第一章至第四章综合素养检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章至第四章综合素养检测 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则为 A. B. C. D. 3. 已知幂函数，且，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 5. 函数的零点一定位于区间（ ） A. B. C. D. 6. 若函数为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 7. 若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 函数是定义在R上的偶函数，且当时，.若对，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 对任意实数，均有 B. 若，则 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. 若，则 10. 已知且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为 11. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（ ） A. B. C. 与的图象关于对称 D. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_________. 13. 已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（，为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为__________小时. 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，，全集，求： （1）； （2）； （3）如果，求的取值范围. 16. 已知关于的一元二次不等式的解集为． （1）求和的值； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数定义域为. （1）求定义域； （2）当时，求的最值及相应的的值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，都有，求实数的取值范围， 19. 已知定义域为的函数，若存在实数，使得，都存在满足，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，是否具有性质，说明理由； （2）若存在唯一实数，使得函数，具有性质，求实数的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章至第四章综合素养检测 参考答案 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C根据题意可得，则. 2. 设命题，，则为 A. B. C. D. 【解析】B命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即：. 3. 已知幂函数，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【解析】A因为，且，即，解得， 所以，则. 4. 的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 【解析】C. 5. 函数的零点一定位于区间（ ） A. B. C. D. 【解析】C ， 又因为函数在区间上都是增函数， 所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间. 6. 若函数为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【解析】B函数的定义域为，令， 因为 ， 所以是奇函数，又因为是偶函数， 所以是奇函数，所以， 则，解得. 7. 若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【解析】D 一元二次不等式的解集为， 即为的两实数根， 故，即， 则，当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为4. 8. 函数是定义在R上的偶函数，且当时，.若对，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 当时，为增函数，又是偶函数， 则在上为减函数，故， 可化为，从而. 原不等式可化为，对恒成立，即， 两边平方后可化为，对恒成立. 由二次函数性质可知成立，即， 解得， 从而实数的取值范围是. 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 对任意实数，均有 B. 若，则 C. 设，则“”是“”的必要不充分条件 D. 若，则 【解析】AC 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当，时，，，故B不正确； 对于C，当，时，，所以不充分，当时，可知且，所以必要，故C正确； 对于D，当时，，，此时，故D不正确. 10. 已知且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为 【解析】ABC 对A，，所以，当且仅当时成立，故A正确； 对B，， 当且仅当即时成立； 对C，由，可得，当且仅当时成立，故C正确； 对D，，当且仅当时成立，故D正确. 11. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（ ） A. B. C. 与的图象关于对称 D. 【解析】ABD由，得，， 即可得，即有， ，而不在的图象上，故的图象与的图象不关于对称. 因为函数与互为反函数，关于对称， 又因与垂直， 在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示， 则，， 由反函数性质知关于对称， 则，，. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为_________. 【解析】由题意可得，解得. 13. 已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（，为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为__________小时. 【解析】依题意，两式相除得， 则， 所以当时，小时. 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是___________. 【解析】时，，而时， 所以， 又， 所以当时，， 当时，， 作出示意图如下图所示： 要使，则需，结合上图， 由，解得，所以. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，，全集，求： （1）； （2）； （3）如果，求的取值范围. 【解析】（1）依题意，集合， 集合， 所以. （2）由（1）知，， 所以. （3）由（1）知，集合， 而或或， 又，因此且， 所以的取值范围是. 16. 已知关于的一元二次不等式的解集为． （1）求和的值； （2）求不等式的解集． 【解析】（1）由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； （2）由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 17. 已知函数定义域为. （1）求定义域； （2）当时，求的最值及相应的的值. 【解析】（1）因为 所以 解得或 所以函数的定义域为 （2）令 可转化为 当 即时， 即的最大值为，无最小值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求实数和的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，都有，求实数的取值范围， 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 又因为，则，解得， 则， 对于，都有，满足题意. 故； （2）由（1）知，在是减函数. 证明：任取，且， 所以 ， 因为，所以， 则， 所以， 故在是减函数. （3）由， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又因为在是减函数， 则有， 由已知，，即恒成立， 所以对恒成立， 即恒成立， 设，则在单调递减， 则，要使恒成立，则； 设，则在单调递减， 则，要使恒成立，则； 所以. 故要使，都有， 则的取值范围为. 19. 已知定义域为的函数，若存在实数，使得，都存在满足，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，是否具有性质，说明理由； （2）若存在唯一实数，使得函数，具有性质，求实数的值. 【解析】（1）函数不具有性质．理由如下： 对于因为，所以不存在满足， 所以函数不具有性质． 函数具有性质，理由如下： 的值域亦为，故，使得， 所以函数具有性质. （2）记函数的值域为，函数的值域. 因为存在唯一的实数，使得函数有性质， 即存在唯一实数，对，使得成立， 所以， ①当时，，其值域，由得. ②当，且时，是增函数， 所以其值域，由得，舍去. ③当时，最大值为，最小值为，所以的值域， 由得，舍去， ④当时，的最大值为，最小值为，所以的值域， 由得或（舍）， 综上所述，或. 学科网（北京）股份有限公司 $$