 不改变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的倍 5. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 成立的条件是（ ） A. B. C. D. 且 7. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的平方根是（ ） A. B. C. D. 8. 对于分式(，为常数)，若当时，该分式总有意义；当时，该分式的值为负数．则，与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 10. 若分式的值为0，则____． 11. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 12. 已知a，b是有理数，且满足．那么____． 13. 关于x的方程（a为常数）无解，则____． 14. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为____． 15. 如图所示，点F、O、D、A是数轴上四个点，O与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，，．则小正方形的边长____，点F表示的数是____． 16. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中曾记载了宋代行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携一斗，人食日二升．其大意为，在行军过程中，民夫可以背负六斗（升）米，士兵可以自己背一斗（升）米，民夫（士兵）每人一天行军会消耗2升米．若每个士兵雇佣4个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为____天；若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为____（用含有的代数式表示）． 三．解答题（本题共13道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 计算： （1）． （2）． 20. 计算： 21. 解分式方程： 22. 解方程：． 23. 计算:学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： ① ② ③ ④ 乙同学： ① ② ③ ④ 老师发现这两位同学的解答过程都有错误. 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正. （1）我选择________同学的解答过程进行分析. （填“甲”或“乙”） （2）该同学的解答从第________步开始出现错误（填序号），错误的原因是________； （3）请写出正确解答过程. 24. 已知，，求的值． 25. 已知，求代数式的值. 26. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 27. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． （3）应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 28. 我们已经学过如果关于x的分式方程满足 （a，b分别为非零整数），且方程的两个根分别为． 我们称这样的方程为“十字方程”． 例如： 可化为 ∴ 再如： 可化为 ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）“十字方程”，则 ， ； （2）“十字方程”的两个解分别为，求的值； （3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值． 四、附加题（10分） 29. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； （2）当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，则四边形的面积的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $