选择性必修一第一册前二章（空间向量与立体几何+直线与圆的方程）知识梳理及期中测试-【题海探秘】2024-2025学年高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 选择性必修一第一册前二章知识梳理及期中测试 1.空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 （平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于　同一个平面　的向量 概念 语言描述 共线向 量定理 对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在实数λ，使　a＝λb　 共面向 量定理 如果两个向量a，b　不共线　，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb 概念 语言描述 空间向量 基本定理 及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝　xa＋yb＋zc　. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝　1　 2.空间向量的数量积及坐标运算 （1）两个非零空间向量的数量积 ①a·b＝　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝. （2）空间向量运算的坐标表示 a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） 向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3） 数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3） a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 数量积 a·b＝　a1b1＋a2b2＋a3b3　 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0） 垂直 a⊥b⇔　a1b1＋a2b2＋a3b3　＝0 夹角 公式 cos＜a，b＞＝ 3.直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量； （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量. 4.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝kn2（k∈R） l1⊥l2 n1⊥n2⇔　n1·n2　＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔　n＝km　（k∈R） 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km（k∈R） α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 5.空间距离 （1）点到直线的距离：设＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量在直线l上的投影向量＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ ＝； （2）点到平面的距离：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝＝　　； （3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离. 6.异面直线所成角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，a，b分别是直线l1，l2的方向向量，则cos θ＝｜cos＜a，b＞｜＝　　. 提醒　两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角的范围为（0，π），所以公式中要加绝对值. 7.直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sin θ＝｜cos＜a，n＞｜＝　　. 提醒　直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值. 8.平面与平面的夹角 （1）平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，如图①.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝＝； （2）二面角：二面角α-l-β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则｜cos φ｜＝cos θ＝，如图②③. 提醒　注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为［0，］. 9.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； ②规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为　0°　； ③范围：直线的倾斜角α的取值范围为　0°≤α＜180°　. 提醒　倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度.每条直线都有唯一确定的倾斜角. （2）直线的斜率 ①定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α； ②坐标式：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝　　. 提醒　如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在. 10.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k（x－x0） 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝（x1≠x2，y1≠y2） 不含垂直于x轴，y轴的直线 名称 方程 适用范围 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A，B不同时为0） 平面直角坐标系内的直线都适用 11.两条直线平行和垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔　k1＝k2　； ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔　k1k2＝－1　； ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 提醒　在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形. 12.两直线相交 （1）交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应； （2）相交⇔方程组有　唯一解　，交点坐标就是方程组的解； （3）平行⇔方程组　无解　； （4）重合⇔方程组有　无数个解　. 13.三种距离公式 （1）两点间的距离公式：平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式为｜P1P2｜＝　　； （2）点到直线的距离公式：点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝　　； 提醒　利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式. （3）两条平行直线间的距离公式：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝　　. 提醒　利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程化为x，y的系数对应相等的一般式. 14.圆的定义与方程 提醒　当D2＋E2－4F＞0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形. 15.点与圆的位置关系 平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在着下列关系： （1）｜MC｜＞r⇔点M在　圆外　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2； （2）｜MC｜＝r⇔点M在　圆上　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2； （3）｜MC｜＜r⇔点M在　圆内　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2. 16.直线与圆的位置关系（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d） 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d＞r d＝r d＜r 17.圆与圆的位置关系（两圆半径分别为r1，r2，d＝｜O1O2｜） 外离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 ｜r1－r2｜＜d＜r1 ＋r2 d＝｜r1－r2｜ d＜｜r1－r2｜ 公切线条数 4 3 2 1 0 提醒　两圆相切应注意是内切还是外切. 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（    ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与点位置有关 3．如图，在三棱锥中，，都为等边三角形，，，M为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D．0 4．已知斜三棱柱所有棱长均为，点满足，则（    ）    A． B． C．2 D． 5．已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（    ） A．或 B．或 C． D． 6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（    ） A． B． C． D． 7．对于直线l：，下列说法不正确的是（ ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 8．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．的长最小值为 B．的最小值为 C．若，则平面截正方体所得截面的面积为 D．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．在x轴上存在异于的两定点，使得 C．当三点不共线时，射线是的平分线 D．在C上存在点M，使得 11．已知向量，则（    ） A．向量的夹角为 B． C． D． 三、填空题 12．在平面坐标系中，点到直线的距离，类比可得，在空间直角坐标系中，点到平面x＋2y＋2z－4＝0的距离为 ． 13．圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 ，弦长为 ． 14．已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则 ；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是 ． 四、解答题 15．已知点，______，从条件①、条件②中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． 条件①：点B的坐标为，直线过点且与直线平行； 条件②：点C的坐标为，直线过点且与直线垂直； (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点坐标． 16．如图，在三棱柱中，侧面是边长为的正方形，为矩形，. (1)求证：平面ABC； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点C到平面的距离. 17．已知圆与圆：关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为，记四边形的面积为，求的取值范围. 18．已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方. (1)求圆C的方程； (2)直线与圆C交于不同的M，N两点，且，求直线的斜率； (3)过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在y轴正半轴上是否存在定点N，使得y轴平分？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由. 19．四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为正三角形； (1)当时，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)当与平面所成角最大时，求三棱锥的外接球的体积． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 选择性必修一第一册前二章知识梳理及期中测试 1.空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 （平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于　同一个平面　的向量 概念 语言描述 共线向 量定理 对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在实数λ，使　a＝λb　 共面向 量定理 如果两个向量a，b　不共线　，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb 概念 语言描述 空间向量 基本定理 及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝　xa＋yb＋zc　. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝　1　 2.空间向量的数量积及坐标运算 （1）两个非零空间向量的数量积 ①a·b＝　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝. （2）空间向量运算的坐标表示 a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） 向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3） 数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3） a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 数量积 a·b＝　a1b1＋a2b2＋a3b3　 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0） 垂直 a⊥b⇔　a1b1＋a2b2＋a3b3　＝0 夹角 公式 cos＜a，b＞＝ 3.直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量； （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量. 4.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝kn2（k∈R） l1⊥l2 n1⊥n2⇔　n1·n2　＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔　n＝km　（k∈R） 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km（k∈R） α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 5.空间距离 （1）点到直线的距离：设＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量在直线l上的投影向量＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ ＝； （2）点到平面的距离：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝＝　　； （3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离. 6.异面直线所成角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，a，b分别是直线l1，l2的方向向量，则cos θ＝｜cos＜a，b＞｜＝　　. 提醒　两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角的范围为（0，π），所以公式中要加绝对值. 7.直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sin θ＝｜cos＜a，n＞｜＝　　. 提醒　直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值. 8.平面与平面的夹角 （1）平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，如图①.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝＝； （2）二面角：二面角α-l-β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则｜cos φ｜＝cos θ＝，如图②③. 提醒　注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为［0，］. 9.