第二十八章 锐角三角函数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第28章 锐角三角函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理，正正方形的性质，掌握正切的定义并构造直角三角形是本题的关键． 首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：取格点，连接．根据正方形的性质可得， 由勾股定理得，， ∴． 故选：A． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=2，cosB=，则AC的长为（  ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据余弦值与三边的关系与勾股定理即可求解. 【详解】根据题意得：AB===6， ∴AC===4. 故选C. 【点睛】本题主要考查解直角三角形，解此题的关键在于根据锐角三角函数与勾股定理进行求解即可. 3．在中，若，，则是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等边三角形 故选：B． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，等边三角形的判定，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 4．如图所示，在一组平行光线与地面呈角的照射下，一个篮球在地面上的投影长度，已知，，，则这个篮球的直径约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，交于点，解直角三角形，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作， 在中，，， ∴； ∴这个篮球的直径约为； 故选C． 5．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠C=90°， 则a：b：c为(    ) A． B． C． D．1：2：3 【答案】B 【分析】因为，所以可以假设BC=2x，根据勾股定理表示出三角形另外两边的长度即可解题. 【详解】解：∵， 设BC=2x，AB=3x， ∵∠C=90°， ∴AC==， ∴a：b：c=2：：3. 故选B. 【点睛】本题考查了勾股定理，和三角函数，根据已知角的三角函数假设某一边，表示出其余的边是解决本题的关键. 6．某人沿着坡度为的斜坡向上前进了，那么他的高度上升了（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，根据坡度的定义可知，的比值和的长度，即可求的值，即可解题． 【详解】解：如图： 根据题意知∶，， 设，则， 则， 解得∶ ，(舍去)， ∴他的高度上升了， 故选：D． 7．若锐角满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值得到，然后利用锐角的余弦值随着角度的增大而减小求解． 【详解】解：， 而， ， ， 锐角的取值范围为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．也考查了特殊角的三角函数值． 8．如图，的直径于点，点为上一点，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、解直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接、，由，可知，设，则，的半径等于，根据勾股定理用，则，，根据垂径定理和圆周角定理得出，再根据锐角三角函数定义可得出结论． 【详解】解：连接、， ， ， 设，则，的半径等于， 在中，， 由勾股定理得：， 或（舍去）， ， ，， 的直径于， ． ，即， ， ， ． 故选：A 9．如图1，中，，点从点出发，沿匀速向点运动，同时，点从点出发，沿折线以倍于点的速度向点运动，两点同时到达终点．设点与点的距离为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．则点的坐标为(　　) A．(4,) B．(4,15) C．(5,) D．(5,15) 【答案】D 【分析】根据题意得出，当点在上运动时，过点作于点，得出，当时，取得最大值为，当点在上运动时，得出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， 则， 由勾股定理得：， 即， 解得：，则， 则， 当点在上运动时， 过点作于点， 则， 当时，取得最大值为； 当点在上运动时， 同理可得：， 该函数的对称轴为， 当时，取得最大值为， 综上，点的坐标为，； 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，二次函数的应用，根据题意得出函数关系式是解题的关键． 10．如图，在菱形中，点为中点，点在上，，，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称最短路径问题，涉及菱形的性质，等边三角形的性质，三角函数定义，利用轴对称将转化为是解题的关键． 取的中点，连接，将转化为，从而确定其最小值为的长，再证明是直角三角形，利用三角函数即可求出，从而求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，，， 四边形是菱形， 对角线是其一条对称轴， 点为中点， ， ， 即的最小值为的长， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， 在中， ，， ， 的最小值等于， 故选：D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．用表示这三个数中最小的数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 分别得出各个三角函数的值，再比较大小，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 12．已知，是锐角，则 ． 【答案】 【分析】据锐角三角函数的定义，设∠A=，放在直角三角形ACB中，设BC=5x，则AC=12x，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】如图所示，在Rt△ABC中，设∠A=， ∵tan＝=， ∴设BC=5x，则AC=12x， 在Rt△ABC中， AB=， ∴sin==. 故答案为. 【点睛】本题考查了锐角三角函数. 构造以为锐角的直角三角形是解题的关键. 13．如图，在中，，于点D，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要能紧扣问题，借助直角三角形去求解是关键．先得，由，从而求出，最后由进行计算可以得解． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，当一个摆钟的钟摆从最左侧处摆到最右侧处时，摆角，点是弧的中点，连接交于点，若，则的长为 cm．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的性质，全等三角形的判定与性质，由点是弧的中点，得出，，已知的长，用正弦公式可表示， 即可求解，关键是掌握正弦的定义． 【详解】解：∵点是弧的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵ ∴ ∴ 故答案为：． 15．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，以为直径作分别交于点M，N，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】作于H，连接，如图，利用圆周角定理得，利用等腰直角三角形的性质得到，所以当的半径最小时，的值最小，此时最小，的最小值为的长，然后在中计算出的长就可得到的最小值． 【详解】解：作于H，连接，如图，     ∵， 而， ∴， 当的值最小时，的值最小， 此时最小，的最小值为的长， 在中，∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂线段最短和解直角三角形． 16．已知在中，，点、分别在、上，将沿翻折，点对应点在上，若，则 ． 【答案】 【分析】设，则，，；，由折叠可知，，，设，，则，；过点作于，过点作于点，利用含的直角三角形的三边关系可得，，进而可得，，，；在中，在中分别利用勾股定理可得关于，的方程，求出，的值，再利用正切函数的定义可得出最终结论． 【详解】解：在中，， ∴， 由，设，则， ∴， ∵在中，， ∴；， 由折叠可知，，， 设，，则，， 如图，过点作于，过点作于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，，，； 在中，，由勾股定理可得，， 即， 解得， ∴； 在中，，由勾股定理可得，， 即， 解得， ∴， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，含的直角三角形的三边关系，勾股定理，解直角三角形的应用等相关知识，将特殊角、放在合适的直角三角形中是解题的关键． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）根据零指数幂运算法则，绝对值意义，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）为了测量某古塔的高度，小明将一根长的竹竿（），立在处，当塔顶点，竹竿顶点以及地面点同一条直线时，测得，然后小明将竹竿向前移动（），当点、、共线时，测得，求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数值，结合直角三角形表示出、、、，再根据即可求解．解题的关键在于正确利用正切值进行计算． 【详解】解：由题意可知，，，，，， 则 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 而， 即：， ∴． 19．（8分）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3） 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； （2）由（1）中的结论，即可猜想出； （3）利用完全平方公式进行变形运算，结合可得结果． 【详解】解：（1）sin230°+cos230°==1； sin245°+cos245°==1； sin260°+cos260°==1； （2）由（1）可得： ； （3）∵，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 20．（8分）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【答案】 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于， ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 21．（8分）如图，∠ABD=∠CDB=90°．P为线段BD上的一点，在图①中仅用圆规分别在AB、CD上作点E、F，使EF⊥PF，且EF=PF． （1）写出作图步骤，保留作图痕迹； （2）若∠BEP的正切值为，求BP∶PD．（图②供问题（2）用） 【答案】（1）见解析；（2）3：1 【分析】（1）根据要求写出步骤即可． （2）利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】（1）①以D为圆心，BD为半径画弧交CD于点F； ②以F为圆心，PF为半径画弧交AB于点E，则点E、F即为所求作； （2）连接EF、FP、EP，作EG⊥CD于G，设BP=x，PD=y，FD=DB=x+y， ∵∠EGF=∠EFP=∠D=90°， ∴∠EFG+∠PFD=90°，∠PFD+∠DPF=90°， ∴∠EFG=∠DPF， ∵EF=FP， ∴△EGF≌△FDP， ∴GF=DP=y， ∴EB=GD=x+2y， 在Rt△EBP中，tan∠BEP=， ∴x∶y=3∶1，即BP∶PD=3∶1． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（10分）在中，，求： (1)； (2)当时，求BC的长． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查解直角三角形、解一元二次方程及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数值是解题关键． （1）根据在中，，得出是直角边，分为当是斜边时和当是直角边时根据勾股定理和余弦的定义求解即可； （2）分为当是斜边时和当是直角边时，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， 设，则， 当是斜边时，， 则； 当是直角边时，， 则； 综上，的值为或； （2）解：∵在中，， 设，则， 当是斜边时，，解得：（负值舍去）； 当是直角边时，，解得：； 综上，或． 23．（10分）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)的长是 (2)的值为 【分析】（1）连接，由四边形是矩形，是的中点，得，，则，由折叠得，垂直平分，则，，可证明，则，，所以，则； （2）作于点，交于点，则，，所以，，则，，所以，，即可求得． 【详解】（1）解：（1）连接， 四边形是矩形，，，是的中点， ，， ， 由折叠得点与点关于对称，， 垂直平分，，， ， ，， ， ， ， ， 的长是． （2）作于点，交于点，   ， 四边形是矩形， ，， ， ，， ，， ，， ， 的值为． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 24．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，出车库地面入口斜坡长．    素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头可以调整可识别角度，可识别角度的最大范围是，在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．(参考数据：)    素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． 问题解决 任务一 确定斜坡坡比；如图1，求的值． 任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明． 项目反思 任务三 能否通过调整摄像头的识别角度，使汽车以最高限速行驶时，可以顺利通过闸口，请计算的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：闸门没有打开；任务三： 【分析】任务一：利用勾股定理求出，从而得解； 任务二：过点E作于F，设，则，利用得到，从而求出，利用求出，从而得到，从而计算出车辆以最高限速行驶到达B点的时间，从而得解； （3）求出达到B点恰好闸门打开时的长度，从而求出，继而求出此时的值，再根据即的最大范围是，确定的取值范围． 【详解】解：任务一：∵，长， ∴ ∴的值为： 任务二：闸门没有打开，理由如下： 过点E作于F，    ∵， ∴设，则， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 解得： ∴ ∴车辆以最高限速行驶到达B点的时间为：秒， ∴闸门没有打开； 任务三：假设达到B点恰好闸门打开，则， 由任务二可知： ∴， 此时 ∵即的最大范围是， ∴的取值范围是 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线是解题的关键． 25．（14分）如图1，在中 ，，，． 动点 P从 点B出发，沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动，连接，作点B关于的对称点 E，连接，，设点 P的运动时间为t 秒 ． (1)如图2，当点P与 点C重合时，与相交于点O， 求证： (2)当 时，求t的值，并求出点E 落在区域（含边界）内的时长； (3)当所在直线垂直于的边时，求t 的值． 【答案】(1)见详解 (2)，2秒 (3)或5或20 (4) 【分析】（1）由轴对称的性质可知，再结合平行四边形的性质，得出，，即可利用“”证明全等； （2）当时，由题意可知，利用锐角三角函数，设，，结合勾股定理，求得，，即可求出t的值，根据点的位置分两种情况讨论，分别求出的长，进而得到t的值，作差即可得到答案； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，利用轴对称的性质和直角三角形的性质分别求解即可； （4）连接，根据勾股定理求出的长，即可得E点平移的最短距离． 【详解】（1）证明：∵点B与点 E关于对称， ， ，． ∵四边形是平行四边形， ，， ，， 又， ． （2）解：如图，当时，由题意可知， ， ，， ， 设，， 在中，， ， ， ， ； 当E点在上时，由轴对称的性质可知， ， ； 当点E在上时，由轴对称的性质可知，，， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， ∴点E落在区域（含边界）内的时长为； （3）解：由题意得， ①如图，当时，，过点P作于点H， ∵点B和点E关于对称， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，当时，由轴对称的性质可知，， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； ③如图，当时，延长交于H点， ∵四边形是平行四边形， ， ， 由轴对称的性质可得，， ∵， 设，， ， ， ，， ，， ， ， ， 解得， 此时，P点与C点重合． 综上可知，当所在直线垂直于的边时，t的值为或5或20． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质等知识，正确作辅助线，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第28章 锐角三角函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=2，cosB=，则AC的长为（  ） A． B．2 C．4 D． 3．在中，若，，则是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．如图所示，在一组平行光线与地面呈角的照射下，一个篮球在地面上的投影长度，已知，，，则这个篮球的直径约为（    ） A． B． C． D． 5．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠C=90°， 则a：b：c为(    ) A． B． C． D．1：2：3 6．某人沿着坡度为的斜坡向上前进了，那么他的高度上升了（      ） A． B． C． D． 7．若锐角满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图，的直径于点，点为上一点，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图1，中，，点从点出发，沿匀速向点运动，同时，点从点出发，沿折线以倍于点的速度向点运动，两点同时到达终点．设点与点的距离为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．则点的坐标为(　　) A．(4,) B．(4,15) C．(5,) D．(5,15) 10．如图，在菱形中，点为中点，点在上，，，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．用表示这三个数中最小的数，则 ． 12．已知，是锐角，则 ． 13．如图，在中，，于点D，，，那么 ． 14．如图，当一个摆钟的钟摆从最左侧处摆到最右侧处时，摆角，点是弧的中点，连接交于点，若，则的长为 cm．（结果用含的式子表示） 15．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，以为直径作分别交于点M，N，连接，则线段的最小值为 ．    16．已知在中，，点、分别在、上，将沿翻折，点对应点在上，若，则 ． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算： (1) (2)． 18．（8分）为了测量某古塔的高度，小明将一根长的竹竿（），立在处，当塔顶点，竹竿顶点以及地面点同一条直线时，测得，然后小明将竹竿向前移动（），当点、、共线时，测得，求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 19．（8分）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 20．（8分）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 21．（8分）如图，∠ABD=∠CDB=90°．P为线段BD上的一点，在图①中仅用圆规分别在AB、CD上作点E、F，使EF⊥PF，且EF=PF． （1）写出作图步骤，保留作图痕迹； （2）若∠BEP的正切值为，求BP∶PD．（图②供问题（2）用） 22．（10分）在中，，求： (1)； (2)当时，求BC的长． 23．（10分）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接．    (1)求的长； (2)求的值． 24．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，出车库地面入口斜坡长．    素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头可以调整可识别角度，可识别角度的最大范围是，在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．(参考数据：)    素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． 问题解决 任务一 确定斜坡坡比；如图1，求的值． 任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明． 项目反思 任务三 能否通过调整摄像头的识别角度，使汽车以最高限速行驶时，可以顺利通过闸口，请计算的取值范围． 25．（14分）如图1，在中 ，，，． 动点 P从 点B出发，沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动，连接，作点B关于的对称点 E，连接，，设点 P的运动时间为t 秒 ． (1)如图2，当点P与 点C重合时，与相交于点O， 求证： (2)当 时，求t的值，并求出点E 落在区域（含边界）内的时长； (3)当所在直线垂直于的边时，求t 的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$