期中测试卷02（测试范围：第24-25章）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

2024-2025年九年级数学上册期中测试卷02（测试范围：第24-25章） 一、单选题 1．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 2．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 3．已知线段、、，求作线段，下列作图中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是（    ） A．1 B． C． D． 5．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，，则的长为（ ） A． B． C．5 D． 二、填空题 7．计算： ． 8．在的地图上，量得A、B两地之间的距离为，则A、B两地实际距离是 ． 9．如果，那么 ． 10．两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 ． 11．如图，，则 ．    12．小张沿着某斜坡前进后，高度上升了，那么该斜坡坡比 ． 13．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值是 ．   14．如图，在中，是斜边上的高，若，，则 ． 15．如图，点是的重心，，，，用、表示 ． 16．将一副直角三角板(含45°角的直角三角板ABC与含30°角的直角三角板DCB)按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于 ．      17．定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图1中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图2，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ． 18．如图，已知在中，，垂足为点分别在边和上，将分割成两个小三角形，将割成两个小三角形，如果分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么的值是 ．    三、解答题 19．计算： 20．如图，已知梯形中，，点、分别在腰、上，，且．    (1)求的值； (2)当时，求的长． 21．如图，已知在中，，，点是边上的一点，．    (1)试用和表示，即______； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）． 22．如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 23．如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，．    (1)求证：； (2)当时，求证：． 24．在平面直角坐标系xOy中，已知B，A分别是y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点． （1）C在线段AB上，＝，求C的坐标． （2）在第一问的条件下，求tan∠AOC的值． （3）若D在直线AB上，tan∠BOD＝，求D的坐标． 25．已知中，，，E是射线上一点（不与点B重合），线段的垂直平分线与边交于点D. (1)点E在边上， ①如图1，连接，如果平分，求的长； ②如图2，射线交射线于点F，设，，求y关于x的的数解析式，并写出定义域. (2)如果是直角三角形，求的长. 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故A不符合题意； B．∵，， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得； 故B不符合题意； C．若， ∵的对应边为，的对应边为， ∴不能推出； 故C符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得； 故D不符合题意； 故选：C． 6．如图，中，，，，则的长为（ ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】过C作CD⊥AB于D，根据含30度角的直角三角形求出CD，解直角三角形求出AD，在△BDC中解直角三角形求出BD，相加即可求出答案． 【解析】 过C作CD⊥AB于D， 则∠ADC=∠BDC=90， ∵∠A=30,AC=， ∴CD=AC=,由勾股定理得：AD=CD=3， ∵tanB==， ∴BD=2， ∴AB=2+3=5， 故选C. 【点睛】本题考查解直角三角形. 二、填空题 7．计算： ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则计算即可． 【解析】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的线性运算．掌握向量的线性运算法则是解题关键． 8．在的地图上，量得A、B两地之间的距离为，则A、B两地实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握成比例的线段是解题的关键． 设A、B两地实际距离为，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【解析】解：设A、B两地实际距离为， 依题意得，， 解得，， ∴， 故答案为：． 9．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据可得，再通过移项得到的值，熟知比例的性质是解题的关键． 【解析】解：根据， 可得， ， 即， 故答案为：． 10．两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，先根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，求出相似比，再根据“相似三角形的相似比等于周长比”求出答案． 【解析】∵两个相似三角形的面积比为， ∴这两个三角形的相似比为． ∵较小三角形的周长为4，两个三角形的相似比为， ∴较大的三角形的周长为6． 故答案为：6． 11．如图，，则 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【解析】∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：6． 12．小张沿着某斜坡前进后，高度上升了，那么该斜坡坡比 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、坡度比的定义等知识点，理解坡度的定义成为解题的关键． 先根据勾股定理求得，再根据坡度的定义求解即可． 【解析】解：如图：∵, ∴． ∴该斜坡坡比． 故答案为：． 13．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值是 ．   【答案】2 【解析】试题分析：设小正方形边长为a，链接AC，那么    因为 所以 考点：勾股定理 点评：本题是锐角三角函数与勾股定理的结合，难度适中，解题关键是注意转化思想和数形结合思想的应用． 14．如图，在中，是斜边上的高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，先根据勾股定理求出，再证明，然后根据相似三角形对应边成比例得出答案． 【解析】解：在中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 15．如图，点是的重心，，，，用、表示 ． 【答案】 【分析】先根据重心的性质得到，是的中线，则，再证明得到，再求出即可得到答案． 【解析】解：∵G是的重心， ∴，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了重心的性质，相似三角形的性质与判定，向量的线性计算，熟知相关知识是解题的关键． 16．将一副直角三角板(含45°角的直角三角板ABC与含30°角的直角三角板DCB)按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于 ．      【答案】1：3 【解析】解：∵直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放， ∴∠D=30°，∠A=45°，AB//CD， ∴∠A=∠OCD，∠D=∠OBA， ∴△AOB∽△COD． 设BC=a， ∴CD=BC×tan60°=a， ∴S△AOB：S△COD=( a：a)2=1：3． 故答案为：1：3． 17．定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图1中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图2，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．设正方形的边长为，则，，由，可得，根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】解：当线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上时， 设正方形的边长为，则，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 18．如图，已知在中，，垂足为点分别在边和上，将分割成两个小三角形，将割成两个小三角形，如果分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么的值是 ．    【答案】或 【分析】根据题意，设，则，由勾股定理可得，由等腰直角三角形的性质可得，分割成两个小三角形中都有一个角为，若相似，则中也必然有角，由此可得平分，设，则，分类讨论：第一种情况，如图所示，当时，，可证四边形是平行四边形，得，由相似三角形的性质可得，由此即可得的值；第二种情况，如图所示，已知，当时，，根据相似的性质可得，，由此可得的值；由此即可求解． 【解析】解：∵，， ∴，是等腰直角三角形，即， ∵， ∴设，则， ∴， ∵分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似， ∴分割成两个小三角形中都有一个角为， ∴当平分时，在中，， 设，则， ∴第一种情况，如图所示，当时，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，即， ∴； 第二种情况，如图所示，已知，当时，，    ∴，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，即， ∴； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正切值的计算，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题 19．计算： 【答案】 【分析】先把式子化最简，再把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【解析】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握牢记特殊角的三角函数值． 20．如图，已知梯形中，，点、分别在腰、上，，且．    (1)求的值； (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定与性质，（1）根据平行线分线段成比例定理即可求出答案；（2）连接，根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【解析】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：连接，    ∵， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得： ， ， ， ， ， ． 21．如图，已知在中，，，点是边上的一点，．    (1)试用和表示，即______； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1) (2)作图见详解，， 【分析】本题考查了平面向量的三角形法则和平行四边形法则等知识， （1）根据三角形法则求解即可； （2）利用平行四边形法则求解，再利用平行线分线段成比例求出向量，向量． 解题的关键是理解题意，灵活运用平面向量的相关知识解决问题． 【解析】（1）， ∵， ∴， 故答案为； （2）    如图，，即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，． 22．如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 【答案】(1)20米 (2)该车没有超过限速，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出的长是解题的关键． （1）首先利用列方程求出米，然后求出米，进而求解即可； （2）首先求出该车的速度，进而比较求解即可． 【解析】（1）∵米， ∴，即 ∴米， ∵ ∴ ∴米， ∴米； （2）∵米千米，该车从点点行驶到点所用时间为1秒小时 ∴该车的速度为千米/小时， ∵ ∴该车没有超过限速． 23．如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，．    (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等边对等角，得，由平行，得，进而，于是； （2）由，得，可证得，进而证得，于是，可证，从而，得． 【解析】（1）（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，平行线分线段成比例定理，平行线的性质；运用相似三角形得到比例线段是解题的关键． 24．在平面直角坐标系xOy中，已知B，A分别是y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点． （1）C在线段AB上，＝，求C的坐标． （2）在第一问的条件下，求tan∠AOC的值． （3）若D在直线AB上，tan∠BOD＝，求D的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）如图，过作于 则 证明可得再求解 从而可得答案； （2）如图，连接 由（1）得： 再直接利用正切的定义可得答案； （3）分两种情况讨论，如图，当在线段上时，记为，过作于当在线段的延长线上时，记为 过作于再利用等腰直角三角形的性质与正切的含义可得答案. 【解析】解：（1）如图，过作于 则 ＝， 令 则 令 则 （2）如图，连接 由（1）得： （3）如图，当在线段上时，记为，过作于 当在线段的延长线上时，记为 过作于 由 经检验：符合题意； 【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识，有清晰的分类讨论是解题的关键. 25．已知中，，，E是射线上一点（不与点B重合），线段的垂直平分线与边交于点D. (1)点E在边上， ①如图1，连接，如果平分，求的长； ②如图2，射线交射线于点F，设，，求y关于x的的数解析式，并写出定义域. (2)如果是直角三角形，求的长. 【答案】(1)① ② (2)或 【分析】（1）①连接，在BC上截取，连接，过A点作于点N，证得，然后表示出长，利用得到，代入计算解题即可；②过点作于点，点作于点，根据相似三角形用，表示得到，和的长，然后利用得到关系式； （2）分和两种情况分别画图解题即可． 【解析】（1）①连接，在BC上截取，连接，过A点作于点N， ∴， ∴， 设， ∵线段的垂直平分线与边交于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：，即； ②过点作于点，点作于点， 由①得， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即∴， ∴，， ∴， 又∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 即， ∵点在边上， ∴， ∴ ∴定义域为； （2）解：如图，过点作于点， 根据②可得：，， ∴ ∴， 当时，， 即， 解得：（舍去），， 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， 综上所述，当的长为或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握作辅助线构造相似三角形是解题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$