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； ②规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为　0°　； ③范围：直线的倾斜角α的取值范围为　0°≤α＜180°　. 提醒　倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度.每条直线都有唯一确定的倾斜角. （2）直线的斜率 ①定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α； ②坐标式：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝　　. 提醒　如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在. 10.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k（x－x0） 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝（x1≠x2，y1≠y2） 不含垂直于x轴，y轴的直线 名称 方程 适用范围 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A，B不同时为0） 平面直角坐标系内的直线都适用 11.两条直线平行和垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔　k1＝k2　； ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔　k1k2＝－1　； ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 提醒　在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形. 12.两直线相交 （1）交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应； （2）相交⇔方程组有　唯一解　，交点坐标就是方程组的解； （3）平行⇔方程组　无解　； （4）重合⇔方程组有　无数个解　. 13.三种距离公式 （1）两点间的距离公式：平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式为｜P1P2｜＝　　； （2）点到直线的距离公式：点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝　　； 提醒　利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式. （3）两条平行直线间的距离公式：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝　　. 提醒　利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程化为x，y的系数对应相等的一般式. 14.圆的定义与方程 提醒　当D2＋E2－4F＞0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形. 15.点与圆的位置关系 平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在着下列关系： （1）｜MC｜＞r⇔点M在　圆外　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2； （2）｜MC｜＝r⇔点M在　圆上　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2； （3）｜MC｜＜r⇔点M在　圆内　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2. 16.直线与圆的位置关系（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d） 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d＞r d＝r d＜r 17.圆与圆的位置关系（两圆半径分别为r1，r2，d＝｜O1O2｜） 外离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 ｜r1－r2｜＜d＜r1 ＋r2 d＝｜r1－r2｜ d＜｜r1－r2｜ 公切线条数 4 3 2 1 0 提醒　两圆相切应注意是内切还是外切. 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于轴对称直接得解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为， 故选：C． 2．对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（    ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与点位置有关 【答案】B 【分析】根据空间共面向量的定义进行判断即可. 【详解】由 ， 所以A，B，C，P四点共面， 故选：B 3．如图，在三棱锥中，，都为等边三角形，，，M为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用异面直线所成角的定义，通过平移直线，三角形中根据余弦定理求异面直线所成角的余弦值. 【详解】M为中点，取中点为N，连接，如图所示，    则，即为异面直线与所成角， ，都为等边三角形，，，则， 在中，，，， 故. 故选：D. 4．已知斜三棱柱所有棱长均为，点满足，则（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】以向量为基底向量，则根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方运算即可. 【详解】 斜三棱柱所有棱长均为 . 故选:. 5．已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据得到，再分类讨论根据求解即可. 【详解】因为，，所以，解得. 当时，， 因为，所以，解得，. 当时，， 因为，所以，解得，. 综上：或. 故选：A 6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图， 以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而. 设平面的法向量为，则，即，得， 令，则，所以点E到平面的距离为． 故选：C 7．对于直线l：，下列说法不正确的是（ ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 【答案】C 【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可. 【详解】对A,直线方程为，斜率为，一定存在，故A正确； 对B，，所以直线过点，故B正确； 对C，时斜率为，倾斜角为，故C错误； 对D，时，直线方程为，即，斜率是2，为正，与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故D正确. 故选：C． 8．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 二、多选题 9．在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．的长最小值为 B．的最小值为 C．若，则平面截正方体所得截面的面积为 D．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 【答案】BCD 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，得，然后用空间向量法求得，判断A，求得数量积计算最小值判断B，由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C，结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则，，，， ，设，，所以， ， ，所以时，，A错； ， ， 所以时，，B正确； ，则是上靠近的三等分点，， 取上靠近的三等分点，则， ，显然与平面的法向量垂直，因此平面， 所以截面与平面的交线与平行，作交于点， 设，则，由得，解得， 则与重合，因此取中点，易得，截面为，它是等腰梯形， ，，，梯形的高为， 截面面积为，C正确； ，，，，， ，，同理， 所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转．D正确． 故选：BCD． 10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”. 后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足.设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．在x轴上存在异于的两定点，使得 C．当三点不共线时，射线是的平分线 D．在C上存在点M，使得 【答案】BC 【分析】设点，根据求出的轨迹方程可判断A；假设在x轴上存在异于的两定点使得，设，根据、点P的轨迹方程求出可判断B；由利用余弦定理可判断C；设，由、点M在C上解得无实数解可判断D. 【详解】设点，则，化简整理得， 即，故A错误； 假设在x轴上存在异于的两定点， 使得.设，则， 化简整理得， 由点P的轨迹方程为得， 解得或，因为点异于点，所以， 所以假设成立，故B正确； 由于， 只需证明， 即证， 化简整理得，又， 则 ，则，故C正确；    设，由得， 整理得①， 又点M在C上，故满足②，联立①②，解得无实数解，故D错误. 故选：BC. 11．已知向量，则（    ） A．向量的夹角为 B． C． D． 【答案】CD 【分析】A由向量模长、数量积的坐标运算及夹角公式求向量的夹角；B、C由向量线性关系、数量积的坐标运算求数量积、判断位置关系判断；D由向量的坐标判断是否共线. 【详解】A，，，， 设向量的夹角为，则， 因为，则，错. B，，，则，错. C，，则，故，对. D，，则，故，对. 故选：CD 三、填空题 12．在平面坐标系中，点到直线的距离，类比可得，在空间直角坐标系中，点到平面x＋2y＋2z－4＝0的距离为 ． 【答案】 【分析】由题意类比空间中的点到平面的距离公式，然后利用公式求解即可 【详解】在平面直角坐标系中，点到直线的距离， 则类比在空间中点到平面的距离为 , 所以点到平面的距离为 ， 故答案为： 13．圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 ，弦长为 ． 【答案】 【分析】根据两圆的方程可求公共弦的方程，根据公式可求公共弦长. 【详解】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为， 化简得公共弦所在直线方程为， 圆的标准方程为， 其圆心，半径， 圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为． 故答案为：；. 14．已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则 ；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是 ． 【答案】 /4.8 【分析】由条件确定圆O，圆N的圆心坐标和半径，由此发现，根据等面积法求，联立两圆方程，求出A的坐标，设直线的方程，由结合弦长公式求直线的斜率. 【详解】 根据题意，圆：，圆心，半径为3， 圆，圆心，半径为4， 则，，，易知， 根据等面积法可得； 联立两个圆方程，得， 在第二象限，可得，易知直线的斜率存在， 设直线的方程是，即， 因为， 所以， 解得：. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题的第一空关键是通过数形结合发现，从而即可利用等面积法求解，第二问的关键是先求出的坐标，然后设出直线的方程，利用弦长公式即可求解. 四、解答题 15．已知点，______，从条件①、条件②中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． 条件①：点B的坐标为，直线过点且与直线平行； 条件②：点C的坐标为，直线过点且与直线垂直； (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点坐标． 【答案】(1)所选条件见解析，直线的方程； (2). 【分析】（1）由所选条件，根据直线平行、垂直关系求斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）设，利用中点在直线上且对称点所在直线斜率与直线垂直列方程组求点坐标. 【详解】（1）选①：，则，故直线的方程为， 所以； 选②：，则，故直线的方程为， 所以. （2）令，故中点在直线上， 所以且，可得， 所以. 16．如图，在三棱柱中，侧面是边长为的正方形，为矩形，. (1)求证：平面ABC； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点C到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解两平面的夹角余弦值，再由同角三角函数关系可得正弦值； （3）利用法向量方法求点面距. 【详解】（1）因为侧面为正方形，为矩形， 所以，， 因为，平面， 所以平面； （2）由（1）知，，， 由题意知，，， 所以即， 如图，以为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，连接， 所以，，， 设平面的法向量为， 则即， 令，则，，所以， 设平面的法向量为， 则即， 令，则，，所以， 设平面与平面所成角为， 则， 则； 故所求平面与平面所成角的正弦值为； （3）由（1）知平面的法向量为， ，则点到平面的距离为. 故点C到平面的距离为. 17．已知圆与圆：关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为，记四边形的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的方程，明确圆心与半径，结合点关于直线对称的问题解决，可得答案； （2）设出直线，利用几何法求得弦长，整理面积的函数表达式，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）    由，则圆心，半径， 设直线，可知其斜率， 过并垂直于直线的直线斜率，则其方程， 整理可得，联立可得，解得， 设，则，解得，所以， 由圆与圆关于直线对称，则圆的半径， 所以圆. （2）由题意可知，由，当斜率不存在时，斜率为，易知此时不符合题意； 由，则设，由，则设， 将代入直线的方程，可得，则， 点到直线的距离，， 点到直线的距离，， 令，由，则，且，， 由在四边形中，则， 由于，故当时，此时最大为， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 18．已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方. (1)求圆C的方程； (2)直线与圆C交于不同的M，N两点，且，求直线的斜率； (3)过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在y轴正半轴上是否存在定点N，使得y轴平分？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出圆心，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于2，确定圆心坐标，即可得圆的方程. （2）根据题意得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式列方程，即可求解. （3）当直线的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，韦达定理，结合，即可求出点的坐标；当轴时，利用y轴平分求得点N的坐标满足的条件，即可得定点坐标. 【详解】（1）设圆心，则， 解得或（舍），故圆的方程为． （2）由题意可知圆心到直线的距离为， 则有，解得. （3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， 若y轴平分，则，即，即， 即，即，即， 当时，上式恒成立，即； 当直线的斜率不存在时，易知满足题意； 综上，当点的坐标为时，y轴平分. 19．四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为正三角形； (1)当时，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)当与平面所成角最大时，求三棱锥的外接球的体积． 【答案】(1)存在；1. (2) 【分析】（1）先证平面平面，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点的位置. （2）根据与平面所成角最大，确定平面平面，利用（1）中的图形，设三棱锥的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可. 【详解】（1）因为底面为等腰梯形，， 所以，，，所以. 所以， 又，平面，且，所以平面. 又平面，所以平面平面. 取中点，因为是等边三角形，所以， 平面平面， 所以平面. 再取中点，连接，则，所以. 所以可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，，.. 设，可得 所以，取平面的法向量. 因为与平面所成角的正弦值为， 所以，解得或（舍去）. 所以：线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. （2）当平面平面时, 与平面所成角为. 当平面与平面不垂直时，过做平面，连接， 则为与平面所成角，因为， ，，，所以. 故当平面平面时，与平面所成角最大. 此时，设棱锥的外接球球心为，, 所以，解得. 所以三棱锥的外接球的体积为：. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$